高考数学专题复习：专题7统计与统计案例、概率和统计 第2讲
专题七 第二讲
一、选择题
1．(2013·郑州预测)在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积小于24cm2的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 设线段AC的长为xcm，其中0
6.又0 b，b < c时称为“凹数”(如213,312等)，若a、b、c∈{1,2,3,4}且a、b、c互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 解法1：任取3个数，共能构成24个三位数，A＝“该数为凹数”，则A＝{213,214,312,314,412,412,324,423}共包括8个基本事件，
∴P(A)＝＝.
解法2：从4个不同数中任取3个，这3个数字共组成6个不同三位数，其中凹数有2个，∴P＝＝.
(理)一个正方体玩具，其各面标有数字－3、－2、－1、0、1、2，随机投掷一次，
将其向上一面的数字记作m，则函数f(x)＝x3＋mx在(－∞，－)上单调的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] f ′(x)＝3x2＋m，当m≥0时，f ′(x)≥0，f(x)单调递增；当m<0时，令f ′(x)＝0得，x＝±，
∴f(x)在(－∞，－)上单调增加，
∵<<，∴－<－<－，
∴当m＝－1时，f(x)在(－∞，－)上单调递增，
∴所求概率P＝＝.
15．(文)连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，则a⊥b的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由a⊥b得，m－2n＝0，满足此条件的(m，n)共有3个，所求概率P＝＝.
(理)(2013·潍坊教学质量监测)箱子里装有标号为1、2、3、4、5、6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 当摸的两个球中有标号为4的球时，此时两球的号码之积是4的倍数，有5种情况；当摸的两个球中有标号均不是4的球时，此时要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种情况，故一次摸奖能够获奖的概率为＝，因此所求概率等于C·()3·(1－)＝，选B.
二、填空题
16．(文)在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量a＝(a，b)，从所得的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，则平行四边形的面积等于2的概率为________．
[答案]
[解析] 满足题设要求的向量a共有6个，从中任取两个，共有15种不同取法．设以原点为起点时，它们的终点分别为A(a1，b1)，B(a2，b2)，则以OA、OB为邻边的平行四边形面积
S＝
＝
＝＝|a1b2－a2b1|，
满足S＝2的有＝(2,1)，＝(4,3)；＝(2,1)，＝(4,1)；＝(2,3)，＝(4,5)共3组，故所求概率P＝＝.
(理)(2014·广东理，11)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．
[答案]
[解析] 由题意从10个数中取7个数有C种方法，而中位数为6，则从0,1,2,3,4,5中取3个有C种，后面三个只能是7,8,9，
∴概率＝＝＝.
三、解答题
17．(文)(2014·山东文，16)海关对同时从A、B、C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A、B、C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，
求这2件商品来自相同地区的概率．
[分析] 按分层抽样在各层中所占比例确定出来自A、B、C各地区商品的数量，列举6个选2个的不同取法，找出对应事件的基本事件数．用古典概型的概率公式去求．
[解析] (1)A、B、C各地区商品的数量之比为50150100＝132.
故从A地区抽取样本6×＝1件，从B地区抽取样本6×＝3件，从C地区抽取样本6×＝2件．
(2)将这6件样品分别编号a1，b1，b2，b3，c1，c2，随机选取2件，不同的取法共有{(a1，b1)(a1，b2)(a1，b3)(a1，c1)(a1，c2)(b1，b2)(b1，b3)(b1，c1)(b1，c2)(b2，b3)(b2，c1)(b2，c2)(b3，c1)(b3，c2)(c1，c2)}共15种．
设“2件商品来自相同地区”为事件A，则A含有{(b1，b2)(b1，b3)(b2，b3)(c1，c2)}共4种，故所求概率P(A)＝.
(理)(2013·天津文，15)某产品的三个质量指标分别为x、y、z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品，现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x，y，z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x，y，z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品．
(ⅰ)用产品编号列出所有可能的结果；
(ⅱ)设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
[解析] (1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1、A2、A4、A5、A7、A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，
从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)(ⅰ)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．
(ⅱ)在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1、A2、A5、A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．
所以P(B)＝＝.
18．(文)(2013·太原模拟)某高中社团进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如图1所示统计表和如图2所示的各年龄段人数频率分布直方图.
组数
分组
时尚族的人数
占本组的频率
第一组
[25,30)
120
0.6
第二组
[30,35)
195
p
第三组
[35,40)
100
0.5
第四组
[40,45)
a
0.4
第五组
[45,50)
30
0.3
第六组
[50,55]
15
0.3
请完成以下问题：
(1)补全频率直方图，并求n，a，p的值；
(2)从[40,45)岁和[45,50)岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队年龄在[40,45)岁的概率．
[解析] (1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，
所以高为＝0.06.频率直方图如下：
第一组的人数为＝200，频率为0.04×5＝0.2，
所以n＝＝1000，
所以第二组的人数为1000×0.3＝300，p＝＝0.65，
第四组的频率为0.03×5＝0.15，第四组的人数为1000×0.15＝150，
所以a＝150×0.4＝60.
(2)因为[40,45)岁与[45,50)岁年龄段的“时尚族”的比值为6030＝21，
所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人．
记a1、a2、a3、a4为[40,45)岁中抽得的4人，b1、b2为[45,50)岁中抽得的2人，全部可能的结果有：
(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，
(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，
(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15个，
选取的两名领队都在[40,45)岁的有6种，
所以所求概率为＝.
(理)(2014·湖北七市联考)小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送时间的数据，并绘制成频率分布直方图如图所示．
(1)根据图中的数据信息，写出众数x0；
(2)小明的父亲上班离家的时间y在上午700至730之间，而送报人每天在x0
时刻前后半小时内把报纸送达(每个时间点送达的可能性相等)．
①求小明的父亲在上班离家前能收到报纸(称为事件A)的概率；
②求小明的父亲周一至周五在上班离家前能收到报纸的天数X的数学期望．
[解析] (1)x0＝700.
(2)①设报纸送达时间为x，则小明父亲上班前能收到报纸等价于由图可知，所求概率为P＝1－＝.
②X服从二项分布B(5，)，故EX＝5×＝(天)．
