北京市第十二中学2019-2020学年高二下学期5月月考理科数学试题

北京市第十二中学2019-2020学年高二下学期5月月考理科数学试题

‎5月月考数学 一、选择题（本大题共20小题，每小题4分，共80分）‎ ‎1.在等差数列中，若，，则等于（ ）‎ A. 13 B. ‎15 ‎C. 17 D. 48‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用等差中项公式求解即可．‎ ‎【详解】解： 等差数列中，‎ 若，，则13．‎ 故选：A ．‎ ‎【点睛】本题考查等差中项公式的应用；基础题.‎ ‎2.设m∈N*，且m＜25，则（20﹣m）（21﹣m）…（26﹣m）等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由排列数公式可得（20﹣m）（21﹣m）…（26﹣m），即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，（20﹣m）（21﹣m）…（26﹣m），‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查排列数公式，关键是掌握排列数公式的形式，属于基础题．‎ ‎3. 拋掷2颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是 ‎(　　)‎ A. 2颗都是4点 B. 1颗是1点，另1颗是3点 C. 2颗都是2点 D. 1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 考点：离散型随机变量及其分布列．‎ 分析：题目要求点数之和为ξ=4表示的随机试验结果，对于选择题我们可以代入选项检验，从而选出正确答案，题目考查的是变量所取得数字与试验中事件相互对应．‎ 解：对A、B中表示的随机试验的结果，‎ 随机变量均取值4，‎ 而D是ξ=4代表的所有试验结果．‎ 故选D ‎4.已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1+a9＝18，a4＝7，则S10＝（ ）‎ A. 55 B. ‎81 ‎C. 90 D. 100‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式可得a1及公差d，再利用前n项和公式即可得到S10．‎ ‎【详解】设等差数列知{an}的公差为d，‎ ‎∵a1+a9＝18，a4＝7，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴S1010×1+45×2＝100．‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题型，熟练掌握等差数列的通项公式、前n项和公式是解题的关键．‎ ‎5.从标1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为ξ，那么随机变量ξ可能取的值有（ ）‎ A. 17个 B. 18个 C. 19个 D. 20个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎2支竹签上的数字是1~10中的两个，若其中一个为1，另一个可取2~10，相应X可取得3~11，同理一个为2，另一个可取3~10，相应X可取得5~12，以此类推，可看到X可取得3~19间的所有整数，共17个.‎ ‎6.（x）6展开式中常数项是（ ）‎ A. 第4项 B. ‎24C C. C D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．‎ ‎【详解】（x）6展开式的通项公式为，令60，求得，‎ 可得展开式中常数项是•24，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎7.从装有3个白球,4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球,1个红球的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据古典概型计算恰好是2个白球1个红球的概率.‎ 详解：由题得恰好是2个白球1个红球的概率为.‎ 故答案为C.‎ 点睛：（1）本题主要考查古典概型，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；③代公式=.‎ ‎8.已知各项不为0的等差数列{an}，满足a72﹣a3﹣a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝（ ）‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 8 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质化简已知条件，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，即得到的值，把所求的式子利用等比数列的性质化简，将的值代入求出值．‎ ‎【详解】根据等差数列的性质得：，‎ ‎ 变为：，解得，或（舍去），‎ 所以，‎ 因为数列等比数列，所以，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值，是一道基础题．‎ ‎9.已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d>‎0”‎是 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>‎0”‎是“S4 + S6>2S‎5”‎的充要条件，选C．‎ ‎【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件．‎ ‎10.随机变量的概率分布规律为其中是常数，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意，由所有概率的和为可得，‎ ‎，故选.