辽宁省辽南协作体2019届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）
辽宁省辽南协作体2019届高三下学期第一次模拟考试
数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知i是虚数单位，复数z=1-i|i|，下列说法正确的是( )
A. z的虚部为-i B. z对应的点在第一象限
C. z的实部为-1 D. z的共复数为1+i
【答案】D
【解析】解：∵z=1-i|i|=1-i，
∴z的虚部为-1；z对应的点的坐标为(1,-1)，在第四象限；
z的实部为1；z的共复数为1+i．
故选：D．
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2. 若集合A={x|1≤x<2}，B={x|x>b}，且A∩B=A.则实数b的范围是( )
A. b≥2 B. 1
0“
D. 若随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，P(ξ≤3)=0.72，则P(ξ≤-1)═0.28
【答案】A
【解析】解：A.当m=0时，若“|a|<|b|”，则”|am|<|bm|”不成立，即充分性不成立，故A错误，
B.若￢(p∨q)为真命题，则p∨q为假命题，则p，q都是假命题，故B正确，
C.命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是“∃x∈R，ax+b>0“正确，故C正确，
D.若随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，P(ξ≤3)=0.72=P(ξ>-1)，
则P(ξ≤-1)═1-P(ξ>-1)=1-0.72=0.28，故D正确，
故错误的是A，
故选：A．
A.利用充分条件和必要条件的定义进行判断
B.根据复合命题真假关系进行判断
C.根据全称命题的否定是特称命题进行判断
D.根据正态分布的性质进行判断
本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件的判断，复合命题真假关系，含有量词的命题的否定以及正态分布，综合性较强，难度不大．
2. 已知cosα=35，α∈(-π2,0)，则sin2α1-cos2α的值为( )
A. -43 B. 43 C. -34 D. 34
【答案】C
【解析】解：由cosα=35，α∈(-π2,0)，
得sinα=-1-cos2α=-45，
∴sin2α1-cos2α=2sinαcosα2sin2α=cosαsinα=35-45=-34．
故选：C．
由已知求得sinα
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，再由倍角公式求解sin2α1-cos2α的值．
本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．
1. 将函数f(x)=sin(2x-π6)图象上的所有点向左平移t(t>0)个单位长度，到的函数g(x)是奇函数.则下列结论正确的是( )
A. t的最小值是π6，g(x)的对称中心为是(kπ2+π12,0)，k∈Z
B. t的最小值为π6，g(x)的对称轴为x=kπ2+π3，k∈Z
C. t的最小值为π12，g(x)的单调增区间为(kπ-π4,kπ+π4)，k∈Z
D. t的最小值为π12，g(x)的周期为π
【答案】D
【解析】解：函数f(x)=sin(2x-π6)图象上的所有点向左平移t(t>0)个单位长度，得到
g(x)=sin(2x+2t-π6)，
由于函数g(x)是奇函数．
所以：2t-π6=kπ(k∈Z)，
解得：t=kπ2+π12，
由于t>0，
所以：当k=0时，t的最小值为π12，
且函数的最小正周期为π．
故选：D．
首先利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的图象进行平移变换，利用奇函数的性质，求出t的最小值，进一步求出函数的最小正周期．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
2. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为42，则判断框中的条件可以是( )
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A. n≤6？ B. n>6？ C. n≤5？ D. n>5？
【答案】D
【解析】解：第一次，s=2，a=4，不满足条件.n=2，
第二次，s=2+4=6，a=6，不满足条件.n=3，
第三次，s=6+6=12，a=8，不满足条件.n=4，
第四次，s=12+8=20，a=10，不满足条件.n=5，
第五次，s=20+10=30，a=12，不满足条件.n=6，
第六次，s=30+12=42，a=14，满足条件．
输出S=42，
即n=6满足条件.，n=5不满足条件．
则条件应该为n>5？，
故选：D．
根据程序框图进行模拟运算即可得到结论．
本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件利用模拟运算法是解决本题的关键．
1. 设F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1(s>0,b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=4a，且△PF1F2的最小内角的正弦值为13，则C的离心率为( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=4a，
不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a，
所以|F1F2|=2c，|PF1|=3a，|PF2|=a，
△PF1F2的最小内角的正弦值为13，其余弦值为223，
由余弦定理，可得|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，
即a2=4c2+9a2-2×2c×3a×223，
c2-22ca+2a2=0，
即c=2a，
所以e=ca=2．
故选：C．
利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|
