数学（文）卷·2018届湖北省孝感高级中学高二上学期期末考试（2017-01）

数学（文）卷·2018届湖北省孝感高级中学高二上学期期末考试（2017-01）

孝感高中 2016—2017 学年度高二上学期期末考试 数学（文）试题 考试时间：120 分钟 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1．某校共有高一、高二、高三学生 1290 人，其中高一 480 人，高二比高三多 30 人，为了 解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生 96 人，则该样本中的高二学生人数为 A．84 B．78 C．81 D．96 2．对变量 x,y 有观测数据（xi,yi）（i=1,2,…,10），得散点图（1）；对变量 u，v，有观测数据 （ui,vi）（i=1,2，…,10），得散点图（2），由这两个散点图可以判断 A.变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关；　　　 B.变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关； C.变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关； 　　　D.变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关． 3．取一根长度为 5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长度都不小于 2 m 的概率是 A. B. C. D．不能确定 4．已知双曲线 的离心率为 ，则 的渐近线方程为 A． B． C． D． 5.设 : ， : ，则 是 成立的 A. 充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D. 既充分也不必要条件 6．若曲线 在点（0，b）处的切线方程是 ，则 1 2 1 5 1 3 ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > 5 2 C xy 4 1±= xy 2±= xy 2 1±= xy 4±= p 4 ( ) ( )1f x xf> ( ),0−∞ ( )0,1 ( )0,+∞ 2−= xy 2 1 5 5 2 2 5 10 12 2 =+ ym x 内的细豆有 n 粒，则可估计 的一个近似值为________（用 m,n 表示）． 16．古式楼阁中的横梁多为木质长方体结构，当横梁的长度一定时，其强度与宽成正比，与 高的平方成正比.现将一圆柱形木头锯成一横梁(长度不变),当高与宽的比值为_______时,横 梁的强度最大. 三、解答题：本大题共 6 小题，解答应写出文字说明或演算步骤． 17.（本小题满分 10 分） 每袋砂糖的标准重量是 500 克，质监部门为了了解一批砂糖的重量状况,从中抽取了 9 袋,称 得各袋的重量(单位:克)如下: 490 495 493 498 499 500 503 507 506 （Ⅰ）求出这组值的平均值和标准差； （Ⅱ）若在低于标准值的 5 袋中随机没收两袋，求这两袋的重量都在平均值之下的概率． 18.（本小题满分 12 分） 命题 p： 在 R 上单调递增；命题 q： 只有唯一的 零点．若命题 p 和命题 q 中有且只有一个为真，求 a 的范围． 19．（本小题满分 12 分） 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励全市 30 万居民节约用水，计划调整 居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 （吨），一位居民的月用水量不 超过 的部分按平价收费，超过 的部分按议价收费，并希望约 80%的居民每月的用水量不 超过标准 （吨）．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均 用水量（单位：吨），将数据按照 分成 9 组，制成了如图所示的 频率分布直方图． x x x x [ ) [ ) [ )0,0.5 , 0.5,1 , , 4,4.5 π xaxxf 2sin)( −= axxxg +−= 23 3)( （Ⅰ）求直方图中 的值，并估计全市居民中月均用量不低于 3 吨的人数； （Ⅱ）若每组内部，用水量视为均匀分布，估计 x 的值(精确到 0.1). a 0. A B C D E P F 20.（本小题满分 12 分） 如图，已知四棱锥 ，底面 为边长为 2 的菱形， 平面 ， ， 是 的中点， ． （Ⅰ） 证明： ； （Ⅱ） 若 为 上的点， ⊥ ，求 与平面 所 成角的正切值． 21.（本小题满分 12 分） 点 M,N 是抛物线 E 上的两动点,M 到点(2,0)的距离比到直线 的距离少 1，点 O(M，Ｎ与 O 不重合)是坐标原点，OM⊥ON. （Ⅰ）求抛物线 E 的标准方程； （Ⅱ）在 轴上是否存在定点总在直线 MN 上，若存在，求出该定点的坐标；若不存在， 请说明理由. 22.（本小题满分 12 分） ． （Ⅰ）当 时，讨论 在 )上的单调性； （Ⅱ）当 时，对 恒成立，求 b 的取值范围． P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 60ABC∠ = ° E BC PA AB= AE PD⊥ F PD EF PD EF PAD 03=+x x xxaxaxf −−+= 2 2 1ln)( 1∀ ， 文科数学参考答案 一．选择题:　ACBCC ADADC BD 二．填空题: 108　　　 2 或 三．解答题： 17．