‎ ‎11.的展开式中，含项的系数为40，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. －2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项展开式的通项公式可得的系数与的关系，解出即可.‎ ‎【详解】展开式的通项公式为，‎ 令，则，‎ 故的系数为，故.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式中的指定项，利用展开式的通项公式来处理此类问题是不二选择，此类问题属于容易题.‎ ‎12.随机变量的分布列如下表，其中，，成等差数列，且，‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ 则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据a,b,c成等差数列，a+b+c=1，可解得a,b,c，进而求出.‎ ‎【详解】由，得.则，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查根据随机变量X的分布列求概率，分析题目条件易求出．‎ ‎13.现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用捆绑法和插空法,将3个男生看成一个整体方法数是种，再排列6个女生，最后让所有男生插孔即可.‎ ‎【详解】采用捆绑法和插空法；从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是 种，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数是种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是种．综上所述，不同的排法共有种.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．‎ ‎14.已知等比数列{an}中，有a‎2a14＝‎8a8，数列{bn}是等差数列，其前n项和为Sn，且a8＝b8，则S15＝（ ）‎ A. 30 B. ‎60 ‎C. 120 D. 240‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的中项性质可得a8＝8，设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和．‎ ‎【详解】等比数列{an}中，有a‎2a14＝‎8a8，可得a82＝‎8a8，解得a8＝8（0舍去），‎ 数列{bn}是等差数列，设公差为d，其前n项和为Sn，‎ 由a8＝b8＝8，可得b1+7d＝8，‎ 则S15＝15b115×14d＝15（b1+7d）＝15×8＝120．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的中项性质和等差数列的通项公式、求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎15.已知是等比数列，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再求出，即得解 ‎【详解】由题得.‎ 所以，‎ 所以.‎ 所以，所以数列是一个等比数列.‎ 所以=.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法和前n项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎16.设{an}（n∈N*）是各项为正数的等比数列，q是其公比，Tn是其前n项的积，且T5＜T6，T6＝T7＞T8，则下列结论错误的是（ ）‎ A. 0＜q＜1 B. a7＝1‎ C. T6与T7均为Tn的最大值 D. T9＞T5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的单调性和通项公式逐个选项验证可得．‎ ‎【详解】∵{an}是各项为正数的等比数列，q是其公比，Tn是其前n项的积，‎ 由T6＝T7可得a7＝1，故B正确；‎ 由T5＜T6可得a6＞1，∴q∈（0，1），故A正确；‎ 由{an}是各项为正数的等比数列且q∈（0，1），所以数列单调递减，‎ ‎∴T9＜T5，故D错误；‎ 结合T5＜T6，T6＝T7＞T8，可得C正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的性质，涉及数列的单调性，属中档题．‎ ‎17.将数字1，1，2，2，3，3排成三行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）‎ A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，可按分步原理计数，根据题设中的规则可分六步解决这个问题，分别计算出每一步的填法种数，再由分步原理即可得到总的排列方法．‎ ‎【详解】由题意，可按分步原理计数，‎ 第一步，第一行第一个位置可从1，2，3三数字中任意选一个，有三种选法，‎ 第二步，第一行第二个位置可从余下两数字中选一个，有二种选法，‎ 第三步，第二行第一个位置，由于不能与第一行第一个位置上的数字同，故其有两种选法，‎ 第四步，第二行第二个位置，由于不能与第一行第二个数字同也不能第二行第一个数字同，故它只能有一种填法，‎ 第五步，第三行第一个数字不能与第一行与第二行的第一个数字同，故其只有一种填法，‎ 第六步，此时只余下一个数字，故第三行第二列只有一种填法，‎ 由分步原理知，总的排列方法有3×2×2×1×1×1＝12种.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理，准确审题正确得出每一步的填法种数也很关键，计数问题是高考的热点，本题需要考虑的因素较多，计数较复杂，有难度,属于中档题．‎ ‎18.