山东省临沂第一中学2019-2020学年高二下学期第一次阶段性测试数学试题

山东省临沂第一中学2019-2020学年高二下学期第一次阶段性测试数学试题

‎2018级高二下学期第一次阶段性测试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(　　)‎ A. －15x4 B. 15x‎4 ‎C. －20ix4 D. 20ix4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：二项式的展开式的通项为，令，则，故展开式中含的项为，故选A.‎ ‎【考点】二项展开式，复数的运算 ‎【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式可以写为，则其通项为，则含的项为．‎ ‎2. 已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为(　　)‎ A. 33 B. ‎34 ‎C. 35 D. 36‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为C‎21C31A33=36，‎ 但集合B、C中有相同元素1，‎ 由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，‎ 故所求的个数为36-3=33个，‎ 故选A．‎ ‎3.抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，求得的值，再由条件概率的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】记事件A表示“第一次正面向上”,事件B表示“第二次反面向上”,‎ 则P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)==，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4.已知随机变量且，则（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由正态分布性质知，所以 ‎．‎ 考点：正态分布．‎ ‎5.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ）‎ A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．‎ 解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；‎ 分3种情况讨论可得，‎ 甲在星期一有A42=12种安排方法，‎ 甲在星期二有A32=6种安排方法，‎ 甲在星期三有A22=2种安排方法，‎ 总共有12+6+2=20种；‎ 故选A．‎ ‎6.已知，则“”是“对恒成立”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对两个条件分别进行化简，再转化成判断两个集合之间的关系，即可得答案.‎ ‎【详解】一方面，，‎ 另一方面，对恒成立，‎ 所以“”是“对恒成立”的充分不必要条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查不等式的求解、一元二次不等式恒成立问题、简易逻辑知识，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.‎ ‎7.若函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导，求出函数的单调区间，结合已知条件进行求解即可.‎ ‎【详解】，‎ 当时，单调递减，当时，单调递增，‎ 当时，单调递减，因此函数的极小值为：‎ 或 要想函数区间上有最小值，则有：‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了函数在区间有最小值求参数取值范围，考查了导数的应用，考查了数学运算能力.‎ ‎8.在二项式的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据前三项的系数成等差数列求n，再根据古典概型概率公式求结果 ‎【详解】因为前三项的系数为 ‎，‎ 当时，为有理项，从而概率为,选C.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.集合，是实数集子集，定义且，若集合，，则以下说法正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得集合，然后根据定义求得，由此判断出正确结论.‎ ‎【详解】对于集合，由于二次函数开口向上，对称轴为，定义域为，所以当时有最小值为，当时有最大值为.‎ 所以.‎ 对于集合，由于二次函数开口向上，对称轴为轴，定义域为，所以当时，有最小值为，当时有最大值为.‎ 所以.‎ 所以，.‎ 故选：BCD ‎【点睛】本小题主要考查二次函数值域求法，考查集合运算，属于基础题.‎ ‎10.设函数，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 在区间上单调递增 ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A：利用正弦型函数最小正周期公式直接判断即可；‎ B：判断当时，函数值是否是最值即可；‎ C：判断当时，函数的值是否为零即可；‎ D：求出的取值范围，然后进行判断即可.‎ ‎【详解】A：函数的最小正周期为：，所以是函数的一个周期，故本结论是正确的；‎ B：当时，，该函数值不是函数的最值，故本结论是错误的；‎ C：当时，，故本结论是错误的；‎ D：当时，，所以函数单调递增，故本结论是正确的.‎ 故选：AD ‎【点睛】本题考查了正弦型函数的周期、对称性、单调性，属于基础题.‎ ‎11.下面结论正确的是（ ）‎ A. 若，则事件A与B是互为对立事件 B. 