【数学】2019届一轮复习北师大版概率与统计综合问题学案

【数学】2019届一轮复习北师大版概率与统计综合问题学案

2018 年高考数学专题复习难点突破名师讲练：概率与 统计综合问题 一、考点突破 近几年来新课程高考试卷把概率和统计的基础知识和方法——随机事件、等可能事件、 互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等概率及相应的计算，离散型随机变量分布列和数 学期望等概念和计算列为考查的重点，作为必考内容。考查学生分析问题和解决问题的能力； 考查学生的分类讨论思想、等价转化思想以及对背景新奇问题的理解中所表现出来的不同思 维品质、思维能力。 二、重难点提示 重点：利用等可能性事件、互斥事件和相互独立事件等概率的计算求某些简单的离散型 随机变量的分布列、期望与方差，及根据分布列求事件的概率；用样本方差去估计总体方差， 用样本频率分布估计总体分布，用样本频率分布求其累积频率分布等的计算问题。 难点：能分辨出随机变量服从哪种分布。 一、知识脉络图 二、知识点拨 离散型随机变量的期望和方差 1. 随机变量的分布列 设离散型随机变量ξ的可能取值为 ξ取每一个值 的概率 ，则下表 ξ … … P … … 称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。 离散型随机变量的分布列具有下述性质 （Ⅰ） （Ⅱ） 2. 期望 若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ … … P … … 则称 为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望，即 分布列中随机变量ξ的一切可能值 与对应的概率 的乘积的和叫做随机变量ξ的数 学期望； 反映了离散型随机变量取值的平均水平，是反映随机变量ξ集中趋势的指标（相 当于质点分布的重心）； 为常量。 期望的一个性质：若 ba   ，则 baEbaE   )( 3. 方差 当随机变量ξ的分布列为 时， 叫做随机变量ξ的均方差，简称方差； 的算术平方根 叫做随机变量的标准差， 记作 ，即 ＝ 。 与 都反映了随机变量ξ关于期望的稳定与波动、集中与离散的程度。 越小， 稳定性越高，波动性越小；标准差 则反映随机变量ξ的取值与期望值的偏差大小。 越 小，则ξ与其期望值的偏差越小。 方差的性质：①  DabaD 2)(  ；② 22 )(  EED  。 4. 特殊的分布列 （1）两点分布： 若随机变量 X 的分布列: 则称 X 的分布列为两点分布列. （2）超几何分布： 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 ( ) , 0,1, , , min{ , }, , . k n k M N M n N C CP X k k m m M n n N M NC        其中 X 0 1  m P n N n MNM C CC 00     n N mn MN m M C CC   为超几何分布列。 超几何分布的期望：若随机变量ξ服从超几何分布，即 ~H(n,M,N) 且则 nME N   （3）二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发 X 0 1 P 1 P P 生 k 次的概率是 ，其中 k＝0，1，2，…，n，q＝1－p。 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ 0 1 … k … n P … … 我们称这样的随机变量ξ服从二项分布：记作ξ~B（n，p）， 其中 n，p 为参数，并记 二项分布的期望：若ξ~B（n，p），则 二项分布的方差：若ξ~B（n，p），则 （4）几何分布 设在一次试验中某事件发生的概率为 p，又设在独立重复试验中，某事件第一次发生时 所 做 试 验 的 次 数 为 ξ ， 则 “ξ ＝ k” 表 示 在 第 k 次 独 立 重 复 试 验 时 事 件 第 一 次 发 生 ， ，其中 q＝1－p，k＝1，2，3，…。 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ 1 2 3 … k … P p qp … … 我们称此时的ξ服从几何分布，并记 几何分布的期望：若随机变量ξ服从几何分布，且 ，则 几何分布的方差：若随机变量ξ服从几何分布，且 ，则 能力提升类 例 1 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 a，第二次出 现的点数为 b，向量 )2,1( n ， ①若向量 ),( bam  ，求当 m n 时的概率； ②若向量 ),( ba ，又 n// ，且 n2 时，求向量 的坐标。 一点通：①本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是点数对（a，b）共有 6×6 对，满足条件的事件是 m n 得 a－2b＝0，即 a＝2b，列举出所有满足条件的事件，根 据等可能事件的概率得到结果。 ②根据所给的条件，列出向量平行和向量的模长的关系式，得到两个关于 a，b 的方程， 根据方程组解出 a，b 的值，得到要求的概率。 解：①由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是点数对（a，b） 共有 6×6＝36 对，满足条件的事件是 m n 得 a－2b＝0，即 a＝2b， 数对（a，b）只有三对：（1，2）、（2，4）、（3，6）， 向量 m ＝（－1，2）、（－2，4）、（－3，6）只有 3 个， 此时的概率 12 1 36 3 P ； ② ,5n 20,52 2222  baba ， 又 n// ， b＝2a，得 a2＝4 a＝2，b＝4， 向量 )4,2( 点评：本题考查等可能事件的概率，考查向量的模长和向量平行的充要条件，是一道综 合题，题目涉及向量的运算，使得运算过程中数字比较杂，不要在数字上出错。 例 2 A、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏：当出现正面 朝上时 A 赢得 B 一张卡片，否则 B 赢得 A 一张卡片，规定掷硬币的次数达 9 次时，或在此 前某人已赢得所有卡片时游戏终止。设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数。 （1）求ξ的取值范围； （2）求ξ的数学期望 Eξ 一点通：（1）设出硬币正面出现的次数和出现反面的次数，根据题意列出不等式组，讨 论 m，n 取值不同时，得到的对应的ξ的值，结果ξ的可能取值是 5，7，9 （2）ξ表示游戏终止时掷硬币的次数，由第一问知ξ的所有可能取值为：5，7，9。根据 独立重复试验的概率公式得到变量对应的概率，算出ξ的数学期望。 解：（1）解法一：设硬币正面朝上的次数为 m，反面朝上的次数为 n， ①掷硬币的次数少于 9 次，某人已赢得所有卡片，游戏终止 则由题意得 ∴当 m＝5，n＝0 或 m＝0，n＝5 时ξ＝5， 当 m＝6，n＝1 或 m＝1，n＝6 时ξ＝7， ②掷硬币的次数达 9 次，游戏终止，ξ＝9 ∴ξ的可能取值为 5，7，9， 解法二：由题意有 又两位同学都持有奇数张（5 张）卡片， ∴ξ不能为偶数 ∴ξ＝5，7，9 （2）注意到这里“ξ＝k”包括的三种情形： ， ， ∴ 点评：本题考查离散型随机变量的期望，独立重复试验的概率公式，分类讨论思想，利 用概率知识解决实际问题的能力。这种题是近几年高考题中经常出现的题型。 综合运用类 例 3 某科技公司遇到一个技术难题，紧急成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独 进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励。已知此 技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为 3 2 ，被乙小组攻克的概率为 4 3 。 （1）设 为攻关期满时获奖的攻关小组数，求 的分布列及 ； （2）设 为攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方，记“函 数 x )x(f 2 7  在定义域内单调递减”为事件 C，求事件 C 的概率。 一点通：（1）ξ为攻关期满时获奖的攻关小组数，则ξ的所有可能取值为 0，1，2。根据 变量结合的事件和相互独立事件同时发生的概率，写出变量的概率，写出分布列。 （2）根据获奖攻关小组数的可能取值为 0，1，2，得到相对应没有获奖的攻关小组的 取值为 2，1，0，得到η的可能取值为 0，4。写出函数式，根据函数的单调性得到结果。 解：（1）记“甲攻关小组获奖”为事件 A，则 3 2)( AP ，记“乙攻关小组获奖”为事件 B， 则 4 3)( BP 。 由题意，ξ的所有可能取值为 0，1，2。 ， ∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 P 12 1 12 5 2 1 ∴ E ξ 12 17 2 1212 5112 10  （2）∵获奖攻关小组数的可能取值为 0，1，2，相对应没有获奖的攻关小组的取值为 2， 1，0。 ∴η的可能取值为 0，4。 当η＝0 时， xxf )2 7()(  在定义域内是增函数。 当η＝4 时， xxf )2 1()(  在定义域内是减函数。 ∴ 。 点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，相互独立事件同时发生的概率，函数 的单调性，考指数函数的单调性，是一道综合题。 例 4 某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二道工序加工而成，两 道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有 A、B 两个等级，对每种产品，两道 工序的加工结果都为 A 级时，产品为一等品，其余均为二等品。 （1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为 A 级的概率如表一所示，分别求生 产出的甲、乙产品为一等品的概率 P 甲、P 乙； （2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1） 的条件下，求ξ、η的分布列及 Eξ、Eη； （3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示。该工厂有工人 40 名，可用 资金 60 万元。设 x、y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在（2）的条件下，x、y 为何值时， z＝xEξ＋yEη最大？最大值是多少？（解答时须给出图示） 一点通：（1）根据两道工序的加工结果都为 A 级时，产品为一等品，故生产出的甲、 乙产品为一等品的概率 P 甲、P 乙就是求甲、乙两种产品的两道工序的加工结果都为 A 级的 概率。（2）我们要根据题目已知，分别求出随机变量ξ、η的取值，并分析每种取值的概率， 即可得到随机变量ξ、η的分布列，进而求出各自的数学期望。（3）由（2）的结论，我们不 难得到 x，y 满足的不等关系，即约束条件和目标函数，用线性规划的方法解决问题。 解：（1）由已知得 P 甲＝0.8×0.85＝0.68，P 乙＝0.75×0.8＝0.60 （2）随机变量ξ的分布列为： ξ 5 2.5 P 0.68 0.32 随机变量η的分布列为： η 2.5 1.5 P 0.6 0.4 ∴ ， （3）由题设得 目标函数为 即 作出可行域（如图） 作直线 ， 将 向右上方平移至 l 的位置， 即直线经过可行域上的点 M 时， z＝4.2x＋2.1y 取最大值， 解方程组 得 M（4，4） ∴当 x＝y＝4 时，z＝xEξ＋yEη取得最大值 25.2 点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数 是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求 约束条件，并就题目所述找出目标函数。然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即 可得到目标函数的最优解。 思维拓展类 例 5 某先生居住在城镇的 A 处，准备开车到单位 B 处上班。若该地各路段发生堵车 事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图（例 如：A C D 算两个路段：路段 AC 发生堵车事件的概率为 10 1 ，路段 CD 发生堵车事件 的概率为 15 1 ） （1）请你为其选择一条由 A 到 B 的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小； （2）若记 BFCA  中遇到堵车的次数为随机变量 ，求 E 。 一点通：（1）因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只 有一次，所以路线 A→C→D→B 中遇到堵车的概率 P1 可以算出，路线 A→C→F→B 中遇到 堵车的概率，路线 A→E→F→B 中遇到堵车的概率，再将上述路线的堵车概率进行比较可 得结果。 （2）由题意知路线 A→C→F→B 中遇到的堵车次数 X 可取值为 0，1，2，3。结合变 量对应的事件，写出变量的分布列和期望。 解：（1）因为各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只 有一次，所以路线 BDCA  中遇到堵车的概率 1P 为 )()()(1)(1 DBPCDPACPDBCDACP      10 3 6 5 15 14 10 91)(1)(1)(11  DBPCDPACP ； 同理：路线 BFCA  中遇到堵车的概率 2P 为 800 239)(1  FBCFACP 路线 BFEA  中遇到堵车的概率 3P 为 300 91)(1  FBEFAEP 显然要使得由 A 到 B 的路线途中发生堵车的事件的概率最小，只可能在以上三条路线 中选择。因此选择路线 BFCA  。 （2）路线 BFCA  中遇到堵车的次数 可取值为 0、1、2、3 800 561)()0(  FBCFACPP  2400 637)()()()1(  FBCFACPFBCFACPFBCFACPP  2400 77)()()()2(  FBCFACPFBCFACPFBCFACPP  2400 3)()3(  FBCFACPP  3 1 2400 332400 7722400 6371800 5610  E 点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望问题，相互独立事件同时发生的概率。 求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题。 例 6 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出 n 瓶 外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记 忆淡忘之后，再让其品尝这 n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据 一轮测试中两次排序的偏离程度的高低为其评分。 