江西省铅山第一中学2018-2019高二下学期第一次月考数学（理）试卷

江西省铅山第一中学2018-2019高二下学期第一次月考数学（理）试卷

‎ “山江湖”协作体2018-2019学年度第二学期高二年级第一次月考 数学试题（理）‎ 满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：许辉木 审题人：张海玲 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） ‎ ‎1．已知为虚数单位，若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．函数y＝sin2x的导数为（ ）‎ A.＝2cos2x B. ＝（sin2x+2cos2x）‎ C. ＝2（sin2x+cos2x） D.＝（2sin2x+cos2x）‎ ‎3、等比数列中，前三项和为，则公比的值是（ ）‎ A. B. C.或 D.或 ‎4．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x) （ ）‎ A．在(－∞，0)上为减少的 B．在x＝0处取极小值 C．在x＝2处取极大值 D．在(4，＋∞)上为减少的 ‎5．直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （ ）‎ A． B． C． 4 D．‎ ‎6．设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(2)＝( )‎ A．0 B．－4 C．－2 D．2‎ ‎7.函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知函数在处的切线与直线平行，则二项式展开式中的系数为（ ）‎ A. 120 B. 140 C. 135 D. 100‎ ‎9．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称 在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数。以下四个函数在上不是凸函数的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数，对任意，存在，使得，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知定义域为的奇函数的导函数，当时，，若，，，则下列关于的大小关系正确的是（ ）‎ A. B. b c a > > C. D. ‎ ‎12.已知函数，若有且只有两个整数， 使得，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、 填空题（每小5分，满分20分）‎ ‎13．________________．‎ ‎14．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2，则函数y＝f(x)的解析式为__________．‎ ‎15.已知直线与曲线相切，则实数的值为________________．‎ ‎16．已知函数的两个极值点分别为，且，若存在点在函数的图象上，则实数的取值范围是__________．‎ 三、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余每小题12分)‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 实数m取什么值时，复数是：①纯虚数；②实数；‎ ‎18，计算下列定积分（本小题满分12分）‎ ‎（1） （2） （3）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）=x3+x﹣16．‎ ‎（1）求曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线方程；‎ ‎（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．‎ ‎20、(本题共12分)‎ 如图，在半径为的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为．‎ ‎（1）按下列要求建立函数关系式：‎ ‎①设，将表示为的函数；‎ ‎②设（），将表示为的函数；‎ ‎（2）请您选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数 (为实常数) ．‎ ‎（1）当时，求函数在上的最大值及相应的值；‎ ‎（2）当时，讨论方程根的个数．‎ ‎（3）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）若函数有两个零点x1，x2，求的取值范围，并证明．‎ ‎ “山江湖”协作体2018-2019学年度第二学期高二年级第一次月考数学参考答案（理）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B C D C A C C D C A D 二、 填空题（每小5分，满分20分）‎ ‎13． 1 14 f(x)＝x2＋2x＋1 15.1+ln2 16．(1，3)或（10 所以a不存在……12分 ‎22.【解答】解：（1）由，得，‎ 当a≥0时，ax+1＞0，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若x＞1，f'（x）＜0，‎ 故当a≥0时，f（x）在x=1处取得的极大值；函数f（x）无极小值．…3分 ‎（2）当a≥0时，由（1）知f（x）在x=1处取得极大值，且当x趋向于0时，f（x）趋向于负无穷大，又f（2）=ln2﹣2＜0，f（x）有两个零点，则，解得a＞2．当﹣1＜a＜0时，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若；，则f（x）在x=1处取得极大值，在处取得极小值，由于， 则f（x）仅有一个零点．‎ 当a=﹣1时，，则f（x）仅有一个零点．‎ 当a＜﹣1时，若；若；‎ 若x＞1，f'（x）＞0，则f（x）在x=1处取得极小值，‎ 在处取得极大值，由于，则f（x）仅有一个 零点．‎ 综上，f（x）有两个零点时，a的取值范围是（2，+∞）．………7分 两零点分别在区间（0，1）和（1，+∞）内，不妨设0＜x1＜1，x2＞1．‎ 欲证x1+x2＞2，需证明x2＞2﹣x1，又由（1）知f（x）在（1，+∞）单调递减，故只需证明f（2﹣x1）＞f（x2） =0即可．‎ ‎，‎ 又， ‎ 所以f（2﹣x1）=ln（2﹣x1）﹣ln（x1）+2x1﹣2，‎ 令h（x）=ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2（0＜x＜1），‎ 则，‎ 则h（x）在（0，1）上单调递减，‎ 所以h（x）＞h（1）=0，即f（2﹣x1）＞0，‎ 所以x1+x2＞2．………（12分）‎