若，则事件A与B是相互独立事件 C. 若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件 D. 若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据互斥事件、对立事件的知识判断AC两个选项的正确性，根据相互独立事件的知识判断BD两个选项的正确性.‎ ‎【详解】对于A选项，要使为对立事件，除还需满足，也即不能同时发生，所以A选项错误.‎ 对于C选项，包含于，所以与不是互斥事件，所以C选项错误.‎ 对于B选项，根据相互独立事件的知识可知，B选项正确.‎ 对于D选项，根据相互独立事件的知识可知，D选项正确.‎ 故选：BD ‎【点睛】本小题主要考查互斥事件和对立事件，考查相互独立事件，属于基础题.‎ ‎12.下列判断正确的是（ ）‎ A. 若随机变量服从正态分布，，则；‎ B. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件；‎ C. 若随机变量服从二项分布：，则；‎ D. 已知直线经过点，则的取值范围是 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态分布曲线的对称性可判断A选项；B选项为充分不必要条件；根据二项分布均值公式求解可判断C选项；由题意知，根据基本不等式求出的范围即可判断D选项.‎ ‎【详解】A选项，若随机变量服从正态分布，，根据正态分布曲线的对称性有，所以，A选项正确；‎ B选项，因为，直线平面，所以直线平面，又直线平面，所以，充分性成立；设，在内取平行于的直线，则且，但是与相交，必要性不成立，B不正确；‎ C选项，因为，所以，C正确；‎ D选项，由题意知，因为，，所以 ‎，当且仅当时取等号，故D正确.‎ 故选：ACD ‎【点睛】本题考查正态分布曲线的对称性，二项分布的期望，线、面之间的位置关系，均值不等式，属于中档题.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.任意选择四个日期，设表示取到的四个日期中星期天的个数，则________，________.‎ ‎【答案】 (1). . (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项分布的期望和方差的计算公式，计算出以及.‎ ‎【详解】任意选择四个日期，取到星期天的概率为，所以.‎ 所以.‎ 故答案为：（1）；（2）‎ ‎【点睛】本小题主要考查二项分布的期望和方差的计算，属于基础题.‎ ‎14.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用互斥事件概率加法公式求解．‎ ‎【详解】解:因为取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是,‎ 所以从中任意取出2粒恰好是同一色的概率为：‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意互斥事件概率加法公式的合理运用．‎ ‎15.已知是离心率为2的双曲线右支上一点，则该双曲线的渐近线方程为_______，到直线的距离与到点的距离之和的最小值为_____.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的离心率求出m，然后求解渐近线方程；利用双曲线的定义，转化求解P到直线y＝2x的距离与P到点F（﹣2，0）的距离之和的最小值．‎ ‎【详解】离心率为2的双曲线，可得，解得m＝3，双曲线方程为：x2，故双曲线的渐近线方程为：y；‎ 双曲线的焦点坐标（±2，0），‎ PF′﹣PF＝2，PF′+PD＝2+PF+PD，显然PDF三点共线，并且PF垂直直线y＝2x时，‎ P到直线y＝2x的距离与P到点F（﹣2，0）的距离之和的最小值：22．‎ 故答案为y；2．‎ ‎【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎16.某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有_________种（请用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题使用插空法，先将亮的盏灯排成一排，由题意，两端的灯不能熄灭则有个符合条件的空位，进而在个空位中，任取个插入熄灭的盏灯，有中方法，故答案为.‎ 考点：1、阅读能力、数学建模能力；2、化归思想及组合问题的“插空法”.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及组合问题的“插空法”，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：将熄灯方法转化为组合问题的“插空法”解答.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在二项式的展开式中．‎ ‎（1）求该二项展开式中所有项的系数和的值；‎ ‎（2）求该二项展开式中含项的系数；‎ ‎（3）求该二项展开式中系数最大的项．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，即可得该二项展开式中所有项的系数和的值；‎ ‎（2）在通项公式中，令的幂指数等于4，求得的值，可得含项的系数；‎ ‎（3）根据，求得的值，可得结论；‎ ‎【详解】（1）令，可得该二项展开式中所有项的系数和的值为；‎ ‎（2）二项展开式中，通项公式为，令，求得，‎ 故含项的系数为．‎ ‎（3）第项的系数为，由，求得，‎ 故该二项展开式中系数最大的项为 ．‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．‎ ‎18.已知数列的前n项和为，满足：.‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）令，，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用当时，求证即可； ‎ ‎（2）先结合（1）求得，再由，然后累加求和即可.‎ ‎【详解】解：（1）因为，①‎ ‎，②‎ ‎①-②得：‎ ‎，‎ 即，‎ 又，即，则，‎ 即数列是以6为首项，3为公比的等比数列；‎ ‎（2）由（1）得，‎ 则，‎ 即，‎ 则，‎ 即，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了利用定义法证明等比数列，重点考查了公式法求和及裂项求和法求和，属中档题.‎ ‎19.从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数.‎ ‎（1），必须被选出；‎ ‎（2）至少有2名女生被选出；‎ ‎（3）让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）从以外的人中，任选个人，由此求得选法数.‎ ‎（2）先计算出从人任选人的方法数，然后减去至多有名女生被选出的方法数，由此求得选法数.‎ ‎（3）先选出一名男生担任体育委员、然后选出一名女生担任文娱委员、再在剩余的人中任选人进行安排，由此求得选法数.‎ ‎【详解】（1）由于，必须被选出，再从以外的人中，任选个人，故选法数有 种.‎ ‎（2）从人任选人的方法数有，选出的人中没有女生的方法数有，选出的人中有名女生的方法数有.‎ 所以至少有2名女生被选出的选法数为.‎ ‎（3）先选出一名男生担任体育委员、然后选出一名女生担任文娱委员、再在剩余的人中任选人安排职务，故选法数为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查实际生活中的组合数、排列数的计算，属于基础题.‎ ‎20.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1．‎ ‎（1）若直线PB与CD所成角的大小为求BC的长；‎ ‎（2）求二面角B－PD－A的余弦值．‎ ‎【答案】(1) BC的长为2;(2)二面角的余弦值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：（1）以为单位正交基底，建立空间直角坐标系．设，则 ‎，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可；（2）分别求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.‎ 试题解析：解：（1）以{ }为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz．因为AP＝AB＝AD＝1，所以A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．设C(1，y，0)，则＝(1，0，－1)，＝(－1，1－y，0)． ‎ 因为直线PB与CD所成角大小为，‎ 所以|cos＜，＞|＝| |＝ ，‎ 即，解得y＝2或y＝0（舍），‎ 所以C(1，2，0)，所以BC的长为2． ‎ ‎（2）设平面PBD的一个法向量为＝(x，y，z)．‎ 因为＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，‎ 则即 ‎ 令x＝1，则y＝1，z＝1，所以＝(1，1，1)． ‎ 因为平面PAD一个法向量为＝(1，0，0)，‎ 所以cos＜，＞＝ ‎ 所以，由图可知二面角B－PD－A的余弦值为．‎ ‎21.设袋子中装有个红球、个黄球、个蓝球，且规定：取出1个红球得1分，取出1个黄球得2分，取出1个蓝球得3分.‎ ‎（1）当，，时，从该袋子中依次任取（有放回，且每个球取到机会均等）2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；‎ ‎（2）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量为取出此球所得分数.若 ‎，，求.‎ ‎【答案】（1）分布列见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据相互独立事件概率计算公式，计算出的分布列.‎ ‎（2）先求得的分布列，利用，列方程，由此求得.‎ ‎【详解】（1）依题意，，且 ‎，，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎（2）依题意可知的分布列为 ‎①，‎ ‎②，‎ 由①②得 ‎，解得，‎ 故 ‎【点睛】本小题主要考查随机变量分布列、期望和方差的有关计算，属于中档题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）若时，求的极值；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）极大值，无极小值；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，利用导数可求出函数的极值；‎ ‎（2）由题意可得出，分、、三种情况讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，求出函数的最大值，然后解不等式，综合可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，则.‎ 令，即，得，解得.‎ 当时，，当时，.‎ 所以，函数有极大值，无极小值；‎ ‎（2）因为恒成立，所以，‎ ‎.‎ ‎①当时，令，则，‎ 当时，，此时，函数单调递增；‎ 当时，，此时，函数单调递减.‎ ‎，；‎ ‎②当时，，成立；‎ ‎③当时，令，则，‎ 当时，，此时，函数单调递增；‎ 当时，，此时，函数单调递减.‎ ‎，即，得，解得.‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.‎