现设 4n  ，分别以 1 2 3 4, , ,a a a a 表示第一次排序时被排为 1，2，3，4 的四种酒在第二 次排序时的序号，并令 1 2 3 41 2 3 4X a a a a        ，则 X 是对两次排序的偏离 程度的一种描述。 （1）写出 X 的可能取值集合； （2）假设 1 2 3 4, , ,a a a a 等可能地为 1，2，3，4 的各种排列，求 X 的分布列； （3）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有 2X  ， ①试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； ②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。 一点通：（1）X 的可能取值集合为{0、2、4、6、8}，在 1、2、3、4 中奇数与偶数各有 两个，a2，a4 中的奇数个数等于 a1，a3 中的偶数个数，得到|1－a1|＋|3－a3|与|2－a2|＋|4－a4| 的奇偶性相同，可得结论。 （2）可列表或用树状图列出 1、2、3、4 的一共 24 种排列，计算每种排列下 X 的值， 算出概率，写出分布列。 （3）算出三轮测试都有 X≤2 的概率，记做 P，算出概率的值和已知量进行比较，得到 结论。 解：（1）∵在 1、2、3、4 中奇数与偶数各有两个， ∴a2，a4 中的奇数个数等于 a1，a3 中的偶数个数， ∴|1－a1|＋|3－a3|与|2－a2|＋|4－a4|的奇偶性相同， ∴X＝（|1－a1|＋|3－a3|）＋（|2－a2|＋|4－a4|）必为偶数， X 的值非负，且易知其值不大于 8， ∴X 的可能取值集合为{0、2、4、6、8} （2）可列表或用树状图列出 1、2、3、4 的一共 24 种排列， X 0 2 4 6 8 P 计算每种排列下 X 的值， 在等可能的假定下， 得到 P（X＝0）＝ 24 1 P（X＝2）＝ 24 3 P（X＝4）＝ 24 7 P（X＝6）＝ 24 9 P（X＝8）＝ 24 4 （3）①首先 P（X≤2）＝P（X＝0）＋P（X＝2）＝ 6 1 24 4  将三轮测试都有 X≤2 的概率记做 P，由上述结果和独立性假设得 P＝ 216 1 6 1 3      ②由于 P＝ 1000 5 216 1  ，是一个很小的概率， 这表明，如果仅凭随机猜测，则得到三轮测试都有 X≤2 的结果的可能性很小， ∴我们认为该品酒师确实有良好的酒味鉴别功能，而不是靠随机猜测。 点评：本题主要考查分布列和期望的简单应用，求离散型随机变量的分布列和期望是近 年来理科高考必出的一个问题，应注意解题格式。 应用概率与统计知识解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离 散型随机变量分布列及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值的概率 及期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体。 袋中装有 2 个红球和 4 个黑球，从袋中取出 3 个球，设取出的黑球个数为 ，求 的分 布列。 错解： 服从超几何分布 （答题时间：45 分钟） 一、选择题： 1. 在抽查某产品尺寸的过程中，将其中的尺寸分成若干组，[a，b]是其中一组，抽查出的 个体数在该组上的频率为 m ，该组上的直方图的高为 h ，则|a－b|等于（ ） A. hm B. h m C. m h D. 与 m，n 无关 2. 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 a，第二次出现的点 数为 b，向量→m＝（a，b），→n ＝（1，－2），则向量→m与向量→n 垂直的概率是（ ） A. 1 6 B. 1 12 C. 1 9 D. 1 18 3. 某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x，y，10，11，9。已知这组数据 的平均数为 10，方差为 2，则｜x－y｜的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为 c， （a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的期望为 2，则2 a ＋ 1 3b 的最小值为（ ） A. 32 3 B. 28 3 C. 14 3 D. 16 3 二、填空题： 1. 已知数据 x1，x2，x3，…，xn 的平均数为 a，则数据 3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，…，3xn ＋2 的平均数是_____。 2. 在样本的频率分布直方图中，共有 4 个小长方形，这 4 个小长方形的面积由小到大构 成等差数列{an}，已知 12 2aa  ，且样本容量为 400，则小长方形面积最大的一组的频数为 ________。 3. 