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，然后利用最小内角的正弦值为13，其余弦值为223，结合余弦定理，求出双曲线的离心率．
本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．
1. 函数f(x)=e|x|-2|x|-1的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：函数f(x)=e|x|-2|x|-1是偶函数，排除选项B，
当x>0时，函数f(x)=ex-2x-1，可得f'(x)=ex-2，
当x∈(0,ln2)时，f'(x)<0，函数是减函数，当x>ln2时，函数是增函数，
排除选项A，D，
故选：C．
判断函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，然后判断函数的图象即可．
本题考查函数的导数的应用，函数的图象的判断，是中档题．
2. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多银有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：第一步，请n名学生，每个学生随机写下一个都小于1的正实数对(x,y)；第二步，统计两数能与1构成纯角三角形边的数对(x,y)的个数m；第三步，估计π的值.若n=100，m=31，则估计π的值( )
A. 10031 B. 8125 C. 7825 D. 3125
【答案】B
【解析】解：由题意，100对都小于1的正实数对(x,y)满足01，
则不等式组表示图形的面积为π4-12．
则：π4-12≈31100.解得π=8125．
故选：B．
两个数能与1构成钝角三角形的数对(x,y)满足x2+y2-1<0，且01，从而不等式组表示图形的面积为π4-12.由此能估计π的值．
本题考查几何概型，古典概型等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
1. 若两个非零向量a，b满足|a+b|=|a|=|b|，则向量b与a-b的夹角是( )
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
【答案】D
【解析】解：∵|a+b|=|a|=|b|；
∴(a+b)2=a2+2a⋅b+a2=a2；
∴a⋅b=-12a2；
∴(a-b)2=a2+a2+a2=3a2；
∴|a-b|=3|a|，且b⋅(a-b)=-12a2-a2=-32a2；
∴cos=b⋅(a-b)|b||a-b|=-32a23a2=-32；
又0≤≤π；
∴b与a-b的夹角是：5π6．
故选：D．
根据|a+b|=|a|=|b|即可得出a⋅b=-12a2，从而得出|a-b|=3|a|，b⋅(a-b)=-32a2，从而可求出cos=-32，根据向量夹角的范围即可求出b与a-b的夹角．
考查向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．
2. 斜率为43且过抛物线C：y2=4x焦点的直线交抛物线C于A、B两点，若AF=λFB(λ>1)，则实数λ为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】解：抛物线C：y2=4x焦点F(1,0)，设A(x1,y1)，y1>0，B(x2,y2).
直线方程为：y=43(x-1)，联立y=43(x-1)y2=4x，化为：y2-3y-4=0，
解得y1=4，y2=-1．
∵AF=λFB(λ>1)，∴4=-λ×(-1)，解得λ=4．
故选：C．
抛物线
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C：y2=4x焦点F(1,0)，设A(x1,y1)，y1>0，B(x2,y2).直线方程为：y=43(x-1)，与抛物线方程联立解出坐标，再根据AF=λFB(λ>1)，利用向量坐标相等得出．
本题考查了抛物线的标准方程及其性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
1. 已知(x-1)(ax+1)6展开式中x2的系数为0，则正实数a的值是______．
【答案】25
【解析】解：(x-1)(ax+1)6中，(ax+1)6中x2的系数为：C64a2，x项的系数为：C65a，
(x-1)(ax+1)6展开式中含x2项的系数为0，可得：-C64a2+C65a=0，则15a=6，
所以a=25，
故答案为：25．
求出(ax+1)6展开式中含x2项的系数以及x项的系数，然后利用已知条件，列出方程求得a的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
2. 正方体的棱长为1，则该正方体外接球的半径为______．
【答案】32
【解析】解：正方体的棱长为1，则该正方体外接球的半径：12×12+12+12=32．
故答案为：32．
利用已知条件，直接求出正方体的外接球的半径即可．
本题考查正方体的棱长与外接球的半径的关系，是基本知识的考查．
3. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为b23sinB，若6cosA⋅cosC=1，b=3，则∠ABC=______．
【答案】π3
【解析】解：∵△ABC的面积为b23sinB=12acsinB，b2=32acsin2B，
∴由正弦定理可得：sin2B=32sinAsinCsin2B，
∴可得：sinAsinC=23，
∵6cosA⋅cosC=1，可得：cosAcosC=16，
∴cos∠ABC=cos[π-(A+C)]=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC=23-16=12，
∵∠ABC∈(0,π)，
∴∠ABC=π3．
故答案为：π3．
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由已知利用三角形的面积公式，正弦定理可求sinAsinC=23，又由6cosA⋅cosC=1，可得cosAcosC=16，根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式可求cos∠ABC的值，结合范围∠ABC∈(0,π)，即可得解∠ABC=π3．
本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
1. 若直线y=x+1是曲线f(x)=x+1x-alnx(a∈R)的切线，则a的值是______．
