高考理科数学二轮专项训练专题：06 平面向量

高考理科数学二轮专项训练专题：06 平面向量

专题五 平面向量 第十三讲 平面向量的概念与运算 一、选择题 ‎1．(2018全国卷Ⅰ)在中，为边上的中线，为的中点，则 A． B．‎ C． D．‎ A【解析】通解 如图所示，‎ ‎．故选A．‎ 优解 ‎ ‎．故选A．‎ ‎2．(2018北京)设，均为单位向量，则“”是“⊥”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 C【解析】∵，∴，∴‎ ‎，又，∴，∴；反之也成立，故选C．‎ ‎3．(2018全国卷Ⅱ)已知向量，满足，，则 A．4 B．3 C．2 D．0‎ B【解析】，故选B．‎ ‎4．（2017北京）设, 为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 A【解析】因为为非零向量，所以的充要条件是．因为，则由可知的方向相反，，所以，所以“存在负数，使得”可推出“”；而可推出，但不一定推出的方向相反，从而不一定推得“存在负数，使得”，所以“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件．‎ ‎5．已知非零向量满足，．若，则实数t的值为 A．4 B．–4 C． D．–‎ B【解析】由可得，即，‎ 所以．故选B．‎ ‎6．已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为 A． B． C． D．‎ B【解析】设，，∴，‎ ‎，，‎ ‎∴，故选B.‎ ‎7．已知向量，且，则=‎ A． B． C．6 D．8‎ D【解析】由向量的坐标运算得，∵，∴，‎ 解得，故选D．‎ ‎8．已知向量 , 则=‎ A． B． C． D．‎ A【解析】由题意得，‎ 所以，故选A．‎ ‎9．设为非零向量，则“，”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C【解析】证充分性 所以，即充分性成立 证必要性因为 所以，即 则向量反向，即存在，使得由，则 所以，，即必要性成立所以 “，”是“”的充分必要条件 故选：C ‎10．已知向量与夹角为，且，，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C【解析】∵向量与夹角为，且，，‎ ‎∴，即∴，所以，故选：C ‎11．已知向量，，若，则（ ）‎ A．5 B． C．6 D．‎ ‎【答案】A【解析】解：向量，，若，可得，解得，‎ 所以，则．故选：A．‎ ‎12．(2018天津)如图，在平面四边形中，，，，‎ ‎． 若点为边上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． ‎ A【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图的平面直角坐标系，‎ 因为在平面四边形中，，，‎ 所以，，，设,，‎ 所以，，因为，所以，‎ 即，解得，即，‎ 因为在上，所以，由，得，即，‎ 因为，，‎ 所以 ‎，令，．‎ 因为函数在 上单调递减，在上单调递增，所以 ‎．所以的最小值为，故选A．‎ ‎13．(2018浙江)已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 A． B． C．2 D．‎ A【解析】解法一 设为坐标原点，，，，‎ 由得，即，所以点的轨迹是以为圆心，l为半径的圆．因为与的夹角为，所以不妨令点在射线()上，如图，‎ 数形结合可知．故选A．‎ 解法二 由得．‎ 设，，，所以，，‎ 所以，取的中点为．则在以为圆心，为直径的圆上，如图．‎ 设，作射线，使得，所以 ‎．故选A．‎ ‎14．在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为 A．3 B． C． D．2‎ A【解析】如图建立直角坐标系，‎ 则，，，，由等面积法可得圆的半径为，‎ 所以圆的方程为，所以，，，‎ 由，得，所以=，‎ 设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离小于半径，所以，解得，所以的最大值为3，即的最大值为3，选A．‎ ‎15．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 A． B． C． D．‎ B【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，‎ 则 ，，，设，‎ 所以 ，，，‎ 所以 ，‎ ‎，‎ 当时，所求的最小值为，故选B．‎ ‎16．如图，已知平面四边形，，，，与交于点，记，，，则 A．