【数学】2019届一轮复习人教A版复数学案

【数学】2019届一轮复习人教A版复数学案

复数考题分类解析 复数的代数运算年年必考，其题目活而不难，主要考查 生灵活运用知识的能力，复 数的几何意义也是考查的一个重点。落实考查特点有利于抓住复习中的关键：（1）复数的 概念，包括虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、复数的模、复数的相等、共轭复数的概念。 （2）复数代数形式基本运算的技能与技巧，特别是 的计算，注意转化思想的训练，善 于将复数向实数转化。（3）复数的几何意义， 1、复数的概念以及运算 例 1 是 虚 数 单 位 ， 　 　 　 　 　 ．（用 的 形 式 表 示 ， ） 解：原式＝ －2－3i＋4＋5i－6－7i＋8＝4－4i 点评：复数是高中数 的重要内容，是解决数 问题的重要工具，本题考查了复数的概念以及 复数的引入原则，主要考查 i 的实际应用问题。 例 2 若 为实数， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 解析：由已知得：等式左边＝ 由复数相等的充要条件知： ，所以 a＝ 点评：本题考查了复数的基本运算以及复数相等的概念。 例 3 若复数 是纯虚数（ 是虚数单位， 是实数），则 （ ） A．2 B． C． D． 解析： ＝ ，因为 是纯虚数，因此 所以 b＝2。 点评：本题考查的复数的乘法运算问题，通过该运算考查了纯虚数的概念。 2、复数的几何意义 复数与复平面上的点，及复平面上从原点出发的向量建立了一一对应关系，这样使得 复数问题可以借助几何图形的性质解决，反之，一些解析几何问题、平面几何问题也可以借 助于复数的运算加以解决。 例 4 若 ，则复数 在复平面内所对应的点 i±1 i 2 3 8i 2i 3i 8i+ + + + = ia b+ a b∈R， i 12 −= a 2 i 2i 1+ 2i a+ = − a 2 2− 2 2 2 2− iaaiai 3 22 3 22 3 )21)(2( −++=−+       −=− =+ 23 22 03 22 a a 2− (1 )(2 )bi i+ + i b b = 1 2 1 2 − 2− (1 )(2 )bi i+ + ibb )12()2( ++− (1 )(2 )bi i+ +    ≠+ =− 012 02 b b 3 5π π4 4 θ  ∈  ， (cos sin ) (sin cos )iθ θ θ θ+ + − 在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解 析 ： 复 数 的 实 部 a ＝ ， 虚 部 b ＝ ，因为 ，所以 ，所以 ， ，即 a<0，b>0， 所以复数对应的点在第二象限。 点评：本题以复数的三角形式作为命题背景，考查了复数的三角形式运算以及三角函 数的恒等变化，以及复数的几何意义。复数与复平面内的点的对应关系经常出现在考题中， 关键是把复数化简成 的形式，并且准确的判断出 a、b 的符号是求解问题的关键。 3、复数的开放性的考查 例 4．复数 ，且 ，若 是实数，则有序实数对 可以是 ．（写出一个有序实数对即可） 解析：因为 ＝ 是实数，所以有 ，因为 ，所以 ，所以答案可以填写（2，1）或（2，4）、（3， 6）等等。 点评：本题考查复数的概念但是题目新颖具有开放性，这种考查分式应该引起我们的关注。 4、考查复数方程问题 复数方程问题是高考考查一个重点，从近几年考题看，解决这类问题主要是复数问题实 数化，设出复数 ＝x＋yi 形式，利用复数相等的定义转化为关于实数 x，y 的方程组求解。 例 5、设 、 为实数，且 ，则 + = . 解：由 知， ，即 ，即 ，故 解得 。 点评：本题考查了复数的化简、乘法、除法以及复数相等。 例 6 、（ 2006 年 上 海 春 卷 ） 已 知 复 数 满 足 为 虚 数 单 位 ）， ，求一个以 为根的实系数一元二次方程. [解法一 ， . 若 实系数一元二次方程有虚根 ，则必有共轭虚根 . ， 所求的一个一元二次方程可以是 . [解法二 设 )4sin(2sincos πθθθ +=+ )4sin(2cossin πθθθ −=− 4 5 4 3 πθπ << ππθπππθπ <−<<+< 42,2 3 4 0)4sin( <+ πθ 0)4sin( >− πθ bia + iz a b a b= + ∈R， ， 0b ≠ 2 4z bz− ( )a b， 2 4z bz− ibababba )42()4( 222 −+−− 042 2 =− bab 0≠b ba 2= x y ii y i x 31 5 211 −=−+− x y ii y i x 31 5 211 −=−+− 5(1 ) (1 2 ) (1 3 )2 5 10 x yi i i+ + + = + 5 (1 ) 2 (1 2 ) 5(1 3 )x i y i i+ + + = + (5 2 5) (5 4 15) 0x y x y i+ − + + − = 5 2 5 0, 5 4 15 0. x y x y + − =  + − = 1, 5. x y = −  = 4x y+ = w i(i)23(4 ww −=− |2|5 −+= wwz z i2i21 i34,i34)i21( −=+ +=∴+=+ ww i3|i|i2 5 +=−+−=∴ z i3 +=z i3 −=z 10,6 =⋅=+ zzzz ∴ 01062 =+− xx ibaw += R)( ∈ba、 ， 得 ， 以下解法同[解法一 . 点评：从以上解法看出，方法 1 运用整体思想求解，比方法 2 用基本方法要简单。由于数 思想方法是数 知识的精髓，又是知识转化为能力的桥梁。可见掌握几种思想方法，有利于 问题的解决。 baba 2i2i34i +−=−+    −= =− ,23 ,24 ab ba ∴    −= = ,1 ,2 b a i2 −=∴ w