数学（理）卷·2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高二下学期第二阶段测试（2017-07）

数学（理）卷·2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高二下学期第二阶段测试（2017-07）

2016-2017 学年度下学期高二年级第二次阶段性考试 理科数学 考试时间：6 月 8 日 答题时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：高二数学组 一、选择题：（每题 5 分，满分 60 分） 1．复数 A. B. C. D. 2．下列说法： ①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 后，标准差也变为原来的 倍； ②设有一个回归方程 ，变量 增加 1 个单位时， 平均减少 5 个单位； ③线性相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ④在某项测量中，测量结果 服从正态分布 ，若 位于区域 的概率为 0.4，则 位于区域 内的概率为 0.6 ⑤利用统计量 来判断“两个事件 的关系”时，算出的 值越大，判断“ 与 有关” 的把握就越大 其中正确的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 3. 的值是 A． B． C． D． 4．设定义在 上的函数 的导函数为 ，且满足 ， ，若 ， 则 A． B． C． D． 与 的大小不能确定 5．书架上有三本数学书和两本语文书，某同学两次分别从书架各取一本书，取后不放回， 若第一次从书架取出一本数学书记为事件 ，第二次从书架取出一本数学书记为事件 ， 则 1 2 2 i i + =− i 1 i+ i− 1 i− a a 3 5y x= − x y r ξ ( )( )21, 0N σ σ > ξ ( )0,1 ξ ( )1,+∞ 2χ ,X Y 2χ X Y ( )( )1 2 2 0 1 1x x dx− − −∫ 1 4 3 π − 14 π − 1 2 3 π − 12 π − R ( )f x ( )f x′ ( ) ( )2f x f x− = ( ) 01 f x x ′ <− 1 2 2x x+ > 1 2x x< ( ) ( )1 2f x f x< ( ) ( )1 2f x f x= ( ) ( )1 2f x f x> ( )1f x ( )2f x A B ( )|P B A = A． B． C． D． 6．如图，一个树形图依据下列规律不断生长， 1 个空心圆点到下一行仅生长出 1 个实心圆 点，1 个实心圆点到下一行生长出 1 个实心圆 点和 1 个空心圆点，则第 11 行的实心圆点的 个数是 A．21 B．34 C．55 D．89 7．若 的展开式中没有常数项，则 的可能取值是 A．7 B．8 C．9 D．10 8．三位同学乘一列火车，火车有 10 节车厢，则至少有 2 位同学上了同一车厢的概率为 A． B． C． D． 9．已知函数 ，则 的图象大致为 A． B． C． D． 10．某城市关系要好的 A，B，C，D 四个家庭各有两个小孩共 8 人，分乘甲、乙两辆汽车出 去游玩，每车限坐 4 名（乘同一辆车的 4 名小孩不考虑位置），其中 A 户家庭的孪生姐妹需 乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名小孩恰有 2 名来自于同一个家庭的乘坐方式共有 A．18 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种 11．设函数 在区间 上的导函数为 ， 在区间 上的导函数为 ，若在区间 上 恒成立，则称函数 在区间 上为“凸函数”．已 知 ，若对任意的实数 满足 时，函数 在区间 上为“凸函数”，则区间 可以是 A． B． C． D． 1 2 1 10 3 10 3 5 ( ) ( )2 3 11 ( )nx x x nx ++ + + ∈N n 29 200 7 125 7 18 7 25 ( ) 1 ln 1f x x x = − − ( )y f x= ( )y f x= ( ),a b ( )f x′ ( )f x′ ( ),a b ( )f x′′ ( ),a b ( ) 0f x′′ < ( )f x ( ),a b ( ) 4 3 21 1 3 12 6 2f x x mx x= − − m | | 2m ≤ ( )f x ( ),a b ( ),a b ( )2,0− ( )0,2 ( )1,1− ( )1,3 12．函数 在 上存在两个极值点，则实数 的取值范围为 A． B． C． D． 二、填空题：（每题 5 分，满分 20 分） 13．如果复数 满足 ，那么 的最小值是 14．将 A，B，C，D，E 这 5 名同学从左至右排成一排，则 A 与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有 一名同学的排法有 种 15．甲、乙两人进行“石头、剪子、布”游戏．开始时每人拥有 3 张卡片，每一次“出手”（双 方同时）：若分出胜负，则负者给对方一张卡片；若不分胜负，则不动卡片．规定：当一人 拥有 6 张卡片或“出手”次数达到 6 次时游戏结束．设游戏结束时“出手”次数为 ，则 　　． 16．