<< B．<< C．< < D．<<‎ C【解析】如图所示，四边形是正方形，为正方形的对角线的交点，易得，而，∴与为钝角，与为锐角．根据题意 ‎，∴，同理．做于，又．‎ ‎∴，而，‎ ‎∴，而，‎ ‎∴，即，∴，选C．‎ ‎17．在平面内，定点A，B，C，D满足 ==，=‎ ‎==2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是 A． B． C． D．‎ B【解析】由知,为的外心．由=‎ ‎= 知为的内心，所以为正三角形，易知其边长为，‎ 取的中点，因为是的中点，所以，‎ 所以，则．故选B．‎ 二、填空题 ‎18．(2018全国卷Ⅲ)已知向量，，．若，‎ 则= ．‎ ‎【解析】，因为，且，‎ 所以，即．‎ ‎19．已知向量，的夹角为60°，，，则= ．‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴‎ ‎20．已知向量,满足,,则的最小值是 ，最大值是 ．‎ ‎4,【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有：，‎ ‎，‎ 则：，‎ 令，则，‎ 据此可得：，‎ 即的最小值是4，最大值是.‎ ‎21．已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 ．‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，解得：．‎ ‎22．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为．若=+（，），则= ．‎ ‎3【解析】由可得，，由=+‎ 得，即 两式相加得，‎ 所以所以．‎ ‎23．设向量，，且，则= .‎ ‎－3【解析】由题意得：‎ ‎24．(2018上海)在平面直角坐标系中，已知点，，，是轴上的两个动点，且，则的最小值为______．‎ ‎【解析】设，，所以 ‎，当时，取得最小值．‎ ‎25．在平面直角坐标系中，，，点在圆：上，若，则点的横坐标的取值范围是 ．‎ ‎【解析】设，由，得，‎ 如图由可知，在上，‎ 由，解得，，所以点横坐标的取值范围为．‎ ‎26．在中，，，．若，‎ ‎，且，则的值为___________．‎ ‎【解析】，,则 ‎，．‎ ‎27．已知向量，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值是 ．‎ ‎【解析】由题意令，，，‎ 则由 可得 ①，令 ②‎ 得对一切实数恒成立，‎ 所以．‎ 故．故最大值为．‎ 三、解答题 ‎28．已知向量，，．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．‎ ‎【解析】（1）因为，，，所以．‎ 若，则，与矛盾，故．于是．‎ 又，所以．‎ ‎（2）.‎ 因为，所以，从而.‎ 于是，当，即时，取到最大值3；‎ 当，即时，取到最小值．‎ ‎29．在平面直角坐标系中，已知向量，，． ‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若与的夹角为，求的值．‎ ‎【解析】(1)∵，∴，故，∴．‎ ‎（2）∵与的夹角为，∴，‎ 故，又，∴，，即．‎ 故的值为．‎ ‎30．已知向量，函数，且 的图像过点和点．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）将的图像向左平移个单位后得到函数 的图像，若图像上各最高点到点的距离的最小值为1，‎ 求的单调递增区间．‎ ‎【解析】（Ⅰ）已知，‎ 过点，∴‎ ‎ ‎ ‎∴ 解得 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 由题意知 设的图象上符合题意的最高点为 由题意知．所以，即到点的距离为1的最高点为．‎ 将其代入得，‎ 又∵，所以，‎ 因此 由， 得 ‎∴的单调增区间为．‎ ‎31．在中，内角的对边，且，已知，，，求：‎ ‎（Ⅰ）和的值；‎ ‎（Ⅱ）的值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）∵，‎ 且，∴，∵，∴解得．‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）∵，∴，∵，‎ ‎，，‎ ‎∴，故．‎ ‎32．已知，，．‎ ‎(1) 若，求证：；‎ ‎(2) 设，若，求，的值．‎ ‎【解析】（1）＝，‎ ‎＝‎ ‎＝．‎ 所以，，所以，．‎ ‎（2），①2＋②2得：．‎ 所以，＝，＝＋，‎ 带入②得：(＋)＋＝＋＝(＋)＝1，‎ 所以，＋＝．所以，＝，＝．‎