【数学】2020届一轮复习北师大版集 合学案
§1.1 集 合
最新考纲
考情考向分析
1.了解集合、元素的含义及其关系.
2.理解集合的表示法.
3.了解集合之间的包含、相等关系.
4.理解全集、空集、子集的含义.
5.会求简单集合间的并集、交集.
6.理解补集的含义并会求补集.
集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度.
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB
(或BA)
集合相等
集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集
A＝B
3.集合的基本运算
运算
自然语言
符号语言
Venn图
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
概念方法微思考
1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．
提示 2n,2n－1.
2．从A∩B＝A，A∪B＝A可以得到集合A，B有什么关系？
提示 A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × )
(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( × )
(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √ )
(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( √ )
(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( × )
题组二 教材改编
2．[P11例9]已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U(A∪B)＝
________.
答案 {x|x是直角}
3．[P44A组T5]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．
答案 2
解析 集合A表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线y＝x，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点，，则A∩B中有两个元素．
题组三 易错自纠
4．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )
A．0或 B．0或3
C．1或 D．1或3或0
答案 B
解析 A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B⊆A，所以m＝3或m＝，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合题意，所以m＝0或m＝3，故选B.
5．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 C
解析 当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3，故集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素个数为3，故选C.
6．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x
3.
7．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.
答案 0或
解析 若a＝0，则A＝，符合题意；
若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝.
综上，a的值为0或.
题型一 集合的含义
1．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 B
解析 B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}．
2．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.
答案 0或1
解析 若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A中含有元素－3，－1，－4，满足题意；
若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A中的三个元素为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性；
若a2－4＝－3，则a＝±1，当a＝1时，集合A中的三个元素为－2,1，－3，满足题意；
当a＝－1时，不符合题意．
综上可知，a＝0或a＝1.
思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
题型二 集合的基本关系
例1 (1)已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为( )
A.或－ B．－或
C.或－或0 D．－或或0
答案 D
解析 由题意知，A＝{2，－3}．
当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A；
当a≠0时，ax－1＝0的解为x＝，
由B⊆A，可得＝－3或＝2，∴a＝－或a＝.
综上可知，a的值为－或或0.
(2)已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|x2
C．a≥－1 D．a>－1
答案 D
解析 因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.
(2)设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是______．
答案 (－∞，－1]∪{1}
解析 因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：
①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得
解得a＝1；
②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，
并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；
③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，
解得a<－1.
综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．
思维升华 (1)集合基本运算的求解策略
①当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算．
②当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．
③根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．
(2)集合的交、并、补运算口诀
交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．
跟踪训练2 (1)(2018·浙江“七彩阳光”联盟联考)已知全集为R，集合A＝{y|y＝3x，x≤1}，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∪B＝________，A∩(∁RB)＝________.
答案 (0,4] (0,2)
解析 因为A＝{y|y＝3x，x≤1}＝{y|0＜y≤3}，
B＝{x|x2－6x＋8≤0}＝{x|2≤x≤4}，
所以A∪B＝(0,4]．又因为∁RB＝{x|x＜2或x＞4}，
所以A∩(∁RB)＝(0,2)．
(2)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B.
C. D．(1，＋∞)
答案 A
解析 因为A∩B≠∅，所以解得a≥1，故选A.
题型四 集合的新定义问题
例4 (1)定义集合的商集运算为＝.已知集合A＝{2,4,6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 B
解析 由题意知，B＝{0,1,2}，＝，则∪B＝，共有7个元素，故选B.
(2)如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x,0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________.
答案 {0,6}
解析 由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}．
思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：
(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．
(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
跟踪训练3 (1)定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于( )
A．{x|30}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________．
答案 [1，＋∞)
解析 由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.
13．已知集合A＝{x|1
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