对任意的正数 ，都存在两个不同的正数 ，使 成立，则实数 的取值范围是 三、解答题： 17．（本小题满分 10 分） “开门大吉”是中央电视台推出的娱乐节目.选手面对 1～8 号 8 扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经 典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的 名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中， 发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁）， 其猜对歌曲名称与否的人数如图所示. (Ⅰ) 完成下列 2×2 列联表（见答题纸）； (Ⅱ)判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关；说明你的理由.（下面的临 界值表供参考） 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 （参考公式： ， ） ( )0 2 kKP ≥ 0k 2 2 11 22 12 21 1 2 1 2 ( )n n n n nK n n n n+ + + + −= 1+ 2+ +1 +2n n n n n= + + + ( ) ( ) 12 lnxf x a x e x x = − + + ( )0,2 a 2 1( , )4e −∞ − 2 1 1( , ) (1, )4e e − +∞ 1( , )e −∞ − 2 1 1 1( , ) ( , )4e e e −∞ − − − z | 3 | | 3 | 6z i z i+ + − = | 1 |z i+ + ξ ( )E ξ = x y ( )2 2ln ln 0x y x ay− − = a 18．（本小题满分 12 分） 若等差数列 的首项为 ，公差是 展开式中的 常数项，其中 为 除以 19 的余数，求通项公式 . 19．(本题满分 12 分) 浑南“万达广场”五一期间举办“万达杯”投掷飞镖比赛．每 3 人组成一队，每人投掷 一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴 影区域记为“成功”（靶面正方形 如图所示,其 中阴影区域的边界曲线近似为函数 的图像）．每 队有 3 人“成功”获一等奖，2 人“成功” 获二等奖，1 人“成功” 获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖） （其中任何两位队员“成功”与否互不影响）． （ ）求某队员投掷一次“成功”的概率； （ ）设 为某队获奖等次，求随机变量 的分布列 及其期望． 20．（本小题满分 12 分） 在数列 中， ，当 时， 成等比数列。 （Ⅰ）求 ，并推出 的表达式； （Ⅱ）用数学归纳法证明所得结论。 21. (本小题满分 12 分） 已知函数 （Ⅰ）曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值； （Ⅱ）当 时，不等式 恒成立，试求 的取值范围. 22. （本小题满分 12 分） 设 ，函数 ．Ra∈ )1()( 12 −−= − xaexxf x { }na 11 2 2 2 1 11 35 m m mma C A− − −= − ( )m N∈ 3 25 2( )2 5 nxx − n 7777 15− na ABCD xAy sin= Ι ΙΙ X X { }na 1 1a = 2n ≥ 1, , 2n n na S S − 2 3 4, ,a a a na ( ) ln( ) ln( )( 0)f x a x a x a= + − − > ( )y f x= (0, (0))f 2y x= a 0x ≥ 32( ) 2 3 xf x x≥ + a （Ⅰ）当 时，求 在 上的单调区间； （Ⅱ）设函数 ，当 有两个极值点 时，总 有 ，求实数 的值． 2016-2017 学年度下学期高二年级第二次阶段性考试 数学理科答案 考试时间：6 月 8 日 答题时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：高二数学组 一、选择题：（每题 5 分，满分 60 分） 1．复数 A. B. C. D. 【解答】A 2．下列说法： ①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 后，标准差也变为原来的 倍； ②设有一个回归方程 ，变量 增加 1 个单位时， 平均减少 5 个单位； ③线性相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ④在某项测量中，测量结果 服从正态分布 ，若 位于区域 的概率为 0.4，则 位于区域 内的概率为 0.6 ⑤利用统计量 来判断“两个事件 的关系”时，算出的 值越大，判断“ 与 有关” 的把握就越大 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 3. 的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】A． 