解：(1)平均值 499.....3 分 　 　　　标准差 ；.....................6 分 (2) 基本事件总数：20 ，满足条件的基本事件个数：12 ， 　　　 这两袋的重量都在平均值之下的概率：P＝ ．.................．．．10 分 18．解：p 真， ≥０恒成立，则 ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 分 　 ｑ真，则 满足极大值为负或极小值为正，又 ，得 　 ∴极大值 ，极小值 ，即 ，．．．．．．．．．．．．7 分 　 ∴当ｐ真ｑ假时： ，　当ｐ假ｑ真时： ， 　　故 的范围是： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分 19.解：（1）∵ ， 　　　　∴ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 分 　　由图可得月均用水量不低于 3 吨的人数为： 　　∴全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数约为 3.6 万；.....................6 分 （2）由图可得月均用水量不低于 2.5 吨的频率为： ； 月均用水量低于 3 吨的频率为： ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．9 分 则 吨．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．........．12 分 20．（1）证明：∵ 四边形 为菱形，且 ， 4 3 m n4 2 =++++++++= 9 506507503500499498493495490x =++++++++= 9 784101649 222222222 s 3 662 5 3 20 12 = xaxf 2cos2)(' −= 2≥a )(xg 063)(' 2 =−= xxxg 20或=x 0)0( <= ag 04)2( >−= ag 40 >< aa 或 42 ≤≤ a 0=+++++× 7.25.03.0 73.080.05.05.2 ≈× −×+=x ABCD 60ABC∠ = ° 　　∴ 为正三角形，又 为 中点， 　　∴ ；又 ， 　　∴ ，..............................................3 分 ∵ 平面 ，又 平面 ， 　　∴ ， 　　∴ 平面 ，又 平面 ， 　　∴ ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分 （2）连结 ，由（１）知 平面 ， 　　∴ 为 与平面 所成的角，且 ．．．．．．．．．．．8 分 　　依题意， ， ， 　　 ∴ ， 　　∴ 与平面 所成角的正切值为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分 21．解：（１）由题可得，Ｅ是以点(2,0)为焦点，以 为准线的抛物线， 　 　　　　∴　抛物线Ｅ的标准方程是： ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分　　　 （２）设直线ＭＮ的方程为 ，与 轴的交点为 ，Ｍ ，Ｎ ， 　 则 ，即 ；．．．．．．．．．．．．．．6 分 又由 OM⊥ON 得: ，而 ， ， ∴ ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分 ∴ 直线ＭＮ的方程为 ，过定点(8,0)， 即得在 轴上存在定点满足条件，其坐标是(8,0).．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分 ABC∆ E BC AE BC⊥ / /AD BC AE AD⊥ PA ⊥ ABCD AE ⊂ ABCD PA AE⊥ AE ⊥ PAD PD ⊂ PAD AE PD⊥ AF AE ⊥ PAD AFE∠ EF PAD AF PD⊥ 2AF = 3=AE 6tan 2 AEAFE AF ∠ = = EF PAD 6 2 2−=x xy 82 = nmyx += x )0,(n ),( 11 yx ),( 22 yx )(88 2 2 nmyy nmyx xy +=⇒    += = 0882 =−− nmyy 02121 =+ yyxx 64 )( 88 2 21 2 2 2 1 21 yyyyxx =⋅= nyy 821 −= 0864 64 2 =− nn 8=⇒ n )0( 舍去=n 8+= myx x 22．解：（１） ， ， 　　　　令 得 ，又令 得 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 分 　　 　　　　　 　　 　　　　　 ； 当 时， 　　　此时 在 内递增，在 内递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分 　　 　　（２） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分 　　又设 ，则 ， 　 ∴ 　 ， .....10 分 　∴ ， 　∴　 的取值范围是 ．........................................12 分 x axaxxax axf ))1)((1(1)1()(' −−−=−−+= 1⇔> xxf )(xf )1( ∞+， )10( ， ，时，当 x xxbxfbxa 1ln)(11 +−≤−⇔≥+= x xxxg 1ln)( +−= 2 2ln)(' x xxg −= 内递增，内递减，，在 )()0()( 22 ∞+eexg .11)()( 2 2 min eegxg −== 2min 11)()(10 exgbxfbxx −=≤−⇔≥+>∀ ， b 11 2 −≥ eb