在数列{an}中，若an2﹣an﹣12＝p，（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列“的判断：‎ ‎①若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列；‎ ‎②{（﹣1）n}是等方差数列；‎ ‎③若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；‎ ‎④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．‎ 其中正确命题的个数是（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】利用等方差数列的定义与等差数列的定义判断①；利用等方差数列的定义判断②；先表示出{akn}的通项公式，然后利用等方差的定义进行判断③；利用等方差数列和等差数列的定义判断④．‎ ‎①若数列{an}是等方差数列，则有p（n∈N*，且n≥2），‎ 则数列{}是公差为p的等差数列，故①正确；‎ ‎②数列{（﹣1）n}中，an2﹣an﹣12＝[（﹣1）n]2﹣[（﹣1）n﹣1]2＝0，（n≥2，n∈N*），‎ ‎∴数列{（﹣1）n}等方差数列，故②正确；‎ ‎③数列{an}中的项列举出来是：a1，a2，…，ak，…，a2k，…‎ 数列{akn}中的项列举出来是：ak，a2k，a3k，…‎ ‎∵（ak+12﹣ak2）＝（ak+22﹣ak+12）＝…＝a2k2﹣a2k﹣12＝p ‎∴（ak+12﹣ak2）+（ak+22﹣ak+12）+…+（a2k2﹣a2k﹣12）＝kp ‎∴ak（n+1）2﹣akn2＝kp，即数列{akn}是等方差数列，故③正确；‎ ‎④∵数列{an}是等差数列，∴an﹣an﹣1＝d1（n≥2）．‎ ‎∵数列{an}是等方差数列，∴an2﹣an﹣12＝d2（n≥2），‎ ‎∴（an+an﹣1）d1＝d2，‎ ‎∴当d1≠0时，为常数列；‎ 当d1＝0，数列{an}为常数列．‎ 则该数列{an}必为常数列，故④正确．‎ ‎∴正确命题的个数是4个．‎ 故选：D．‎ 本题考查新定义以及等差数列的定义及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．‎ ‎19.如图所示，天花板上挂着3串玻璃球，射击玻璃球规则：每次击中1‎ 球，每串中下面球没击中，上面球不能击中，则把这6个球全部击中射击方法数是（ ）‎ A. 78 B. ‎60 ‎C. 48 D. 36‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，假设6个小球为A、B、C、D、E、F，要求C在B之前，B在A之前，且E在D之间被击中，先不考虑限制条件，计算将6个小球按被击中的顺序排成一排的情况，进而计算ABC、DE之间的顺序，据此分析可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，如图：假设6个小球为A、B、C、D、E、F，要求C在B之前，B在A之前，且E在D之前被击中，‎ 若不考虑限制条件，将6个小球按被击中的顺序排成一排，有A66＝720种情况，‎ ABC之间的顺序有A33种，DE之间的顺序有A22种，‎ 其中C在B之前，B在A之前，且E在D之间，则把这6个球全部击中射击方法数是60种；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查排列组合的应用，解题的关键在于将原问题转化为有固定顺序的排列问题．‎ ‎20.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造.根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为，径粗，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带.需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄.在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数字.如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“‎ ‎”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用这6根算筹能表示的两位数的个数为（ ）‎ A. 13 B. ‎14 ‎C. 15 D. 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，确定6根算筹，可以表示的数字组合，进而可确定每个组合可以表示的两位数，即可得出结果.‎ ‎【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为（1，5），（1，9），（2，4），（2，8），（6，4），（6，8），（3，3），（3，7），（7，7）；‎ 数字组合（1，5），（1，9），（2，4），（2，8），（6，4），（6，8），（3，7）中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数；‎ 而数字组合（3，3），（7，7）每组可以表示1个两位数，共2个两位数；‎ 因此，用这6根算筹能表示的两位数的个数为16个.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查简单的排列组合的应用，熟记排列组合的定义即可，属于常考题型.‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎21.若与7的等差中项为4，则实数＝________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差中项的公式，列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】由于与的等差中项为，故.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差中项的公式.