1=a )(xf )2,4 3( )1()()( 1 xexaxfxg −−−+= )(xg 21 xx 、 )( 21 xx < )()( 112 xfxgx ′≤ λ λ 1 2 2 i i + =− i 1 i+ i− 1 i− a a 3 5y x= − x y r ξ ( )( )21, 0N σ σ > ξ ( )0,1 ξ ( )1,+∞ 2χ ,X Y 2χ X Y ( )( )1 2 2 0 1 1x x dx− − −∫ 1 4 3 π − 14 π − 1 2 3 π − 12 π − 4．设定义在 上的函数 的导函数为 ，且满足 ， ，若 ， 则（　　） A． B． C． D． 与 的大小不能确定 答案：C 5．书架上有三本数学书和两本语文书，某同学两次分别从书架各取一本书，取后不放回， 若第一次从书架取出一本数学书记为事件 ，第二次从书架取出一本数学书记为事件 ， 则 （　　） A． B． C． D． 【解答】C 6．如图，一个树形图依据下列规律不断生长，1 个空心圆点到下一行仅生长出 1 个实心圆 点，1 个实心圆点到下一行生长出 1 个实心圆点和 1 个空心圆点，则第 11 行的实心圆点的 个数是（　　） A．21 B．34 C．55 D．89 答案；C 7．若 的展开式中没有常数项，则 的可能取值是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【解答】C． 8．三位同学乘同一列火车，火车有 10 节车厢，则至少有 2 位同学上了同一车厢的概率为 （　　） A． B． C． D． 【解答】D R ( )f x ( )f x′ ( ) ( )2f x f x− = ( ) 01 f x x ′ <− 1 2 2x x+ > 1 2x x< ( ) ( )1 2f x f x< ( ) ( )1 2f x f x= ( ) ( )1 2f x f x> ( )1f x ( )2f x A B ( )|P B A = 1 2 1 10 3 10 3 5 ( ) ( )2 3 11 ( )nx x x nx ++ + + ∈N n 29 200 7 125 7 18 7 25 9．已知函数 ，则 的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【解答】A． 10．某城市关系要好的 A，B，C，D 四个家庭各有两个小孩共 8 人，分乘甲、乙两辆汽车出 去游玩，每车限坐 4 名（乘同一辆车的 4 名小孩不考虑位置），其中 A 户家庭的孪生姐妹需 乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名小孩恰有 2 名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（　　） A．18 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种 【解答】B． 　 11．设函数 在区间 上的导函数为 ， 在区间 上的导函数为 ，若在区间 上 恒成立，则称函数 在区间 上为“凸函数”．已 知 ，若对任意的实数 满足 时，函数 在区间 上为“凸函数”，则区间 可以是（　　） A． B． C． D． 【解答】C． 12．若函数 在 上存在两个极值点，则实数 的取值范围为 （　　） A． B． C． D． 【解答】D ( ) 1 ln 1f x x x = − − ( )y f x= ( )y f x= ( ),a b ( )f x′ ( )f x′ ( ),a b ( )f x′′ ( ),a b ( ) 0f x′′ < ( )f x ( ),a b ( ) 4 3 21 1 3 12 6 2f x x mx x= − − m | | 2m ≤ ( )f x ( ),a b ( ),a b ( )2,0− ( )0,2 ( )1,1− ( )1,3 ( ) ( ) 12 lnxf x a x e x x = − + + ( )0,2 a 2 1( , )4e −∞ − 2 1 1( , ) (1, )4e e − +∞ 1( , )e −∞ − 2 1 1 1( , ) ( , )4e e e −∞ − − − 二、填空题：（每题 5 分，满分 20 分） 13．如果复数 满足 ，那么 的最小值是 【解答】1 14．将 A，B，C，D，E 这 5 名同学从左至右排成一排，则 A 与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有 一名同学的排法有 种 【解答】20 15．甲、乙两人进行“石头、剪子、布”游戏．开始时每人拥有 3 张卡片，每一次“出手”（双 方同时）：若分出胜负，则负者给对方一张卡片；若不分胜负，则不动卡片．规定：当一人 拥有 6 张卡片或“出手”次数达到 6 次时游戏结束．设游戏结束时“出手”次数为 ，则 　　． 【解答】 ． 16．对任意的正数 ，都存在两个不同的正数 ，使 成立，则实数 的取值范围为 【解答】（0， ） 三、解答题： 17．（本小题满分 10 分） “开门大吉”是中央电视台推出的娱乐节目.