【数学】四川省宜宾市第四中学2020-2021学年高二上学期开学考试（理）

【数学】四川省宜宾市第四中学2020-2021学年高二上学期开学考试（理）

四川省宜宾市第四中学2020-2021学年 高二上学期开学考试（理）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．如图，平行四边形的对角线交于点，若，，用、表示为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知三个内角、、的对边分别是，若，则等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．下列结论正确的是 ‎ A．若直线，直线，则 B．若直线，则内的所有直线都与垂直 C．若直线不平行于，则内没有与平行的直线 D．若直线不垂直于，则内没有与垂直的直线 ‎5．已知，则在数列的前40项中最大项和最小项分别是 ‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎6．设为等差数列的前项和，，，则 ‎ A．-6 B．-4 C．-2 D．2‎ ‎7．如果满足，，的有两个，那么x的取值范围为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设，向量，，若，则　 ‎ A． B． C． D．5‎ ‎9．在直角坐标系中，已知点，，过的直线交轴于点，若直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．定义为n个正数，，…，的“均倒数”，若已知数列的前n项的“均倒数”为，又，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知平面向量满足，、为不共线的单位向量.且恒成立，则、夹角的最小值为 ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．直线的倾斜角为__________；‎ ‎14．已知点、、，则△的面积是________.‎ ‎15．已知函数在区间上是增函数，其在区间上恰好取得一次最大值2，则的取值范围是______.‎ ‎16．在中，若，则的外接圆的面积的最小值为_______.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。‎ ‎17．（10分）已知直线：，直线：．‎ Ⅰ若直线与直线平行，求实数a的值；‎ Ⅱ若直线与直线垂直，求直线与的交点坐标．‎ ‎18．（12分）如图，在中，已知点在边上，，，，.（I）求的值；‎ ‎（II）求的长.‎ ‎19．（12分）过点作直线l分别交x轴的正半轴，y轴的正半轴于A，B两点.‎ ‎（I）当取最小值时，求出最小值及直线l的方程；‎ ‎（II）当取最小值时，求出最小值及直线l的方程.‎ ‎20．（12分）已知数列是一个公差大于零的等差数列，且，，数列的前项和为，且.‎ ‎（I）求数列，的通项公式；‎ ‎（II）设，求数列的前项和.‎ ‎21．（12分）如图,四棱锥的侧面是正三角形,,且,,是中点.‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）若平面平面,且,求二面角的余弦值.‎ ‎22．（12分）已知函数， 且．‎ ‎（I）当时，设集合，求集合；‎ ‎（II）在（1）的条件下，若，且满足，求实数的取值范围；‎ ‎（III）若对任意的，存在，使不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．D 2．D 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．B 10．A 11．C 12．B ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．解：已知直线：，直线：．‎ Ⅰ若直线与直线平行，则有，求得．‎ Ⅱ若直线与直线垂直，则有，求得，‎ 两直线即直线：，直线：，‎ 由求得，直线与的交点坐标为 ‎18．解:(1)在中, , ，所以 .‎ 同理可得, .所以 ‎.‎ ‎(2)在中,由正弦定理得, . ‎ 又,所以.‎ 在中,由余弦定理得, ‎ ‎.‎ ‎19．(1)根据题意可设直线l的方程为,则,‎ 直线l过点,‎ ‎,‎ 又(当且仅当,即时取等号),,即,‎ 的最小值为8,此时直线l的方程为;‎ ‎(2)由(1)可知,,则,‎ ‎(当且仅当,即时取等号).‎ 的最小值为4,此时直线l的方程为.‎ ‎20．（1）依题意，设等差数列的公差为，则有 将②代入①得，即，∵，∴，.∴.‎ 当时，，，‎ 当时，，∴.‎ ‎∴数列是以为首项，为公比的等比数列，.‎ ‎（2）∵，，①②‎ ‎①－②，得 ‎，∴.‎ ‎20.（1）取的中点,连接,‎ 因为是中点,所以,且,‎ 又因为,,所以,,‎ 即四边形是平行四边形,所以,‎ 又因为平面,平面,所以平面；‎ ‎（2）取中点,连接,,‎ 因为是正三角形,所以,因为平面平面,‎ 所以平面,平面,所以,故,‎ 过作交于,‎ 所以,且平面,‎ 过作交于,连接,所以, ‎ 所以为二面角的平面角,因为,,‎ 因为平面,所以,且, ‎ 又因为,所以,,‎ 故,所以二面角的余弦值为.‎ ‎22．（1）由时，.由得，即，‎ 解得，所以．‎ ‎（2）由得，‎ 所以，‎ 所以可转化为：在上恒成立，解得，‎ 所以实数的取值范围为．‎ ‎（3）“对任意的，存在，使不等式恒成立”，等价于 ‎“，时，”．‎ ‎①当时，由题意可得函数为上的减函数，为上的增函数，‎ 故等价于，即，不等式无解；‎ ‎②当时，为上的增函数，为上的减函数，‎ 故等价于，即，‎ 解得．综上可得．所以实数的取值范围为．‎