2018-2019学年江苏省海安高级中学高一上学期第一次月考数学试题（创新班）

2018-2019学年江苏省海安高级中学高一上学期第一次月考数学试题（创新班）

‎ ‎ ‎2018-2019学年江苏省海安高级中学高一上学期第一次月考数学试题（创新班） ‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． ‎ ‎1．已知集合，则＝ ▲ ．‎ ‎2．已知数列的一个通项公式为 ▲ ．‎ ‎3．在中，，，，则此三角形的最大边长为 ▲ ．‎ ‎4．已知角的终边经过点，则的值等于 ▲ ．‎ ‎5．已知向量，，，则的值为 ▲ ．‎ ‎6．已知函数 则的值为 ▲ ． ‎ ‎7．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为24米，则该扇形田的面积为 ▲ 平方米．‎ ‎8．若关于的不等式的解集，则的值为 ▲ ．‎ ‎9．已知函数在区间上的最大值等于8，则函数的值域为 ▲ ．‎ ‎10．已知函数是定义在R上的偶函数，则实数的值等于 ▲ ．‎ ‎11．如图，在梯形ABCD中，，P为线段CD上一点，且，E为BC的中点，若，则的值为 ▲ ．‎ ‎12．在锐角△ABC中，若a=2，b=3，则边长c的取值范围是 ▲ ．‎ ‎13．将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为 ▲ ．‎ ‎14．已知为非零实数，，且同时满足：①，② ‎ ‎，则的值等于 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． ‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知函数的图象过点．‎ ‎（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在四边形中，．‎ ‎（1）若△为等边三角形，且，是的中点，求；‎ ‎（2）若，，，求．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，在海岸A处，发现南偏东45°方向距A为(2－2)海里的B处有一艘走私船，在A处正北方向，距A为2海里的C处的缉私船立即奉命以10海里/时的速度追截走私船．‎ ‎（1）刚发现走私船时，求两船的距离；‎ ‎（2）若走私船正以10海里/时的速度从B处向南偏东75°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(精确到分钟，参考数据：≈1.4，≈2.5)． ‎ C A B ‎45°‎ ‎75°‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 已知sinα+cosβ=，cosα+sinβ=，求：‎ ‎（1）sin(α+β)的值；‎ ‎（2）cosα sinβ的值．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ ‎ 已知，函数．‎ ‎（1）求在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（2）若，，求的值；‎ ‎（3）若函数在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ ‎ 设为实数，设函数，设 ‎．‎ ‎（1）求的取值范围，并把表示为的函数；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若存在使得成立，求实数的取值范围．‎ 一、填空题：‎ ‎1. 2. 3. 4. 5. ‎ ‎6. 7. 8.-3 9. 10.‎ ‎11. 12. 13. 14.‎ 二、解答题： ‎ ‎15．解：（1）因为的图象过点，‎ ‎ 所以，解得，所以 ……………………2分 的定义域为． ……………………4分 ‎ 因为， ……………………7分 ‎ ‎ 所以是奇函数． …………………………………………8分 ‎（2）因为， 所以，‎ 所以， …………………………………………10分 所以，所以， ……………………………………12分 解得． ……………………………………14分 ‎16．（1）法一：因为△为等边△，且所以．…2分 又所以，因为是中点，所以 ‎． ……………………………………4分 又，所以 ‎ ……………………………………6分 ‎ ……………………………………8分 法二：如图，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，‎ 因为△为等边△，且所以． ………2分 又所以，所以 ‎ 因为是中点，‎ 所以 ………………4分 所以, ……6 分 所以 ‎． ………………………………8分 ‎（2）因为所以,因为所以 所以 ………………………………10分 又所以．……12分 ‎．所以14分 ‎17．解：（1）在△ABC中，‎ ‎∵AB＝(2－2)海里，AC＝2海里，∠BAC＝135°，由余弦定理，得 BC＝＝4(海里)． ……….4分 ‎（2）根据正弦定理，可得sin∠ABC＝＝.∴∠ABC＝45°，易知∠ACB＝15°，…2分 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，‎ 则有CD＝10t(海里)，BD＝10t(海里)．而∠CBD＝120°，在△BCD 中，根据正弦定理，可得 sin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝45°，∠BDC＝15°， ………..2分 ‎∴根据正弦定理，得，解得．………..2分 故缉私船沿南偏东60°方向，需47分钟才能追上走私船．‎ ‎19．（1）， …2分 因为，所以，所以，‎ 所以． …………………………………………4分 ‎（2）因为，所以，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以， ………………………………6分 所以 ‎． ………………………………………8分 ‎（3）令 ‎ 得， ……10分 ‎ 因为函数在上是单调递增函数，所以存在，使得 ‎ 所以有 即 …………………………12分 ‎ 因为所以又因为， 所以, 所以 14分 ‎ 从而有，所以，所以 …16分 ‎ （另解：由，得.‎ 因为，所以，所以或，解得或.又，所以）‎ ‎20．解：1），‎ 要使有意义，必须且，即，‎ ‎∴，①‎ ‎∴的取值范围是 由①得，‎ ‎∴，；‎ ‎（2）由恒成立，即有，‎ 注意到直线是抛物线的对称轴，‎ 分以下几种情况讨论：‎ ①当即时，在上为递增函数，‎ 即有时，取得最小值，且为；‎ ②当即时，的最小值为；‎ ③当即时，在上为递减函数，‎ 即有时，取得最小值，且为．‎ 则或或，‎ 解得：或或，‎ 则有；‎