2020届四川省资阳市高三上学期第二次诊断考试数学（文）试题（解析版）

2020届四川省资阳市高三上学期第二次诊断考试数学（文）试题（解析版）

‎2020届四川省资阳市高三上学期第二次诊断考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解一元二次不等式化简集合,集合中的元素都是正整数,再根据集合的交集的概念进行运算即可,‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 所以.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了解一元二次不等式,考查了集合的交集运算,属于基础题.‎ ‎2．已知为虚数单位，复数，则其共扼复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据复数的乘法运算计算得复数,再根据共轭复数的概念可得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 所以.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的乘法运算,考查了共轭复数的概念,属于基础题.‎ ‎3．已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形（如图）．若底面圆的弦所对的圆心角为，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程可解得答案.‎ ‎【详解】‎ 设截面将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为,圆柱的体积为, 将圆柱的底面分成的两部分中,较大部分的面积为,圆柱的底面积为,‎ 则,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以依题意可得,‎ 所以.,‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了利用圆柱的体积公式计算体积,利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程是解题关键,属于基础题.‎ ‎4．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三角函数的定义计算可得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为,,所以,‎ 所以.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了特殊角的三角函数值,考查了利用三角函数的定义求角的三角函数值,属于基础题.‎ ‎5．函数的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数值恒大于等于0,排除,根据函数不是偶函数,排除,根据趋近于正无穷时,函数值趋近于0,排除,故选:.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以不正确;‎ 函数不是偶函数,图象不关于轴对称,所以不正确;‎ 当时,, 当趋近于正无穷时,和都趋近于正无穷,但是 增大的速度大于增大的速度,所以趋近于0,故不正确.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了利用函数性质识别函数的图象,考查了偶函数图象的对称性,考查了极限思想,根据函数的性质排除选项是解题关键.‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，若输入的值分别为，，输出的值分别为，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据程序框图得到,,再相加即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由程序框图可知:程序框图的功能是计算分段函数的函数值 当时,,所以,‎ 当时,,所以,‎ 所以.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了利用程序框图计算分段函数的函数值,搞清楚程序框图的功能是解题关键,属于基础题.‎ ‎7．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，且 ‎（为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意得以及,消去,结合离心率的定义可得答案.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知,即,‎ 又,‎ 所以该椭圆的离心率.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了求椭圆的离心率,关键是由得到,属于基础题.‎ ‎8．关于函数的图象向右平移个单位长度后得到图象，则函数（ ）‎ A．最大值为3 B．最小正周期为 C．为奇函数 D．图象关于轴对称 ‎【答案】D ‎【解析】先根据图象的平移变换和诱导公式得,再根据的解析式可得答案.‎ ‎【详解】‎ 依题意可得,‎ 所以的最大值为4,最小正周期为,为偶函数,图象关于轴对称.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图像的平移变换,考查了诱导公式,考查了函数的最值,周期性和奇偶性,属于基础题.‎ ‎9．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．‎ 若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据图①,②,③归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式可得答案.‎ ‎【详解】‎ 依题意可得:图①中阴影部分的面积等于大三角形的面积,‎ 图②中阴影部分的面积是大三角形面积的,‎ 图③中阴影部分的面积是大三角形面积的,‎ 归纳可得,图④中阴影部分的面积是大三角形面积的,‎ 所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了归纳推理,考查了几何概型的概率公式,属于基础题.‎ ‎10．圆上到直线的距离为的点共有（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C ‎【解析】通过计算可知:圆心到直线的距离等于圆的半径的一半,由此可得结论.‎ ‎【详解】‎ 圆可化为,‎ 所以圆心为,半径为2,‎ 圆心到直线的距离为:,‎ 所以,‎ 所以圆上到直线的距离为的点共有3个.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了由圆的方程求圆心坐标和半径,考查了点到直线的距离公式,属于基础题.‎ ‎11．某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元．若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为（ ）‎ A．2400元 B．2560元 C．2816元 D．