某社区对居民进行上海世博会知晓情况的分层抽样调查。已知该社区的青年人、中年 人和老年人分别有 800 人、1600 人、1400 人。若在老年人中的抽样人数是 70，则在中年人 中的抽样人数应该是 。 4. 某次知识竞赛的规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两 个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个 问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等 于 。 三、解答题： 1. 投到某杂志社的稿件，先由两位初审专家进行评审。若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3， 各专家独立评审。 （I）求投到该杂志社的 1 篇稿件被录用的概率； （II）记 X 表示投到该杂志社的 4 篇稿件中被录用的篇数，求 X 的分布列及期望。 2. 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为 80%，二等品率为 20%；乙产品的 一等品率为 90%，二等品率为 10%。生产 1 件甲产品，若是一等品则获得利润 4 万元，若 是二等品则亏损 1 万元；生产 1 件乙产品，若是一等品则获得利润 6 万元，若是二等品则亏 损 2 万元。设生产各种产品相互独立。 （1）记 X（单位：万元）为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润，求 X 的分 布列； （2）求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率。 一、选择题 1. C 解析：频率分布的直方图中，频率 组距 ＝高度，∴|a－b|＝m h 。 2. B 解析：掷骰子是独立事件，∵→m·→n ＝a－2b＝0，所以 a＝2b，a＝2，4，6，b＝1，2，3， 所求概率为 1 12 。 3. D 解析：由题意可得：      8)10()10( 20 22 yx yx ，解这个方程组需要用一些技巧，因为 不需直接求出 x、y，只需求出｜x－y｜，设 x＝10＋t，y＝10－t，｜x－y｜＝2|t|＝4。 4. D 解析：由题意得 3a＋2b＝2，其中 0＜a＜2 3 ，0＜b＜1，所以2 a ＋ 1 3b ＝3a＋2b 2 （2 a ＋ 1 3b ）＝ 3＋1 3 ＋2b a ＋ a 2b ≥10 3 ＋2＝16 3 （当且仅当 a＝2b＝1 2 时取等号）。 二、填空题 1. 3a＋2 2. 160 解析：直方图中，所有矩形面积之和为 1，等差数列的公差为 a1，等差数列各项之和为 10a1＝1，所以 a1＝0.1，最大的矩形为 0.4，频数为 400×0.4＝160 3. 80 解析：由题意可知抽取的比例为 70 1 1400 20k   ，故中年人中应抽取的人数为 11600 8020N    。 4. 0.128 解析：恰好回答四道题，且连续答对两道停止答题，则尽可能是第一道答对，第二道答 错，三、四道答对或者是前两道答错，后两道答对的情况，所以有： 128.0)8.0()2.08.02.02.0( 2 P ，因此所求概率为 0.128 三、解答题 1. 解：（Ⅰ）记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D 表示事件：稿件被录用。 则 D＝A＋B·C， ( ) 0.5 0.5 0.25, ( ) 2 0.5 0.5 0.5, ( ) 0.3,P A P B P C        ( ) ( )P D P A B C   ＝ ( ) ( )P A P B C  ＝ ( ) ( ) ( )P A P B P C ＝0.25＋0.5×0.3 ＝0.40 （Ⅱ） ~ (4,0.4)X B ，其分布列为： 4( 0) (1 0.4) 0.1296,P X     1 3 4( 1) 0.4 (1 0.4) 0.3456,P X C      2 2 2 4( 2) 0.4 (1 0.4) 0.3456,P X C      3 3 4( 3) 0.4 (1 0.4) 0.1536,P X C      4( 4) 0.4 0.0256.P X    期望 4 0.4 1.6EX    2. 解：（1）由题设知，X 的可能取值为 10，5，2，－3，且 P（X＝10）＝0.8×0.9＝0.72， P（X＝5）＝0.2×0.9＝0.18， P（X＝2）＝0.8×0.1＝0.08， P（X＝－3）＝0.2×0.1＝0.02。 由此得 X 的分布列为： X 10 5 2 －3 P 0.72 0.18 0.08 0.02 （2）设生产的 4 件甲产品中一等品有 n 件，则二等品有 4 n 件。 由题设知 4 (4 ) 10n n   ，解得 14 5n  ， 又 n N ，得 3n  或 4n  。 所求概率为 3 3 4 4 0.8 0.2 0.8 0.8192P C     答：生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192。