【数学】2018届一轮复习人教A版平面向量共线定理学案

【数学】2018届一轮复习人教A版平面向量共线定理学案

专题3 平面向量共线定理 平面向量共线定理 ‎★★★‎ ‎○○○○‎ 平面向量共线定理 向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.‎ 平面向量共线定理的三个应用 ‎(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．‎ ‎(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，与有公共点A，则A，B，C三点共线．‎ ‎(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．‎ ‎[提醒]　证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．‎ ‎[例]　设两个非零向量a和b不共线．‎ ‎(1)若＝a＋b，＝‎2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线．‎ ‎(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．‎ ‎[解]　(1)证明：因为＝a＋b，＝‎2a＋8b，＝3(a－b)，‎ 所以＝＋＝‎2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，所以，共线．‎ 又与有公共点B，‎ 所以A，B，D三点共线．‎ ‎(2)因为ka＋b与a＋kb共线，‎ 所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，‎ 即解得k＝±1.‎ 即k＝1或－1时，ka＋b与a＋kb共线．‎ ‎1.已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，则A， B，C三点共线的充要条件为(　　)‎ A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1‎ C．λμ＝－1 D．λμ＝1‎ 解析：选D　∵A，B，C三点共线，∴∥，设＝m(m≠0)，则λa＋b＝m(a＋μb)，∴ ∴λμ＝1，故选D.‎ ‎2.已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同．若a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一直线上，则t＝________.‎ ‎3.(2015·新课标全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ 解析：选A　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋，故选A.‎ ‎1．设M是△ABC所在平面上的一点，且＋＋＝0，D是AC的中点，则的值为(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ ‎2．在△ABC中，＝3，若＝λ1＋λ2，则λ1λ2的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　由题意得，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ1＝，λ2＝，∴λ1λ2＝.‎ ‎3．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2， ＝2，＝2，则＋＋与 (　　)‎ A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析：选A　由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，因此＋＋＝＋(＋－)＝＋＝－，故＋＋与反向平行．‎ ‎4．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎5．已知点G是△ABC的重心，过点G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为(　　)‎ A．3 B. C．2 D. 解析：选B　由已知得M，G，N三点共线，所以＝λ＋(1－λ)＝λx＋(1－λ)y.∵点G是△ABC的重心，∴＝×(＋)＝(＋)，∴即得＋＝1，即＋＝3，通分得＝3，∴＝.‎ ‎6．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积的比值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　设AB的中点为D，如图，连接MD，MC，由5＝＋3，得5＝2＋3 ①，即＝＋，即＋＝1，故C，M，D三点共线，又＝＋ ②，①②联立，得5＝3，即在△ABM与△ABC中，边AB上的高的比值为，所以△ABM与△ABC的面积的比值为.‎ ‎________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________‎