【数学】2018届一轮复习苏教版（理）高考专题突破五 高考中的立体几何问题学案
1．(2015·课标全国Ⅱ改编)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为________．
答案
解析 如图，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则AB＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)，
∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，
∴BM＝AB＝2a，∠MBN＝60°，
∴y1＝MN＝BMsin∠MBN＝2asin 60°＝a，
x1＝OB＋BN＝a＋2acos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝ ＝.
2.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OP＝OF，且PF＝4，则椭圆C的方程为______________．
答案 ＋＝1
解析 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连结PF′，如图所示，因为F(－2，0)为C的左焦点，所以c＝2.
由OP＝OF＝OF′知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.
在Rt△PFF′中，由勾股定理，
得PF′＝＝＝8.
由椭圆定义，得PF＋PF′＝2a＝4＋8＝12，
所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆的方程为＋＝1.
3．(2017·山西质量监测)已知A，B分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，直线y＝kx(k>0)与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积的最大值为2c2，则椭圆的离心率为________．
答案
解析 设C(x1，y1)(x1>0)，D(x2，y2)，
将y＝kx代入椭圆方程可解得
x1＝，x2＝，
则CD＝|x1－x2|＝.
又点A(a,0)到直线y＝kx的距离d1＝，点B(0，b)到直线y＝kx的距离d2＝，
所以S四边形ACBD＝d1·CD＋d2·CD
＝(d1＋d2)·CD＝··
＝ab·.
令t＝，
则t2＝＝1＋2ab·
＝1＋2ab·≤1＋2ab·＝2，
当且仅当＝a2k，即k＝时，tmax＝，
所以S四边形ACBD的最大值为ab.
由条件，得ab＝2c2，
即2c4＝a2b2＝a2(a2－c2)＝a4－a2c2,2c4＋a2c2－a4＝0,2e4＋e2－1＝0，
解得e2＝或e2＝－1(舍去)，所以e＝.
4．(2016·北京)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
答案 2
解析 设B为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC为正方形且边长为2，
∴c＝OB＝2，
又∠AOB＝，
∴＝tan＝1，即a＝b.
又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为____________．
答案 －＝1
解析 由题意得，双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标为(，0)，(－，0)，c＝且双曲线的离心率为2×＝＝⇒a＝2，b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线的方程为－＝1.
题型一 求圆锥曲线的标准方程
例1 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为______________．
答案 ＋＝1或＋＝1
解析 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，PF1＝，PF2＝.
由椭圆的定义，知2a＝PF1＋PF2＝2，即a＝.
由PF1>PF2知，PF2垂直于长轴．
故在Rt△PF2F1中，4c2＝PF－PF＝，
∴c2＝，于是b2＝a2－c2＝.
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．
(2015·天津改编)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为________________．
答案 x2－＝1
解析 双曲线－＝1的一个焦点为F(2,0)，
则a2＋b2＝4，①
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
由题意得＝，②
联立①②解得b＝，a＝1，
所求双曲线的方程为x2－＝1.
题型二 圆锥曲线的几何性质
例2 (1)(2015·湖南改编)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．
(2)(2016·天津)设抛物线(t为参数，p>0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若CF＝2AF，且△ACE的面积为3，则p的值为________．
答案 (1) (2)
解析 (1)由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，
即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，
∴25a2＝9c2，∴e＝.
(2)
由(p>0)消去t可得抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
∴F，
AB＝AF＝p，
可得A(p，p)．
易知△AEB∽△FEC，∴＝＝，
故S△ACE＝S△ACF＝×3p×p×
＝p2＝3，
∴p2＝6，∵p>0，∴p＝.
思维升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系．掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．
已知椭圆＋＝1(a>b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为____________．
答案 －1
解析 因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F为，设椭圆另一焦点为E.
当x＝时，代入抛物线方程得
y＝±p，
又因为PQ经过焦点F，所以P且PF⊥OF.
所以PE＝ ＝p，
PF＝p，EF＝p.
故2a＝ p＋p,2c＝p，e＝＝－1.
题型三 最值、范围问题
例3 设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线y＝x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．
解 (1)双曲线的离心率为，
则椭圆的离心率e＝＝，
由⇒
故椭圆M的方程为＋＝1.