【答案】-1
【解析】解：设切点的横坐标为x0，f'(x)=1-1x2-ax=x2-ax-1x2=1⇒x0=-1a⇒-a=1x0，
则有：f(x0)=x0+1x0-alnx0=x0+1⇒lnx0-x0+1=0，
令h(x)=lnx-x+1⇒h'(x)=1x-1=0⇒x=1，
则h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
又因为h(1)=0，所以x0=1⇒a=-1；
故答案为：-1．
设切点的横坐标为x0，求出导函数，利用直线y=x+1与曲线y=f(x)相切，转化求解切点横坐标以及a的值即可．
本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法.考查转化思想以及计算能力．
三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）
2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=(12)an，求数列{bn}的前n项和Tn．
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【答案】解：数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2．
当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1(首项符合通项)，
故：an=2n-1．
(2)由于an=2n-1，
所以：bn=(12)an=(12)2n-1，
则：bn+1bn=(12)2n+1(12)2n-1=14，
所以：数列{bn}是以首项为12，公比为14的等比数列．
故：Tn=12(1-14n)1-14=23(1-14n)．
【解析】(1)首先求出数列的通项公式，
(2)利用(1)的通项，进一步求出数列的通项公式，进一步求出数列的和
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
1. 从某校高三年中随机抽取100名学生，对其眼视力情况进行统计(两眼视力不同，取较低者统计)，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1,4.3)的概率为110．
(1)求a，b的值；
(2)若高校A专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于4.9，高校B专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于5.0，已知在[4.9,5.1)中有13的学生裸眼视力不低于5.0．
现用分层抽样的方法从[4.9,5.1)和[5.1,5.3)中抽取4名同学，4人中有资格(仅考虑视力)考B专业的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．
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【答案】解：(1)由频率分布直方图的性质得：
b×0.2=110(b+0.75+1.75+a+0.75+0.25)×0.2=1，
解得b=0.5，a=1．
(2)在[4.9,5.1)中，共有15人，其中5人不低于5.0，在这15人中，抽取3人，
在[5.1,5.3]中共有5人，抽取1人，
随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，
P(ξ=1)=C103C50C153=2491，
P(ξ=2)=C102C51C153=4591，
P(ξ=3)=C104C52C153=2091，
P(ξ=4)=C100C53C153=291，
∴ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
P
2491
4591
2091
291
E(ξ)=1×2491+2×4591+3×2091+4×291=2．
【解析】(1)由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出a，b．
(2)在[4.9,5.1)中，共有15人，其中5人不低于5.0，在这15人中，抽取3人，在[5.1,5.3]中共有5人，抽取1人，随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．
本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
1. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，点P(263,33)满足PF1⋅PF2=0．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线1经过椭圆C的右焦点与椭圆相交于M，N两点，设O为坐标原点，直线OM，直线l，直线ON的斜分别为k1，k，k2，且k1，k，k2成等比数列，求k1⋅k2的值．
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【答案】解：(1)依题意F1(-c,0)，
∴PF1⋅PF2=-c2+3=0，即c=3
∵e=ca=32，
∴a=2，
∴b2=a2-c2=1，
∴椭圆C的方程为x24+y2=1，
(2)设直线l的方程为y=k(x-3)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由x24+y2=1y=k(x-3)，得(1+4k2)x2+83k2x+4(3k2-1)=0，
则x1+x2=83k21+4k2，x1x2=12k2-41+4k2，
∵k1，k，k2成等比数列，
∴k1⋅k2=k2=y1y2x1x2=k2(x1-3)(x2-3)x1x2，
则3(x1+x2)=3，
即83k21+4k2=3，
解得k2=14
故k1⋅k2=14．
【解析】(1)依题意F1(-c,0)，由PF1⋅PF2=-c2+3=0，即c=3，根据离心率求出a，即可求出b，可得椭圆方程
(2)设直线l的方程为y=k(x-3)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，转化求解即可．
本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了椭圆的简单性质，直线的斜率，等比数列的性质，属于中档题．
