内蒙古包头稀土高新区第二中学2019-2020高一下学期月考数学（理）试卷

内蒙古包头稀土高新区第二中学2019-2020高一下学期月考数学（理）试卷

‎ ‎ 理科数学 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 设的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，，则 A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】【分析】 本题考查正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题． 由已知及正弦定理可求，利用大边对大角可求B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解B的值． 【解答】 解：，，， 由正弦定理可得：， ， 为锐角，． 故选A． ‎ 2. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】【分析】 本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题． 由已知，利用余弦定理可得，可得，由，利用正弦定理可得，代入，可得由此可以确定三角形形状． 【解答】 解：因为，所以， 利用余弦定理可得， 因为， 故， 因为，利用正弦定理可得， 代入可得，故， 所以 为等边三角形． 故选C． ‎ 1. 已知等比数列为递增数列，是其前n项和若，，则   ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】【分析】 本题考查了等比数列的通项公式，求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属基础题． 利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出结果． 【解答】 解：设递增的等比数列的公比为q， ，， ， 解得，， ，解得或舍， ． 故选D． ‎ 2. 已知等差数列的前n项和为，若，则      ‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】【分析】 本题考查等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质的灵活应用，考查化简、变形能力，属于基础题． 根据题意利用等差数列的性质即可得． 【解答】 解：等差数列中，， ， ． 故选B． ‎ 1. 若等比数列的前n项和为，则   ‎ A. 3 B. 7 C. 10 D. 15‎ ‎【答案】D ‎【解析】【分析】 本题主要考查等比数列前n项和，利用等比数列的性质，属于中档题． 根据等比数列的性质可知：可设其公比为q，根据条件求出，再代入所求式子计算即可． 【解答】 解：若，可得，故， 若，则，不符合题意，故， ，， 化简得， 可得，解得， ． 故选D． ‎ 2. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且，，则   ‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】【分析】 本题主要考查余弦定理和面积公式的应用，属于基础题． 先求得角B，再由余弦定理求得边c，然后由面积公式求得面积． 【解答】 解：、B、C依次成等差数列， ， 由余弦定理得：， 得：． 由面积公式得：． 故选：C． ‎ 3. 不等式的解集是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】【分析】 本题主要考查分式不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题． 对分母进行讨论，列不等式关系式，即可求解． 【解答】 解：原不等式等价于：或， 解得或， 故原不等式的解集为：． 故选A． ‎ 1. 已知锐角三角形三边分别为3、4、a，则a的取值范围为    ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】【分析】 本题考查余弦定理、分类讨论思想的知识点，考查了三角形形状的判断，三角形的边角关系，以及一元二次不等式的解法，利用了分类讨论的数学思想，属于基础题． a为最大边，三角形为锐角三角形，故a所对的角为锐角，a不为最大边，4就为最大边，三角形为锐角三角形，故4所对的角为锐角，然后利用余弦定理列出不等式来解决问题． 【解答】 解：分两种情况来考虑： 当a为最大边时，则， 设a所对的角为，由锐角， 根据余弦定理可得：， 可知只要即可， 可解得：， 当a不是最大边时，则， 则4为最大边， 同理只要保证4所对的角为锐角就可以了， 则有，可解得：， 所以综上可知a的取值范围为， 故选C． ‎ 2. 已知中，，，则数列的通项公式是    ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】【分析】 本题考查数列递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力，属于基础题． 利用数列的递推关系式，通过累乘法，求解数列的通项公式． 【解答】 解：由， 可得：， 又， ‎ ‎ ． ， 故选C． ‎ 1. 等差数列的前n项之和为，已知，，，则，，，，，，中最大的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】【分析】 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 由已知可得：，，即可得出． 【解答】 解：，，， ，， ，， 则，，，，，，中最大的是． 故选C． ‎ 2. 若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：不等式恒成立， 即恒成立， 即恒成立， 即恒成立， ， 即， 解得； 实数a的取值范围是． 故选：B． 不等式恒成立化为恒成立，即，从而求出a的取值范围． 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想，是中档题． ‎ 3. 若两个正实数x，y满足 ，且不等式 有解，则实数m的取值范围 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】【分析】 本题考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．属于中档题． 