高考理科数学复习练习作业45
题组层级快练(四十五)
1．把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( )
A．27 B．28
C．29 D．30
答案 B
解析 观察归纳可知第n个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋n＝，
∴第七个三角形数为＝28.
2．(2017·邯郸一中月考)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )
窗口
1
2
过
道
3
4
5
窗
口
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
…
…
…
…
…
A.48，49 B．62，63
C．75，76 D．84，85
答案 D
解析 由已知图中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号知，只有D项符合条件．
3．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；
④“若x∈R，则|x|<1⇒－1
1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由图案可得第n个图案中的点数为3n，则an＝3n－3，∴＝＝－，∴＋＋＋…＋＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝，故选B.
12．已知cos＝；coscos＝；coscoscos＝；…
根据以上等式，可猜想出的一般结论是________．
答案 coscos…cos＝，n∈N*
解析 观察所给等式，左侧项数依次递增，角的分母是奇数，右侧分母是2n，故可猜想出一般结论为coscos…cos＝，n∈N*.
13．观察下列等式：×＝1－；×＋×＝1－；
×＋×＋×＝1－；
……
由以上各式推测第n个等式为________．
答案 ×＋×＋…＋×＝1－
14．在平面△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于E，则类比的结论为________．
答案 ＝
解析 在立体几何中一般面积类比体积，边类比面．观察比例式＝的特点，右侧为△ABC的角C的内角平分线CE两邻边之比，在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B，因此＝.
15．(2017·太原模拟)有一个游戏：将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：
甲说：乙或丙拿到标有3的卡片； 乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；
丙说：标有1的卡片在甲手中； 丁说：甲拿到标有3的卡片．
结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为______．
答案 4、2、1、3
解析 由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片，由乙的预测不正确可得乙拿到标有2的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有4的卡片，故丙拿到标有1的卡片，即甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为4、2、1、3.
16．顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交给顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：
工序
时间
原料
粗加工
精加工
原料A
9
15
原料B
6
21
则最短交货期为________个工作日．
答案 42
解析 最短交货期为先由徒弟完成原料B的粗加工，共需6天，然后工艺师加工该件工艺品，需21天；徒弟可在这几天中完成原料A的粗加工；最后由工艺师完成原料A的精加工，需15个工作日．故交货期为6＋21＋15＝42个工作日．
17．(名师原创)将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×
4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q(p≤q且p，q∈N*)是正整数n的最佳分解时，我们规定函数f(n)＝，例如f(12)＝.关于函数f(n)有下列叙述：①f(7)＝；②f(24)＝；③f(28)＝；④f(144)＝.其中所有正确的序号为________．
答案 ①③
解析 利用题干中提供的新定义信息可得，对于①：∵7＝1×7，∴f(7)＝，①正确；对于②，∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，∴f(24)＝＝，②不正确；对于③，∵28＝1×28＝2×14＝4×7，∴f(28)＝，③正确；对于④，∵144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12，∴f(144)＝＝1，④不正确．
1．(2015·山东)观察下列各式：
C10＝40；
C30＋C31＝41；
C50＋C51＋C52＝42；
C70＋C71＋C72＋C73＝43；
……
照此规律，当n∈N*时，
C2n－10＋C2n－11＋C2n－12＋…＋C2n－1n－1＝________．
答案 4n－1
解析 由题知C2n－10＋C2n－11＋C2n－12＋…＋C2n－1n－1＝4n－1.
2．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
答案 C
解析 记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
3．已知数列{an}为等差数列，则有等式a1－2a2＋a3＝0，a1－3a2＋3a3－a4＝0，a1－4a2＋6a3
－4a4＋a5＝0.
(1)若数列{an}为等比数列，通过类比，则有等式______；
(2)通过归纳，试写出等差数列{an}的前n＋1项a1，a2，…，an，an＋1之间的关系为________．
答案 (1)a1a2－2a3＝1，a1a2－3a33a4－1＝1，a1a2－4a36a4－4a5＝1
(2)Cn0a1－Cn1a2＋Cn2a3－…＋(－1)nCnnan＋1＝0
解析 因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算，后者是乘法运算，所以类比规律是由低一级运算转化到高一级运算，从而解出第(1)问；通过观察发现，已知等式的系数与二项式系数相同，解出第(2)问．
4．(2016·山东日照阶段训练)二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________．
答案 2πr4
解析 据归纳猜想可知(2πr4)′＝8πr3，所以四维测度W＝2πr4.
5．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．
答案 (1) (2)sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝
解析 方法一：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)
＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
方法二：(1)同解法一．
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝＋－sinα·(cos30°cosα＋sin30°sinα)
＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α
＝－cos2α＋＋cos2α＋·sin2α－sin2α－(1－cos2α)
＝1－cos2α－＋cos2α＝.
6．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，它的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”，过三棱锥的顶点及斜面任两边上的中点的截面均称为斜面的“中面”．直角三角形具有性质：“斜边的中线长等斜边边长的一半”，仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质：________．
答案 在直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一．
解析 在直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一．
如图所示，在直角三棱锥A－BCD中，AB⊥AC，AC⊥AD，
AD⊥AB，E，F分别是棱BC，CD的中点，则有AE＝BC，AF＝CD，EF＝BD，∴＝＝＝.
∴△AEF∽△CBD，∴＝，即S△AEF＝S△CBD，即在直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一．
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，满足Sn＋＋2＝an(n≥2)，则S2 015＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
答案 D
解析 利用归纳推理求解．
由Sn＋＋2＝an＝Sn－Sn－1，得＝－Sn－1－2(n≥2)．
又S1＝a1＝－，所以S2＝－，S3＝－，S4＝－.
由归纳推理可得S2 015＝－.
8．观察图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆点，第n个图案中圆点的个数是an，按此规律推断出所有圆点总和Sn与n的关系式为( )
A．Sn＝2n2－2n B．Sn＝2n2
C．Sn＝4n2－3n D．Sn＝2n2＋2n
答案 A
解析 事实上由合情推理的本质：由特殊到一般，当n＝2时，有S2＝4，分别代入即可排除B、C、D三项，从而选A.也可以观察各个正方形图案可知圆点个数可视为首项为4，公差为4的等差数列，因此所有圆点总和即为等差数列前(n－1)项和，即Sn＝(n－1)×4＋×4＝2n2－2n.
9．观察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
答案 D
解析 ∵55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，58＝390 625，59＝1 953 125，510＝9 765 625，…，∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则f(2 011)＝f(501×4＋7)＝f(7)，∴52 011与57的末四位数字相同，均为8 125.故选D.
10．对∀a，b∈R，定义运算：a⊕b＝a⊗b＝则下列判断正确的是________．
①2 015⊕(2 014⊗2 015)＝2 014；
②(a⊕a)⊗a＝0；
③(a⊕b)⊗a＝a⊕(b⊗a)．
答案 ②
解析 对于①，由定义的运算可知，2 014⊗2 015＝2 015－2 014＝1，
故2 015⊕(2 014⊗2 015)＝2 015⊕1＝2 015，故①错误．
对于②，因为a⊕a＝a，故(a⊕a)⊗a＝a⊗a＝a－a＝0，故②正确．
由于③，当a≥b时，a⊕b＝a，故(a⊕b)⊗a＝a⊗a＝0，
而b⊗a＝a－b，故a⊕(b⊗a)＝a⊕(a－b)．
显然，若b≥0，则a≥a－b，所以a⊕(a－b)＝a，
若b<0，则a
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