1. 已知在四棱P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，F是线段BC的中点．
(1)求证：PF⊥FD；
(2)若直线PB与平面ABCD所成的角为45∘，求二面角A-PD-F的余弦值；
(3)画出平面PAB与平面PDF的交线l.(不写画法)
【答案】(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，
以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设|PA|=h，
∴P(0,0，h)，B(1,0，0)，D(0,2，0)，C(1,2，0)，F(1,1，0)，E(12,0，0)，
∴PF=(1,1,-h)，FD=(-1,1,0)，
∴PF⋅FD=0，则PF⊥FD；
(2)解：∵PA⊥底面ABCD，∴PB在底面ABCD的投影为BA，
∴∠PBA为PB与平面ABCD所成角，即∠PBA=45∘，
∴△PBA为等腰直角三角形，则|AP|=|AB|=1，即h=1．
∴平面PFD的法向量为n=(1,1,2)，平面APD为yOz平面，
∴平面APD的法向量为m=(0,1,0)，
设二面角A-PD-F的平面角为θ，可知θ为锐角，
∴cosθ=|cos|=16=66；
(3)解：如图，延长DF，AB交于G，连接PG，
则PG即为所求直线l．
【解析】(1)以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设|PA|=h，分别求出P，B，D，C，F，E的坐标，然后证明PF⋅FD=0，则PF⊥FD；
(2)由PA⊥底面ABCD，可得PB在底面ABCD的投影为BA，得到∠PBA为PB与平面ABCD所成角，由此求得平面PFD的法向量为n=(1,1,2)，平面APD为yOz平面，可得平面APD的法向量为
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m=(0,1,0)，由两法向量所成角的余弦值可得而面角A-PD-F的余弦值；
(3)延长DF，AB交于G，连接PG，则PG即为所求直线l．
本题考查空间中的直线与直线，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
1. 已知函数f(x)=lnx-ax+1x．
(1)若1是函数f(x)的一个极值点，求实数a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)在(1)的条件下证明：f(x)≤xex-x+1x-1．
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【答案】解：(1)f'(x)=1x-a-1x2，(x>0)，
f'(1)=1-a-1=0，故a=0，
(2)f'(x)=-ax2+x-1x2，
方程-ax2+x-1=0的判别式△=1-4a，
①当a≥14时，△≤0，f'(x)≤0，
f(x)在(0,+∞)递减，
②当00，x2=1+1-4a2a>0，
故f(x)在(0,x1)递减，在(x1,x2)递增，在(x2,+∞)递减，
③当a=0时，f'(x)=x-1x2，
f(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，
④当a<0时，
方程-ax2+x-1=0的根为x=1±1-4a2a，
且x1=1-1-4a2a>0，x2=1+1-4a2a<0，
故f(x)在(0,x1)递减，在(x1,+∞)递增；
(3)在(1)的条件下f(x)≤xex-x+1x-1，
xex-lnx-x-1≥0，
g'(x)=(x+1)ex-1x-1，
令h(x)=(x+1)ex-1x-1，
h'(x)=(x+2)ex+1x2>0，(x>0)，
故h(x)在(0,+∞)递增，
又h(12)<0，h(e)>0，
故∃x0∈(12,e)，使得h(x0)=0，即x0ex0=1，
g(x)在(0,x0)递减，在(x0,+∞)递增，
故g(x)min=g(x0)=x0ex0-ln1ex0-x0-1=0，
故f(x))≤xex-x+1x-1．
【解析】(1)求出函数的导数，计算f'(1)=0，得到关于a的方程，解出即可；
(2)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
(3)求出函数的导数，令h(x)=(x+1)ex-1x-1，根据函数的单调性证明即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
1. 在平面直角坐标系中，直线l过原点且倾斜角为π4；曲线C1的参数方程x=33cosαy=sinα(α为参数)；曲线C2的参数方程为x=3+13cosαy=2+13sinα(α为参数)．
(1)求直线1的极坐标方程，曲线C1和曲线C2的普通方程；
(2)若直线1与曲线C1和曲线C2在第一象限的交点分别为M、N，求M、N之间的距离．
【答案】解：(1)直线l的极坐标方程为θ=π4，(ρ∈R)；
曲线C1 的普通方程为x213+y2=1；
曲线C2的普通方程为(x-3)2+(y-2)2=13．
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ2=11+2cos2θ，
曲线C2的极坐标方程为：ρ=6cosθ+4sinθ，
∴|OM|=6cosπ4+4sinπ4=52，|ON|=11+2×(22)2=22，
可得|MN|=|ON|-|OM|=52-22=922．
【解析】(1)直线l的极坐标方程为θ=π4，(ρ∈R)；利用sin2α+cos2α=1可得C1和C2的普通方程；
(2)将C1，C2化成极坐标方程后将θ=π4代入可求得|OM|，|ON|，再相加．
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
2. 设函数f=|x+1|-|2x-4|．
(1)求不等式f(x)>2的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)>t2+2t解集非空，求实数t的取值范围．
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【答案】解：(1)|x+1|-|2x-4|>2，
等价为x-5>2x<-1或-1≤x≤23x-3>2或-x+5>2x>2，
可得x∈⌀或53t2+2t解集非空，
可得t2+2t
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