2019-2020学年四川省威远中学高一上学期半期考试数学试题（解析版）

2019-2020学年四川省威远中学高一上学期半期考试数学试题（解析版）

威远中学校2019级高一上学期半期考试卷 命题人：高一数学组 ‎ 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题)‎ 一、单选题(12´5=60分)‎ ‎1．给出下列四个关系式：(1)；（2）；（3）；（4），其中正确的个数是（ ）‎ A.1 B‎.2 ‎C.3 D.4‎ ‎2．设，，则等于（ )‎ A. B. C. D.‎ ‎3．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　）‎ A．与 B．与 C．与 D．与 ‎4．已知，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5．已知函数的定义域是，求函数的定义域（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎7．已知函数f（x）＝x＋1，xＲ，则下列各式成立的是 ( )‎ A．f（x）＋f（－x）＝2 B．f（x）f（－x）＝2‎ C．f（x）＝f（－x） D．–f（x）＝f（－x）‎ ‎8．函数在区间上为减函数，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．函数在上单调递减，关于的不等式的解集是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10．函数的单调递增区间是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎12．定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式解集是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题(4´5=20分)‎ ‎13．计算，所得结果为____________.‎ ‎14．已知函数若有最小值，则的最大值为____.‎ ‎15．已知函数，则　　　　　　　.‎ ‎16．已知函数 在上单调递减，则实数a的取值范围是______.‎ 三、解答题（17题满分10分，18—22题每题12分，共70分）‎ ‎17．已知集合，集合，‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎18．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，.‎ ‎(1)求f(2)的值；‎ ‎(2)用定义法判断y＝f(x)在区间(－∞，0）上的单调性．‎ ‎(3)求的解析式 ‎19．已知函数.‎ ‎（1）证明：是偶函数；‎ ‎（2）在给出的直角坐标系中画出的图象；‎ ‎（3）求函数的值域.‎ ‎20．已知二次函数的最小值为1，且．‎ ‎（1）求的解析式．‎ ‎（2）在区间[－1,1]上，恒成立，试确定实数的取值范围．‎ ‎21．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．‎ ‎（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系．‎ ‎（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？‎ ‎22．定义在R上的函数f(x)，满足当x>0时，f(x)>1，且对任意的x，y，有，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求证：对任意x，都有f(x)>0；‎ ‎（3）解不等式f(32x)>4．‎ 威远中学校2019级半期考试题参考答案 一、选择题（12´5=60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D D A B B A B C B C A 二、填空题（4´5=20分）‎ ‎13． 14．2 15． 16．‎ 三、解答题（17题满分10分，18—22题每题12分，共70分）‎ ‎17．（1）；（2）‎ ‎【解析】【分析】‎ ‎（1）先求出集合A和B，根据交集定义求得；‎ ‎（2）可知 ，由子集定义可列出关于m的不等式组求解,注意集合B的两种情况讨论：和.‎ ‎【详解】‎ ‎(1）由， ……2分 而B=[5,7] ……3分 ……………………………………………… …………… 5分 ‎(2) ……………………………………………………… …6分 ‎①当时，m+1>‎2m-1得：m<2…………………………………………………7分·‎ ‎②当时，， ·………………………………8分 综上所述;m的取值范围为·…………………………………………………10分 ‎18．