将不等式有解，转化为求，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案． 【解答】‎ 解：不等式有解， ， ，，且， ， 当且仅当，即，时取“”， ， 故，即， 解得或， 实数m的取值范围是． 故选：B．‎ ‎ ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 已知，则函数的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【分析】 本题考查的是利用基本不等式求函数的最值，是基础题． 首先将原函数化简，再利用基本不等式求出最值． 【解答】 解：因为， 当且仅当时，函数取得最小值， 所以最小值为． 故答案为． ‎ 1. 若数列满足，，则______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【分析】 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 将，与当时，作差，进而可知，代入计算即得结论． 【解答】 解：因为， 所以当时，， 两式相减得：， 即， 所以， 由可知， 所以． 故答案为． ‎ 2. 若数列的首项，且，令，则_________．‎ ‎【答案】5050‎ ‎【解析】【分析】 本题考查数列的递推公司，考查等比数列，等差数列的性质，属于中档题． 推导出是首项为3，公比为3的等比数列，从而得，由此能求出． 【解答】 解：数列的首项，且， ，， 是首项为3，公比为3的等比数列， ， ， ． 故答案为5050． ‎ 3. 已知，，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【分析】 本题考查不等式的性质，难度一般． 【解答】 解：依题意设， 则，解得， 所以，， 则． 故答案为． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 1. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． 求角C的大小； 若，的面积为，求的周长．‎ ‎【答案】解：已知等式利用正弦定理化简得：， 整理得：， ，， ， 又， ； 由余弦定理得， ， ， ， ， ， 的周长为．‎ ‎【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数； 利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出的值，即可求的周长． ‎ 2. 已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足． 求角A的大小； 若，，求的面积．‎ ‎【答案】解：， 可得：， 由余弦定理可得：， 又， ‎ ‎； 由及正弦定理可得， ，， 由余弦定理可得， 解得：，， ．‎ ‎【解析】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式，属于中档题． 由已知等式可得，由余弦定理可得，结合范围，即可求得A的值； 由及正弦定理可得，又，，由余弦定理可解得b，c的值，利用三角形面积公式即可得解． ‎ 1. 在数列中，，． Ⅰ求证：数列是等差数列； Ⅱ求数列的前n项和．‎ ‎【答案】证明：Ⅰ由已知的两边同时除以， 得，且当时，， 所以数列是首项为4，公差为2的等差数列； 解：Ⅱ由Ⅰ，得， 所以， 故 所以 ，．‎ ‎【解析】本题主要考查了数列递推关系，等差数列的定义和证明、通项公式和裂项相消法求和，考查了计算能力，属于中档题． Ⅰ由已知的两边同时除以，得到 ‎，即可证明结论； Ⅱ由Ⅰ，得，可得，，利用裂项相消法即可得出数列的前n项和． ‎ 1. 中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，且．‎ ‎  求的值；‎ ‎  若，求面积的最大值．‎ ‎【答案】解： ． 在中，， 可得：， 由余弦定理可得 ， 即有，当且仅当时，取得等号， 则面积， 即有时，的面积取得最大值．‎ ‎【解析】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用诱导公式和二倍角公式，考查三角形的余弦定理和面积公式，以及基本不等式的运用，属于中档题． 利用诱导公式及二倍角的余弦公式对式子化简，代入即可得到所求值； 运用余弦定理和面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值． ‎ 2. 关于x的不等式 已知不等式的解集为，求a的值； 解关于x的不等式．‎ ‎【答案】解：关于x的不等式可变形为 ， 且该不等式的解集为， ‎ ‎； 又不等式对应方程的两个实数根为和2； ，解得； 时，不等式可化为，它的解集为； 时，不等式可化为， 当时，原不等式化为， 它对应的方程的两个实数根为和，且， 不等式的解集为或； 当时，不等式化为， 不等式对应方程的两个实数根为和， 在时，， 不等式的解集为； 在时，，不等式的解集为； 在时，，不等式的解集为 综上，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为或， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为 ‎【解析】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论的思想，是中档题目． 根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a的值； 讨论a的取值，求出对应不等式的解集即可． ‎ 1. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，． Ⅰ求和的通项公式； Ⅱ求数列的前n项和 ‎【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q． 由已知，得，而， 所以， 又因为，解得， 所以 ‎． 由，可得， 由，可得， 联立，解得，， 由此可得． 所以的通项公式为，的通项公式为； Ⅱ设数列的前n项和为，由， 有， ， 上述两式相减，得 ， 得， 所以数列的前n项和为．‎ ‎【解析】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式、等比数列的通项公式、错位相减法求和，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． Ⅰ设等差数列的公差为d，等比数列的公比为通过，求出q，得到，然后求出公差d，推出； Ⅱ设数列的前n项和为，利用错位相减法，转化求解数列的前n项和即可． ‎