4576元 ‎【答案】B ‎【解析】设甲型车辆,乙型车辆,运送这批水果的费用为元,依题意列出所满足的不等式组和目标函数,然后作出可行域,平移直线,根据图形得到最优解,代入最优解的坐标即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设甲型车辆,乙型车辆,运送这批水果的费用为元,‎ 则 ,目标函数,‎ 作出不等式组所表示的平面区域,如图所示的阴影部分:‎ 作直线,并平移,分析可得当直线过点时,取得最小值,‎ 即元.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了利用线性规划求最小值,解题关键是找到最优解,属于基础题.‎ ‎12．已知直线与曲线相切，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设切点为,利用导数的几何意义可得,将切点坐标代入直线,可得,再构造函数利用导数可得最小值.‎ ‎【详解】‎ 设切点为,‎ 因为,所以,‎ 所以,所以,‎ 又切点在直线上,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 令,‎ 则,‎ 令,得,‎ 令,得,‎ 所以在上递减,在上递增,‎ 所以时,取得最小值.‎ 即的最小值为.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数的几何意义求切线的斜率,考查了利用导数研究函数的单调性,根据单调性求函数的最值,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知非零向量满足，则 __________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的几何意义是以为邻边的长方形的对角线，几何意义是以为邻边的长方形的另一条对角线，依题意，平行四边形的对角线相等，则为矩形，故两个向量的夹角为.‎ ‎14．如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率.已知该年级男生500人、女生400名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为______．‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】先根据等高条形图求出喜欢徒步的男女生人数,从而可得喜欢徒步的总人数,进一步可得男生的抽样比,利用抽样比可得抽取的男生人数.‎ ‎【详解】‎ 根据等高条形图可知: 喜欢徒步的男生人数为,喜欢徒步的女生人数为,‎ 所以喜欢徒步的总人数为,‎ 按分层抽样的方法抽取23人,则抽取的男生人数为人.‎ 故答案为:15‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等高条形图,考查了利用分层抽样计算抽取的样本中,各层的人数,属于基础题.‎ ‎15．如图，在正方体中，点在线段上移动，有下列判断：①平面平面；②平面平面；③三棱锥的体积不变；④平面．其中，正确的是______．（把所有正确的判断的序号都填上）‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】①在正方体中可证平面平面，又点在线段上移动,所以平面平面,所以①正确;‎ ‎②先证平面，再根据面面垂直的判定定理可证平面平面，所以②正确；‎ ‎③根据平面,可得三棱锥的体积不变，所以③正确；‎ ‎④由平面，而与交于，可得④不正确.‎ ‎【详解】‎ ‎①因为在正方体中有, ,且平面,平面,所以 平面,同理得平面,‎ 又,所以平面平面,‎ 又点在线段上移动,所以平面平面,所以①正确;‎ ‎②因为平面，所以在平面内的射影为，‎ 因为，根据三垂线定理可得，‎ 同理可得，‎ 因为，‎ 所以平面，‎ 因为平面，所以平面平面，所以②正确；‎ ‎③由①知平面，所以点到平面的距离为定值,所以三棱锥的体积不变，所以③正确；‎ ‎④由②知平面，而与交于，所以与平面不垂直，所以④不正确。‎ 故答案为:①②③‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与平面,平面与平面平行的判定定理，考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了平面与平面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式，属于中档题.‎ ‎16．已知函数，则满足不等式的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先用偶函数的定义得函数为偶函数,可得,再利用时,函数为增函数,可将不等式化为,从而可解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以,‎ 所以 为偶函数,所以,‎ 当时,为增函数,‎ 所以等价于,‎ 所以,‎ 所以,‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式,利用将不等式化为是解题的关键,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．在中，角，，所对的边分别是，，，且 ．‎ ‎（1）证明：为，的等差中项；‎ ‎（2）若，，求．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）5.‎ ‎【解析】(1)由以及正弦定理,得,即为，的等差中项;‎ ‎(2)根据以及余弦定理可解得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由,得，‎ 所以,‎ 由正弦定理得,‎ 即为，的等差中项,‎ ‎（2）由（1）得,‎ 因为，，由余弦定理有,即,‎ 由，解得，（舍去）,‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两角和的正弦公式,考查了正弦定理角化边,考查了诱导公式,考查了余弦定理,考查了等差中项,属于中档题.‎ ‎18．已知数列的前项和为，首项为，且4，，成等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1)根据4，，成等差数列,可得,再利用可得,从而可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列,由此可得数列的通项公式;‎ ‎(2)由可得,再根据等差数列的前项和公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意有,‎ 当时，，所以,‎ 当时，，，‎ 两式相减得，整理得，‎ 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列,‎ 所以数列的通项公式．‎ ‎（2）由，所以，‎ 所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列,‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差中项的应用,考查了用和的递推关系求通项公式,考查了等比数列的通项公式,考查了等差数列的前项和的公式,属于中档题.‎ ‎19．