2018版高考数学（人教A版理）一轮复习：第8章 第6节 课时分层训练50
课时分层训练(五十) 双曲线
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D.y2－＝1
C [由于焦点在y轴上，且渐近线方程为y＝±2x.
∴＝2，则a＝2b.C中a＝2，b＝1满足．]
2．(2015·湖南高考)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
D [由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，∴＝.
又b2＝c2－a2，∴＝，
即e2－1＝，∴e2＝，∴e＝.]
3．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为( )
A.－＝1(y>0)
B.－＝1(x>0)
C.－＝1(y>0)
D.－＝1(x>0)
B [由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5.
所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．]
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
A [由题意知a＝，b＝1，c＝，
∴F1(－，0)，F2(，0)，
∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．
∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，
即x－3＋y<0.∵点M(x0，y0)在双曲线上，
∴－y＝1，即x＝2＋2y，
∴2＋2y－3＋y<0，∴－
0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝__________.
【导学号：01772319】
[双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－x，因为a>0，所以＝，所以a＝.]
8．(2016·山东高考)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
2 [如图，由题意知|AB|＝，|BC|＝2c.
又2|AB|＝3|BC|，
∴2×＝3×2c，即2b2＝3ac，
∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2，并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．]
三、解答题
9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程.
【导学号：01772320】
[解] 椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.3分
设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，8分
又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.
∴＝3，得a＝3，b＝4，10分
∴双曲线G的方程为－＝1.12分
10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积.
【导学号：01772321】
[解] (1)∵e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．
∴设双曲线方程为x2－y2＝λ.2分
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.4分
(2)证明：∵＝(－3－2，－m)，
＝(2－3，－m)．
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.6分
∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.8分
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4.
由(2)知m＝±.10分
∴△F1MF2的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝×4×＝6.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·河南中原名校联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
D [由题意可求得|AB|＝，所以S△OAB＝××c＝，整理得＝.因此e＝.]
2．(2017·天津河西区质检)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为__________．
x2－＝1 [由双曲线的渐近线y＝±x，即bx±ay＝0与圆(x－2)2＋y2＝3相切，
∴＝，则b2＝3a2.①
又双曲线的一个焦点为F(2,0)，
∴a2＋b2＝4，②
联立①②，解得a2＝1，b2＝3.
故所求双曲线的方程为x2－＝1.]
3．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围.
【导学号：01772322】
[解] (1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.4分
故C2的方程为－y2＝1.5分
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
∴k2≠且k2<1.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－.8分
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又·>2，得x1x2＋y1y2>2，
∴>2，即>0，
解得
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