江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研

江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研

‎2012～2013学年度第一学期期中考试 高三数学试题 ‎（考试时间：120分钟；分值：160分）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．‎ ‎1．已知点A(1,1)，点B(3,5)，则向量的模为 ▲ ．‎ ‎2．已知集合，，则 ▲ ．‎ ‎3．各项是正数的等比数列中，，，成等差数列，则数列公比q= ▲ ．‎ ‎4．已知函数，且此函数的图象如图所示，则点 的坐标是 ▲ ． ‎ ‎5．已知x>1，则的最小值为 ▲ ．‎ ‎6．在△中，内角、、的对边分别为、、，已知，，，则 ▲ ．‎ ‎7．若函数在处有极值，则函数的图象在处的切线的斜率为 ▲ ．‎ ‎8．已知，且，则 ▲ ． ‎ ‎9．定义在R上的函数f(x)满足，则f(5)= ▲ ．‎ ‎10． 已知数列{}的前n项和满足，则数列{}的通项公式为 ▲ ．‎ ‎11．设函数，则方程有 ▲ 个根．‎ ‎12．已知函数，对任意的，恒成立，则x的取值范围是 ▲ ．‎ ‎13．设等比数列的公比，表示数列的前n项的和，表示数列的前n项的乘积，表示的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积，‎ 即，则数列的前n项的和是 ▲ (用和q表示)‎ ‎14．已知函数的定义域为，部分对应值如下表．‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ 的导函数的图象如图所示：‎ 下列关于的命题：①函数是周期函数；‎ ‎②函数在是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有4个零点；⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知各项均不相同的等差数列的前四项和， 且成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设为数列的前n项和，求的值.‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 已知，，设函数，‎ ‎(Ⅰ)求函数的零点；‎ ‎(Ⅱ)求函数的最大值和最小值.‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 已知函数在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记 ‎ (Ⅰ)求实数a，b的值；‎ ‎ (Ⅱ)若不等式成立，求实数k的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）定义在[p,q]上的一个函数m（x），用分法 将区间[p,q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M>0，使得和式恒成立，则称函数为在[p,q]上的有界变差函数，试判断函数是否为在[1，3]上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由。（参考公式：……+）‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道，是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上。已知米，米，记。‎ ‎(Ⅰ)试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域；‎ ‎(Ⅱ)若，求此时管道的长度；‎ ‎（Ⅲ）问：当取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度。‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知常数，函数 ‎(Ⅰ)求的单调递增区间；‎ ‎(Ⅱ)若，求在区间上的最小值；‎ ‎(Ⅲ)是否存在常数，使对于任意时，‎ 恒成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知等比数列的首项，公比，数列前n项和记为，前n项积记为.‎ ‎(Ⅰ)求数列的最大项和最小项；‎ ‎(Ⅱ)判断与的大小，并求为何值时，取得最大值；‎ ‎(Ⅲ)证明中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为，证明:数列为等比数列。‎ 参考答案 一、填空题 ‎1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；‎ ‎8．9．1；10．；11．3；12．；13．；14．②⑤‎ 二、解答题 ‎15．解（Ⅰ）设公差为d，由题意得 ……………4分 ‎ 解得d=0（舍）或d=1，所以 ‎ 故 ……………7分 ‎（Ⅱ）‎ ‎ 所以……………12分 ‎ 所以………………………………………………………14分 ‎16．（Ⅰ）解：由题意：，.………………1分 令，得 ，‎ 所以，或. ………………2分 由，，得 ‎ 由，，得。 ‎ 综上，函数的零点为或。 ……………6分 ‎（Ⅱ）解： ……………8分 ‎ 因为，所以 ‎ ‎ 当，即时，的最大值为； ……………12分 ‎ 当，即时，的最小值为. ……………14分 ‎17．解：（Ⅰ），因为，‎ 所以在区间[2，3]上是增函数，故，‎ 解得；…………………………5分 ‎（Ⅱ）由已知可得为偶函数，‎ 所以不等式可化为，……………8分 解得或；…………………………10分 ‎（Ⅲ）函数为[1，3]上的有界变差函数。‎ ‎ 因为函数为[1，3]上的单调递增函数，‎ 且对任意划分 有 所以 所以存在常数M，使得恒成立。……………14分 ‎18．解：（Ⅰ），，………………………4分 由于，，‎ ‎，。‎ 所以 ，……………………6分 ‎（Ⅱ）时，，；……………10分 ‎（Ⅲ）=，设,‎ 则，由于，‎ 所以 ，在 内单调递减，于是当时. 的最小值米……………15分 答：当时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为米……16分 ‎19．解：(Ⅰ)当时，为增函数． …………………………（2分）‎ 当时，=．令，得．……（4分）‎ ‎∴的增区间为，和．………………………（6分）‎ ‎(Ⅱ)由右图可知，‎ ‎①当时，，在区间上递减，在上递增，最小值为；………（8分） ‎ ‎②当时，在区间为增函数，最小值为；……………………………（10分）‎ ‎③当时，在区间为增函数，最小值为； ……………………………（11分）‎ 综上，最小值． …………………………（12分）‎ ‎(Ⅲ)由，‎ 可得， ……………………………（14分）‎ 即或成立，所以为极小值点，或为极大值点．又时没有极大值，所以为极小值点，即（16分）‎ ‎20．解：（Ⅰ）‎ ‎(1)当n是奇数时，, 单调递减，,‎ ‎(2)当n是偶数时，, 单调递增，；‎ 综上，当n=1时，; 当n=2时，.…4分 ‎ ‎（Ⅱ），，‎ ‎，‎ 则当时，；当时，，……6分 ‎ 又，‎ 的最大值是中的较大者.‎ ‎，，‎ 因此当n=12时，最大. ………………………10分 ‎ ‎（Ⅲ）随n增大而减小，数列的奇数项均正数且递减，偶数项均负数且递增.‎ ‎①当n是奇数时，调整为.则 ‎，，‎ 成等差数列； ………………………12分 ‎ ‎②当n是偶数时，调整为；则 ‎，，‎ 成等差数列；‎ 综上可知，数列中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列.14分 ‎ ‎①n是奇数时，公差；‎ ‎②n是偶数时，公差.‎ 无论n是奇数还是偶数，都有，则，‎ 因此，数列是首项为，公比为的等比数列. …………………16分 ‎