(2)由得4x2＋2mx＋m2－4＝0，
由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得－2
b>0)和椭圆T2：＋＝1(b>c>0)组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼”．
(1)若“猫眼曲线”Γ过点M(0，－)，且a，b，c的公比为，求“猫眼曲线”Γ的方程；
(2)对于(1)中的“猫眼曲线”Γ，任作斜率为k(k≠0)且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k无关的定值；
(3)若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点(点N与点A，B不重合)，求△ABN面积的最大值．
(1)解 由题意知，b＝，＝＝，
∴a＝2，c＝1，
∴T1：＋＝1，T2：＋x2＝1.
(2)证明 设斜率为k的直线交椭圆T1于点C(x1，y1)，D(x2，y2) ，线段CD的中点为M(x0，y0)，
∴x0＝，y0＝，
由得
＋＝0.
∵k存在且k≠0，∴x1≠x2且x0≠0，
故上式整理得·＝－，
即k·kOM＝－.
同理，k·kON＝－2，∴＝.
(3)解 设直线l的方程为y＝x＋m，
联立方程得
整理得(b2＋2c2)x2＋2mc2x＋m2c2－b2c2＝0，
由Δ＝0，化简得m2＝b2＋2c2，
取l1：y＝x＋.
联立方程
化简得(b2＋2a2)x2＋2ma2x＋m2a2－b2a2＝0.
由Δ＝0，得m2＝b2＋2a2，
取l2：y＝x－，
l1，l2两平行线间距离
d＝，
又AB＝，
∴△ABN的面积最大值为S＝·AB·d
＝.
题型四 定值、定点问题
例4 (2016·全国乙卷)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明EA＋EB为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
解 (1)因为AD＝AC，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以EB＝ED，故EA＋EB＝EA＋ED＝AD.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而AD＝4，所以EA＋EB＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0)，AB＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以MN＝|x1－x2|＝.
过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，
点A到m的距离为，
所以PQ＝2＝4.
故四边形MPNQ的面积
S＝MN·PQ＝12.
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)．
当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，MN＝3，PQ＝8，四边形MPNQ的面积为12.
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8)．
思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
(2016·北京)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：AN·BM为定值．
(1)解 由已知＝，ab＝1.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝.
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)证明 由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．
设椭圆上一点P(x0，y0)，则＋y＝1.
当x0≠0时，直线PA方程为y＝(x－2)，
令x＝0，得yM＝.
从而BM＝|1－yM|＝.
直线PB方程为y＝x＋1.
令y＝0，得xN＝.
∴AN＝|2－xN|＝.
∴AN·BM＝·
＝·
＝
＝＝4.
当x0＝0时，y0＝－1，BM＝2，AN＝2，
∴AN·BM＝4.
故AN·BM为定值．
题型五 探索性问题
例5 (2015·广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
解 (1)圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为(3,0)．
(2)设M(x，y)，
∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，
∴由圆的性质知MC1⊥MO，
∴·＝0.
又∵＝(3－x，－y)，＝(－x，－y)，
∴由向量的数量积公式得x2－3x＋y2＝0.
易知直线l的斜率存在，
∴设直线l的方程为y＝mx，
当直线l与圆C1相切时，d＝＝2，
解得m＝±.
把相切时直线l的方程代入圆C1的方程，
化简得9x2－30x＋25＝0，解得x＝.
当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)．
又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，
∴0时，
①若x＝3是方程的解，则f(3)＝0⇒k＝0⇒另一根为x＝0<，故在区间上有且仅有一个根，满足题意；
②若x＝是方程的解，则f＝0⇒k＝±⇒另外一根为x＝，<≤3，故在区间上有且仅有一个根，满足题意；
③若x＝3和x＝均不是方程的解，则方程在区间上有且仅有一个根，只需f·f(3)<0⇒－b>0)的离心率为，且过点(1，)，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点(点M与点A不重合)，点B为椭圆的右顶点，直线BM交椭圆C于点P.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求证：AP⊥OM；
(3)试问：·是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．
(1)解 因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，
所以a2＝2c2，所以a2＝2b2.
又因为椭圆C过点(1，)，所以＋＝1，
所以a2＝4，b2＝2，所以椭圆C的方程＋＝1.
(2)证明 设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为y＝k(x－2)，设P(x1，y1)，
将y＝k(x－2)代入椭圆C的方程＋＝1中，
化简得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－4＝0，
解得x1＝，x2＝2，
所以y1＝k(x1－2)＝，从而P(，)．
令x＝－2，得y＝－4k，
所以M(－2，－4k)，＝(－2，－4k)．
又因为＝(＋2，)＝(，)，
所以·＝＋＝0，
所以AP⊥OM.
(3)解 因为·＝(，)·(－2，－4k)
＝＝＝4，
所以·为定值4.