利用公式列方程可求得的值.属于基础题.‎ ‎22.二项式（1﹣2x）10展开式中，第5项的二项式系数为_____．‎ ‎【答案】210‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出二项式展开式的通项公式，确定第五项中k的值，再求二项式系数．‎ ‎【详解】由题意知：通项为，‎ 令k+1＝5，得k＝4，故第五项的二项式系数为：．‎ 故答案为：210．‎ ‎【分析】本题考查二项式展开式二项式系数的求法，注意区别于项的系数，属于基础题．‎ ‎23.已知随机变量X的分布列为，则等于________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由概率分布列中所有概率和为1可求得，从而根据互斥事件概率公式计算出概率．‎ ‎【详解】，，解得a=5，‎ 则.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查随机变量概率分布列，掌握概率分布列的性质是解题关键．‎ ‎24.某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有__________种（用数字作答）．‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】‎ 先选出学生选报的社团，共有种选法，再把这3名同学分配到这两个社团，共有，故恰有2个社团没有同学选报数有．‎ ‎25.将正奇数划分成下列各组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31}，……则前n组各数的和是_____．‎ ‎【答案】n4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题设条件先找到前n组中的数据个数，再求其和即可．‎ ‎【详解】依题意知前n组中的数据个数为1+3+5+…+（2n﹣1）n2，且其中的数据是以1为首项，2为公差的等差数列，故前n组各数的和是n22＝n4．‎ 故答案为：n4．‎ ‎【点睛】本题关键是分析并求出n组中的数据个数，还考查了等差数列的和的公式，属于基础题．‎ ‎26.已知集合A＝{x|x＝6n﹣1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}，将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，若Sm＝3014，则正整数m值为_____．‎ ‎【答案】37‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设集合A中的元素从小到大依次排列构成数列{bn}，设集合B中的元素从小到大依次排列构成数列{cn}，列举出数列{bn}、{cn}中的一些项，根据列出的项，找到满足其前m项和等于3014的项数m即可．‎ ‎【详解】设集合A中的元素从小到大依次排列构成等差数列{bn}，其前n项和为Tn，‎ 设集合B中的元素从小到大依次排列构成等比数列{cn}，其前n项和为Dn，‎ 则数列{bn}：5，11，17，23，29，35，41，47，53，59，65，71，77，83，89，95，‎ ‎101，107，113，119，125，131，137，143，149，155，161，167，173，179，…，‎ 数列{cn}：2，4，8，16，32，64，128，256，…，‎ 故数列{an}：2，4，5，8，11，16，17，23，29，32，35，41，47，53，59，64，65，‎ ‎71，77，83，89，95，101，107，113，119，125，128，131，137，143，149，155，161，167，173，179，…，‎ ‎∵T30+D73014＝Sm，∴m＝37．‎ 故答案为：37．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用等差、等比数列的前n项和公式求数列的和，属于基础题．‎ 三、解答题（本大题共3小题，共40分）‎ ‎27.端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽子3个，肉粽子2个，白粽子5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．‎ ‎（1）求三种粽子各取到1个的概率；‎ ‎（2）设ξ表示取到豆沙粽子个数，求ξ的分布列．‎ ‎【答案】（1）．（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出基本事件总数，再求出三种粽子各取到1个包含的基本事件个数，由此能求出三种粽子各取到1个的概率．‎ ‎（2）设ξ表示取到的豆沙粽子个数，由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列．‎ ‎【详解】（1）设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽子3个，肉粽子2个，白粽子5个，‎ 这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，‎ 基本事件总数n120，‎ 三种粽子各取到1个包含的基本事件个数m30，‎ ‎∴三种粽子各取到1个的概率p．‎ ‎（2）设ξ表示取到的豆沙粽子个数，‎ 由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，‎ P（ξ＝0），‎ P（ξ＝1），‎ P（ξ＝2），‎ P（ξ＝3），‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．‎ ‎28.设等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），等比数列{bn}的前n项和为Tn（n∈N*），已知a1＝3，b1＝1，a3+b2＝10，S3﹣T2＝11．