选手面对 1～8 号 8 扇大门，依次按响门上 的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正 确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中，发现参 赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌 曲名称与否的人数如图所示. (Ⅰ) 完成下列 2×2 列联表； 正误 年龄 正确 错误 合计 z | 3 | | 3 | 6z i z i+ + − = | 1 |z i+ + ξ ( )E ξ x y ( )2 2ln ln 0x y x ay− − = a 20~30 30 30~40 合计 (Ⅱ)判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关；说明你的理由.（下面的临 界值表供参考） 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 （参考公式： ， ） 解： … … … 6 （Ⅱ） 有 的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有 关。 ……… 10 分 18．（本小题满分 12 分） 若等差数列 的首项为 ，公差是 展开式中的 常数项，其中 为 除以 19 的余数，求通项公式 . 18．解：由题意， ，又 ，∴ =2，∴ ………4 分 又 = = ∴ 除以 19 的余数为 5，即 =5 ………8 分 又 ，令 ， ∴ ，∴ ………12 分 19．(本题满分 12 分) ( )0 2 kKP ≥ 0k 2 2 11 22 12 21 1 2 1 2 ( )n n n n nK n n n n+ + + + −= 1+ 2+ +1 +2n n n n n= + + + 706.23804010020 )10301070(120 2 2 >=××× ×−×=k %90 年龄/正误 正确 错误 合计 20~30 10 30 40 30~40 10 70 80 合计 20 100 120 { }na 11 2 2 2 1 11 35 m m mma C A− − −= − ( )m N∈ 3 25 2( )2 5 nxx − n 7777 15− na 5 11 2 11 13 11 3 2 2 7 5 m m mm m ≥ − ⇒ ≤ ≤ − ≥ − m N∈ m 7 3 1 510 100a C A= − = 7777 15− 0 1 7777 77 77 77 77(19 4 1) 15 (19 4) (19 4) 15C C C× + − = + × + + × − 1 2 77 76 77 77 77(19 4)[ (19 4) (19 4) 1] 5C C C× + × + + × − + 7777 15− n 5 15 335 2 5 2 1 5 5 5 2 5( ) ( ) ( ) ( 1)2 5 2 rr rr r r r rT x xxC C −− − + = − = − 5 15 0 =3r r− = ⇒ 3 5 6 3 5 5( ) ( 1) 42d C −= − = − 1 ( 1) 104 4na a n d n= + − = − 浑南“万达广场”五一期间举办“万达杯”投掷飞镖比赛．每 3 人组成一队，每人投掷 一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴 影区域记为“成功”（靶面正方形 如图所示,其 中阴影区域的边界曲线近似为函数 的图像）．每 队有 3 人“成功”获一等奖，2 人“成功” 获二等奖，1 人“成功” 获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖） （其中任何两位队员“成功”与否互不影响）． （ ）求某队员投掷一次“成功”的概率； （ ）设 为某队获奖等次，求随机变量 的分布列 及其期望． 19．解：（ ）由题意知： ， ………………………….2 分 记某队员投掷一次 “成功”事件为 A， 则 ……………………………………….4 分 （ ）因为 为某队获奖等次，则 取值为 1、2、3、4. ， ， ， …….9 分 即 分布列为： … ……10 分 所以， 的期望 ………12 分 20．（本小题满分 12 分） 在数列 中， ，当 时， 成等比数列。 Ι 1001010 =×=矩形S 20sin52 0 == ∫π xdxS阴影 5 1 100 20)( === 矩形 阴影 S SAP ΙΙ X X 125 1)5 11(5 1)1( 0 3 3 3 =−⋅    == CXP 125 12)5 11(5 1)2( 2 2 3 =−⋅    == CXP 125 48)5 11(5 1)3( 2 1 1 3 =−⋅    == CXP 125 64)5 11(5 1)4( 3 0 0 3 =−⋅  == CXP X X 5 17 125 644125 483125 122125 11 =×+×+×+×=EX 1 2 3 4 ABCD xAy sin= Ι ΙΙ X X { }na 1 1a = 2n ≥ 1, , 2n n na S S − X )(XP 125 1 125 12 125 48 125 64 （Ⅰ）求 ，并推出 的表达式； （Ⅱ）用数学归纳法证明所得结论。 （Ⅰ）解： 成等比数列 ① 由 代入①得 由 代入①得 同理可得 ，由此推出：…………………3 分 …………………5 分 （Ⅱ）证明：当 时，由（Ⅰ）知成立…………………6 分 （2）假设 时，命题成立，即 （舍）…………………9 分 也就是说，当 时，命题也成立…………………11 分 根据（1）（2）对于任意 ， …………………12 分 2 3 4, ,a a a na 1, , 2n n na S S − 2 1( )( 2)2n n nS a S n∴ = − ≥ 1 2 1 2 21, 1a S a a a= = + = + 2 2 3a = − 1 2 2 2 2 11, ,3 3a a S a= = − = + 3 2 15a = − 4 2 35a = − 1( 1) 2 ( 2)(2 3)(2 1) n n a nn n == − ≥ − − 1,2n = ( 2)n k k= ≥ 2 (2 3)(2 1)ka k k = − − − 2 2 1( )(2 3)(2 1) 2k kS Sk k ∴ = − −− − 2(2 3)(2 1) 2 1 0k kk k S S∴ − − + − = 1 1,2 1 2 3k kS Sk k ∴ = = −− − 2 1 1 1 1( )2k k kS a S+ + +∴ = − 2 1 1 1 1( ) ( )2k k k k kS a a S a+ + +∴ + = + − 2 1 1 1 1 1 1( ) ( )2 1 2 1 2k k ka a ak k+ + +∴ + = + −− − 1 2 (2 1)(2 1)ka k k+∴ = − − + 1n k= + *n N∈ 1( 1) 2 ( 2)(2 3)(2 1) n n a nn n == − ≥ − − 21. (本小题满分 12 分） 已知函数 （Ⅰ）曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值； （Ⅱ）当 时，不等式 恒成立，试求 的取值范围. 解：（Ⅰ）已知 则 ， ，由题意知 ，∴ ∴ …………… 4 分 （II）令 则 i)当 时， ， 当 时， ，即 ∴函数 在 上为增函数 ∴ ，即当 时， ii)当 时， ， ∴ 时， ， 从而 ，即 从而函数 在 上为减函数 ∴ 时 ，这与题意不符 综上所述当 时， ， 的取值范围为 …… 12 分 22. （本小题满分 12 分） 设 ，函数 ． （Ⅰ）当 时，求 在 上的单调区间； （Ⅱ）设函数 ，当 有两个极值点 时，总 Ra∈ )1()( 12 −−= − xaexxf x 1=a )(xf )2,4 3( )1()()( 1 xexaxfxg −−−+= )(xg 21 xx 、 )( 21 xx < ( ) ln( ) ln( )( 0)f x a x a x a= + − − > ( )y f x= (0, (0))f 2y x= a 0x ≥ 32( ) 2 3 xf x x≥ + a ( ) ln( ) ln( ) ( 0)f x a x a x a= + - - > ' 2 2 1 1 2( ) af x a x a x a x= + =+ - - ' 2 2 2(0) af a a= = ' (0) 2f = 2 2a = 1a = 32( ) ( ) 2 ( 0)3 xg x f x x x= - - ³ 3 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2 23 x ag x f x x f x x xa x ¢æ ö÷ç¢ ¢÷= - - = - - = - -ç ÷ç ÷ç -è ø 4 2 2 2 2 2 2= ( ( 1) )x a x a aa x - - + -- 0 1a< £ 2 1 0a - £ 2 0a a- ³ 0 x a£ < 4 2 2 2( 1) 0x a x a a- - + - ³ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x [ )0,a ( ) (0) 0g x g³ = 0 1a< £ 32( ) 2 3 xf x x³ + 1a > 2 1 0a - > 2 0a a- < 20 1x a a< < - < 2 2( 1) 0x a- - < 2 2 2( 1) 0x x aé ù- - <ê úë û 4 2 2 2( 1) 0x a x a a- - + - < ( ) 0g x′ < ( )g x ( )20, 1a - 20 1x a< < -当 ( ) (0) 0g x g< = 0x ³ 32( ) 2 3 xf x x³ + a 0 1a< £ 有 ，求实数 的值． 22. 解：（Ⅰ）当 时， ， 则 ，令 ，则 . 易知 在 上单调递减，又 所以 在 上单调递减，又因为 ， 所以当 时， ，从而 ，这时 单调递增， 当 时， ，从而 ，这时 单调递减. 所以 在 上的增区间是 减区间是 …… 4 分 （Ⅱ）由题可知 ，则 . 根据题意方程 有两个不等实数根 且 ， 令 得 ，且 ，所以 由 ，其中 ， 得 .将 代入左式得： ，整理得 . 即不等式 对任意 恒成立. ……7 分 ①当 时，得 ②当 时，即 令 ，易知 是 上的减函数， 所以 ，所以 ③当 时，即 . )()( 112 xfxgx ′≤ λ λ 1=a )1()( 12 −−= − xexxf x 1 122)( − −−−=′ x x e exxxf 122)( −−−= xexxxh 122)( −−−=′ xexxh )(xh′ )2,4 3( .0)(,01 2 1)4 3( 4 <′∴<−=′ xh e h )(xh )2,4 3( 0)1( =h )1,4 3(∈x 0)( >xh 0)( >′ xf )(xf )2,1(∈x 0)( ∆ 1−>a 221 =+ xx .11 e eHxH .1 2 +≤ e eλ .1 2 += e eλ