1．(2015·陕西)如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，经过点A(0，－1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
(1)解 由题设知＝，b＝1，
结合a2＝b2＋c2，解得a＝，
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明 由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，
得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ＞0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
从而直线AP，AQ的斜率之和
kAP＋kAQ＝＋＝＋
＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)
＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.
2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为3，其中一条渐近线的方程为x－y＝0.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A，B两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若点P为椭圆E的左顶点，＝2，求||2＋||2的取值范围．
解 (1)由双曲线－＝1的焦距为3，
得c＝，∴a2＋b2＝.①
由题意知＝，②
由①②解得a2＝3，b2＝，
∴椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知P(－，0)．
设G(x0，y0)，由＝2，
得(x0＋，y0)＝2(－x0，－y0)，
即解得∴G(－，0)．
设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，
||2＋||2＝(x1＋)2＋y＋(x1－)2＋y
＝2x＋2y＋＝2x＋3－x＋
＝x＋.
又∵x1∈[－，]，∴x∈[0,3]，
∴≤x＋≤，
∴||2＋||2的取值范围是[，]．
3．已知椭圆＋＝1的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点．
(1)求该椭圆的离心率；
(2)设直线AB和AC分别与直线x＝4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解 (1)由椭圆方程可得a＝2，b＝，
从而椭圆的半焦距c＝＝1.
所以椭圆的离心率为e＝＝.
(2)依题意，直线BC的斜率不为0，
设其方程为x＝ty＋1，B(x1，y1)，C(x2，y2)，
将其代入＋＝1，整理得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝.
易知直线AB的方程是y＝(x＋2)，
从而可得M(4，)，同理可得N(4，)．
假设x轴上存在定点P(p,0)使得MP⊥NP，
则有·＝0.
所以(p－4)2＋＝0.
将x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1代入上式，整理得
(p－4)2＋＝0，
所以(p－4)2＋＝0，
即(p－4)2－9＝0，解得p＝1或p＝7.
所以x轴上存在定点P(1,0)或P(7,0)，
使得MP⊥NP.
4.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P(1，)，过它的左，右焦点F1，F2分别作直线l1与l2，l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于C，D两点，且l1⊥l2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围．
解 (1)由＝⇒a＝2c，∴a2＝4c2，b2＝3c2，
将点P的坐标代入椭圆方程得c2＝1，
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)若l1与l2中有一条直线的斜率不存在，
则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积S＝6.
若l1与l2的斜率都存在，设l1的斜率为k，
则l2的斜率为－，
则直线l1的方程为y＝k(x＋1)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组
消去y并整理得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.①
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|x1－x2|＝，
∴AB＝|x1－x2|＝，②
注意到方程①的结构特征和图形的对称性，
可以用－代替②中的k，得CD＝，
∴S＝AB·CD＝，
令k2＝t∈(0，＋∞)，
∴S＝＝
＝6－≥6－＝，
当且仅当t＝1时等号成立，∴S∈[，6)，
综上可知，四边形ABCD的面积S∈[，6]．
*5．(2016·盐城三模)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A，B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点E的坐标为(，0)，点A在第一象限且横坐标为，连结点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求△PAB的面积；
(3)是否存在点E，使得＋为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．
解 (1)由e＝＝，设a＝3k(k>0)，则c＝k，b2＝3k2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
因为直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，
即xA＝xB＝k，
代入椭圆方程，解得y＝±k，于是2k＝，即k＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)将x＝代入＋＝1，解得y＝±1.
因为点A在第一象限，从而A(，1)．
由点E的坐标为(，0)，所以kAB＝，
所以直线AB的方程为y＝(x－)，
联立直线AB与椭圆C的方程，解得B(－，－)．
又PA过原点O，于是P(－，－1)，PA＝4，
所以直线PA的方程为x－y＝0，
所以点B到直线PA的距离h＝＝，
故S△PAB＝×4×＝.
(3)假设存在点E，使得＋为定值，设E(x0,0)，当直线AB与x轴重合时，有＋＝＋＝；
当直线AB与x轴垂直时，
＋＝＝，
由＝，解得x0＝±，＝2，
以若存在点E，此时E(±，0)，＋为定值2.
根据对称性，只需考虑直线AB过点E(，0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又设直线AB的方程为x＝my＋，与椭圆C联立方程组，化简得(m2＋3)y2＋2my－3＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝.
又＝＝＝，
所以＋＝＋
＝，
将上述关系代入，化简可得＋＝2.
综上所述，存在点E(±，0)，使得＋为定值2.