已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数（个）和温度（）的7组观测数据，其散点图如所示：‎ 根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数和温度可用方程来拟合，令，结合样本数据可知与温度可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：‎ ‎27‎ ‎74‎ ‎182‎ 表中，．‎ ‎（1）求和温度的回归方程（回归系数结果精确到）；‎ ‎（2）求产卵数关于温度的回归方程；若该地区一段时间内的气温在之间（包括与），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据：，，，，．）‎ 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．‎ ‎【答案】（1）；（2），.‎ ‎【解析】(1)根据公式计算出和,可得;‎ ‎(2)根据可得,再根据函数为增函数可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为与温度可以用线性回归方程来拟合，设．‎ ‎，‎ 所以，‎ 故关于的线性回归方程为．‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 于是产卵数关于温度的回归方程为,‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 因为函数为增函数，‎ 所以，气温在之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是内的正整数．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求线性回归方程,考查了利用线性回归方程对变量进行分析,属于中档题.‎ ‎20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点．‎ ‎（1）若为线段上的动点，证明：平面平面；‎ ‎（2）若为线段，，上的动点（不含，），，三棱锥的体积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.‎ ‎【解析】(1)利用,可得平面,根据面面垂直的判定定理可证平面平面;‎ ‎(2) 由底面，得平面平面．将问题转化为点到直线的距离有无最大值即可解决.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明:因为，为线段的中点，所以,‎ 因为底面，平面，所以,‎ 又因为底面为正方形，所以，,‎ 所以平面,‎ 因为平面，所以,‎ 因为，所以平面,‎ 因为平面，所以平面平面.‎ ‎（2）由底面，则平面平面,‎ 所以点到平面的距离（三棱锥的高）等于点到直线的距离,‎ 因此，当点在线段，上运动时，三棱锥的高小于或等于2,‎ 当点在线段上运动时,三棱锥的高为2,‎ 因为的面积为,‎ 所以当点在线段上，三棱锥的体积取得最大值,‎ 最大值为.‎ 由于三棱锥的体积等于三棱锥的体积,‎ 所以三棱锥的体积存在最大值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与平面垂直的性质,考查了直线与平面垂直的判定定理,考查了平面与平面垂直的判定定理,考查了三棱锥的体积公式,属于中档题.‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）若为单调递增函数，求的取值范围；‎ ‎（2）若函数仅一个零点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】(1)先求导得到,将为单调递增函数转化为对于恒成立,构造函数,利用导数求出其最值即可解决;‎ ‎(2) 因为，所以是的一个零点,所以只需在内无另外实根即可,通过讨论得到的单调性,根据单调性可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，‎ 得,‎ 因为为单调递增函数，所以当时，‎ 由于，于是只需对于恒成立，‎ 令，则，‎ 当时，，所以为增函数，所以．‎ 当，即时，恒成立，‎ 所以为单调递增函数时，的取值范围是．‎ ‎（2）因为，所以是的一个零点．‎ 由（1）知，当时，为的增函数，‎ 此时关于的方程仅一解，即函数仅一个零点，满足条件．‎ 当时，由得，‎ ‎（i）当时，，则，‎ 令，‎ 易知在的增函数，且，‎ 所以当时，，则，为减函数，‎ 当时，，则，为增函数，‎ 所以在上恒成立，且仅当，‎ 于是函数仅一个零点,‎ 所以满足条件．‎ ‎（ii）当时，由于在为增函数，则，‎ 又当时，．‎ 则存在，使得，即使得，‎ 当时，,则，‎ 当时，,，‎ 所以在上递减,在上递增,‎ 所以，且当时，．‎ 于是当时,存在的另一解，不符合题意，舍去．‎ ‎（iii）当时，则在为增函数，‎ 又，，‎ 所以存在，使得，也就使得，‎ 当时， ,，‎ 当时，,，‎ 所以在上递减,在上递增,‎ 所以，且当时，．‎ 于是在时存在的另一解，不符合题意，舍去．‎ 综上，的取值范围为或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了利用单调性研究函数的零点个数,考查了分类讨论思想, 利用的单调性研究的符号是解题关键,本题属于难题.‎ ‎22．已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2），是曲线上两点，若，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1)先消去参数将参数方程化成普通方程,再利用，将普通方程化成极坐标方程即可得到;‎ ‎(2) 设点的极坐标为，则点的极坐标为．将化成,利用即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由（为参数），得曲线的普通方程为,‎ 将，代入，得,‎ 即,‎ 所以曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）由（1）知,‎ 设点的极坐标为，‎ 因为，则点的极坐标为,‎ 所以 ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了参数方程化普通方程,考查了直角坐标方程化极坐标方程,考查了极坐标的几何意义,考查了同角公式,属于中档题.‎ ‎23．已知正实数，满足．‎ ‎（1）求最大值；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）4；（2）.‎ ‎【解析】(1)平方后用基本不等式即可得到答案;‎ ‎(2)利用基本不等式求得的最小值为3,利用绝对值三角不等式求得的最大值为,然后将恒成立转化为,解绝对值不等式即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为 ‎，当且仅当时取等号．‎ 所以最大值为4．‎ ‎（2）因为，‎ 当且仅当，即，取等号，‎ 所以的最小值为3,‎ 又,‎ 所以,‎ 所以不等式对任意恒成立，只需,‎ 所以,解得,‎ 即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式求积的最大值,和的最小值,考查了绝对值三角不等式,考查了不等式恒成立问题,属于中档题.‎