（1）；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】【分析】(1)利用函数的奇偶性求解.‎ ‎(2)函数单调性定义，通过化解判断函数值差的正负；‎ ‎(3)函数为R奇函数，x〈0的解析式已知，利用奇函数图像关于原点对称，即可求出x〉0的解析式.‎ ‎【详解】（1）由函数f(x)为奇函数，知f(2)＝-f(－2)＝·…………………………2分 ‎(2)在(－∞，0）上任取x1，x2，且x10，知f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．‎ 由定义可知，函数y＝f(x)在区间(－∞，0]上单调递减．·………………………………8分 ‎（3）当x>0时，－x<0，‎ 由函数f(x)为奇函数知f(x)＝-f(－x)，‎ ‎……………………………………………………………12分 ‎19．（1）见解析；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】【分析】‎ ‎（1）证明函数的奇偶性首先需要确定其定义域必须关于原点的对称性，再利用奇偶性定义判断的关系；‎ ‎（2）函数是偶函数，根据函数图像关于y轴对称，可先画y轴右侧的图像，然后画关于y轴对称的图像.‎ ‎（3）由（2）得到的图像，观察函数的单调性，求解函数的值域.‎ ‎【详解】(1)f(x)的定义域，对于任意的 都有，所以是偶函数…………4分 ‎（2）图象如右图 ‎ ‎ ‎………………………………………………………………………………………………8分 ‎（3）根据函数图象可知，函数的值域为………………………………12分 ‎20．（1）；（2）‎ ‎【解析】【分析】‎ ‎(1)已知函数是二次函数，求解析式可以采用待定系数法，再由已知条件可以设二次函数的顶点式.(2)由二次函数图像在直线上方可得到不等式：，问题转化为不等式在[－1,1]恒成立求参数的范围，可以用分离参数法.‎ ‎【详解】‎ ‎（）由已知是二次函数，且，得的对称轴为，……2分 又的最小值为，故设， ‎ 又， ∴，解得，…………………………………4分 ‎∴． ………………………………………………6分 ‎（2）由在区间[－1,1]上，恒成立，‎ 所以在上恒成立．………………………………………………8分 令，则在区间[－1,1]上单调递减，‎ ‎∴在区间[－1,1]上的最小值为，……………………………………10分 ‎∴，即实数的取值范围是………. ………………………………12分 ‎【点睛】‎ 本题综合考查二次函数的解析式求解和其性质应用，解析式求解中，如何设函数解析式很关键，将会影响后续计算量的大小，因此需要根据已知条件选择合适的解析式；在求解参数范围时一般采用分离参数和构造函数法，在分离参数后要分清是恒成立问题还是存在性问题然后求解产生的新函数的最值.如果采用构造函数法，则需要解决构造函数的性质来求参数的范围.‎ ‎21．（1） ； （2）万元时，收益最大，万元.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题意，得，，代入点的坐标，求的的值，即可可得到两种产品的收益与投资的函数关系；（2）投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，令，换元利用二次函数的性质，即可求解其最大收益．‎ 试题解析：（1），，…………………………………………2分 ‎，， ………… 4分 ‎（2）设：投资债券类产品万元，则股票类投资为万元．……………… … 6分 ‎ …………………………………8分 令，则…………10分 所以当，即万元时，收益最大，万元．… ……………………12分 ‎22．（1）1；（2）见解析；（3）‎ ‎【详解】（1）对任意x，y，．‎ 令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，即f(0)·[f(0)1]＝0．令y＝0，得f(x)＝f(x)·f(0)，对任意x成立， 所以f(0)≠0，因此f(0)＝1． ……………………………………………………2分 ‎（2）证明：对任意x，有 ‎．………………………………4分 假设存在x0，使f(x0)＝0，则对任意x>0，有f(x)＝f[(xx0)＋x0]＝f(xx0)·f(x0)＝0．‎ 这与已知x>0时，f(x)>1矛盾．所以，对任意x，均有f(x)>0成立． ………6分 ‎（3）令x＝y＝1有f(11)＝f(1)·f(1)，‎ 所以f(2)＝22＝4．任取x1，x2，且x10，由已知f(x2x1)>1，∴f(x2x1)1>0．‎ 由（2）知x1，f(x1)>0．所以f(x2)f(x1)>0，即f(x1)4，得f(32x)>f(2)，即32x>2．解得x<．‎ 所以，不等式的解集是.………………………………………………………12分 ‎【点睛】‎ 这个题目考查了抽象函数求值，抽象函数证明单调性和抽象函数解不等式的问题，一般抽象函数是指没有解析式的函数，解决这类问题，通常用到的方法是赋值法,单调性是通过定义来证明.‎