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}、{bn}通项公式：‎ ‎（Ⅱ）若数列{cn}满足c1＝1，cn+1﹣cn＝an，求c100；‎ ‎（Ⅲ）设数列dn＝an•bn，求{dn}的前n项和Kn．‎ ‎【答案】（Ⅰ）an＝2n+1，bn＝3n，n∈N*；（Ⅱ）10000；（Ⅲ）Kn＝n•3n+1．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）等差数列{an}的公差设为d，等比数列{bn}的公比设为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求得cn+1﹣cn＝an＝2n+1，由数列的恒等式cn＝c1+（c2﹣c1）+（c3﹣c2）+…+（cn﹣cn﹣1），结合等差数列的求和公式，计算可得所求和；‎ ‎（Ⅲ）求得dn＝an•bn＝（2n+1）•3n，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．‎ ‎【详解】（Ⅰ）等差数列{an}的公差设为d，前n项和为Sn（n∈N*），‎ 等比数列{bn}的公比设为q，前n项和为Tn（n∈N*），‎ 由a1＝3，b1＝1，a3+b2＝10，S3﹣T2＝11，‎ 可得3+2d+q＝10，9+3d﹣（1+q）＝11，‎ 解得d＝2，q＝3，‎ 则an＝3+2（n﹣1）＝2n+1，bn＝3•3n﹣1＝3n，n∈N*；‎ ‎（Ⅱ）若数列{cn}满足c1＝1，cn+1﹣cn＝an＝2n+1，‎ 可得cn＝c1+（c2﹣c1）+（c3﹣c2）+…+（cn﹣cn﹣1）＝1+3+5+…+（2n﹣1）‎ n（1+2n﹣1）＝n2，‎ 则c100＝1002＝10000；‎ ‎（Ⅲ）dn＝an•bn＝（2n+1）•3n，‎ Kn＝3•3+5•32+7•33+…+（2n+1）•3n，‎ ‎3Kn＝3•32+5•33+7•34+…+（2n+1）•3n+1，‎ 两式相减可得﹣2Kn＝9+2（32+33+…+3n）﹣（2n+1）•3n+1‎ ‎＝9+2•（2n+1）•3n+1，‎ 化简可得Kn＝n•3n+1．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．‎ ‎29.已知递增数列{an}前n项和为Sn，且满足a1＝3，4Sn﹣4n+1＝an2，设bn（n∈N*)且数列{bn}的前n项和为Tn ‎（Ⅰ)求证：数列{an}为等差数列；‎ ‎（Ⅱ)若对任意的n∈N*，不等式λTnn•（﹣1)n+1恒成立，求实数λ的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ)见解析（Ⅱ)（﹣∞，14)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ)当n≥2时，由4Sn﹣4n+1＝an2，类比可得4Sn﹣1﹣4（n﹣1)+1＝an﹣12，两式相减，再化简整理可得（an+an﹣1﹣2)（an﹣an﹣1﹣2)＝0，即an+an﹣1﹣2＝0，或an﹣an﹣1﹣2＝0，根据数列{an}是递增数列可排除不符合题意的一项，即可证明结论；‎ ‎（Ⅱ)先根据第（Ⅰ)题的结果计算出数列{an}的通项公式，以及数列{bn}的通项公式，然后运用裂项相消法计算出Tn的表达式，将Tn的表达式代入不等式，分离参变量可得λ（2n+3)[3n+2•(﹣1)n+1]，构造数列{cn}：令cn(2n+3)[3n+2•(﹣1)n+1]，通过分别对数列{cn}的奇偶项的单调性进行分析可得数列{cn}的最小项的值，即可得到实数λ的取值范围．‎ ‎【详解】（Ⅰ)证明：依题意，当n≥2时，由4Sn﹣4n+1＝an2，可得 ‎4Sn﹣1﹣4(n﹣1)+1＝an﹣12，‎ 两式相减，可得 ‎4an﹣4＝an2﹣an﹣12，‎ 化简整理，得 ‎(an+an﹣1﹣2)(an﹣an﹣1﹣2)＝0，‎ ‎∴an+an﹣1﹣2＝0，或an﹣an﹣1﹣2＝0，‎ ‎∵数列{an}是递增数列，‎ ‎∴an≥an﹣1，则an+an﹣1≥2an﹣1≥‎2a1＝2×3＝6，‎ ‎∴an+an﹣1﹣2＝0不符合题意，‎ ‎∴an﹣an﹣1﹣2＝0，即an﹣an﹣1＝2，‎ ‎∴数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列．‎ ‎（Ⅱ)由（Ⅰ)知，an＝3+2•(n﹣1)＝2n+1，n∈N*，‎ 则bn()，‎ 故Tn＝b1+b2+…+bn ‎()()()‎ ‎()‎ ‎()‎ ‎，‎ 将Tn代入不等式，可得λ•n•（﹣1)n+1，‎ 化简整理，得 λ(2n+3)[3n+2•(﹣1)n+1]，‎ 构造数列{cn}：令cn(2n+3)[3n+2•(﹣1)n+1]，则 ‎①当n为奇数时，n+2为奇数，‎ cn(2n+3)[3n+2•(﹣1)n+1] (2n+3)(3n+2)，‎ cn+2[2(n+2)+3][3(n+2)+2•(﹣1)n+3] (2n+7)（3n+8)，‎ cn+2﹣cn(2n+7)(3n+8)(2n+3)(3n+2)‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎∵n为奇数，∴n2+2n﹣10，‎ ‎∴cn+2﹣cn0，即cn+2cn，‎ ‎∴数列{cn}的奇数项为单调递增数列，即c1c3c5…‎ ‎②当n为偶数时，n+2也为偶数，‎ cn(2n+3)[3n+2•(﹣1)n+1]（2n+3)(3n﹣2)，‎ cn+2[2(n+2)+3][3(n+2)+2•(﹣1)n+3] (2n+7)(3n+4)，‎ cn+2﹣cn(2n+7)(3n+4)(2n+3)(3n﹣2)‎ ‎0，‎ 故数列{cn}的偶数项为单调递增数列，即c2c4c6…‎ ‎∵c1＝25，c2＝14，c3＝33，c4，‎ ‎∴λ{cn}min＝c2＝14，‎ ‎∴实数λ的取值范围为(﹣∞，14)．‎ ‎【点睛】本题主要考查数列求通项公式，求和问题，以及数列与不等式的综合．考查了转化与化归思想，整体思想，函数思想，分类讨论，不等式的运算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属综合性较强的中档题．‎