2017-2018学年安徽省定远中学高二下学期教学段考数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年安徽省定远中学高二下学期教学段考数学（理）试题（Word版）

‎2017-2018学年安徽省定远中学高二下学期教学段考（理科）数学试题 注意事项：‎ ‎1．答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将第I卷（选择题）答案用2B铅笔正确填写在答题卡上；请将第II卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。‎ 第I卷（选择题 60分）‎ 一．选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分。）‎ ‎1.若关于的方程有唯一的实数解，则正数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.设为函数f（x）的导数且f（x）= 则=（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎3.已知函数，则是（ ）‎ A. 奇函数，且在上单调递增 B. 偶函数，且在上单调递增 C. 奇函数，且在上单调递减 D. 偶函数，且在上单调递增 ‎4.由曲线与直线， 所围成的封闭图形面积为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎5.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知为虚数单位，若复数，则（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎7.的展开式的第4项的系数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（ ）‎ A. 300 B. 338 C. 600 D. 768‎ ‎9.已知随机变量 ，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.函数的最大值为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎11.已知函数，则的大致图象为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12.下列说法中正确的是（ ）‎ ‎①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， 越接近于，相关性越弱；‎ ‎②回归直线一定经过样本点的中心；‎ ‎③随机误差满足，其方差的大小用来衡量预报的精确度；‎ ‎④相关指数用来刻画回归的效果， 越小，说明模型的拟合效果越好.‎ A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③‎ 第II卷（非选择题 90分）‎ 二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分。）‎ ‎13.已知函数f(x)＝ x2＋2ax－lnx，若f(x)在区间 上是增函数，则实数a的取值范围为    ．‎ ‎14.若函数满足都有，且， ，则__________．‎ ‎15.某射手在一次射击训练中，射击10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，则这个射手在一次射击中射中10环或7环的概率为_________．‎ ‎16.已知随机变量， ，若， ，则__________．‎ 三、解答题（本题有6小题，共70分。）‎ ‎17. （本题共10分）一个口袋中有2个白球和n个红球（n≥2，且n∈N*），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖． （1）试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率P； （2）若n=3，求三次摸球恰有一次中奖的概率； （3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为f（p），当n为何值时，f（p）最大．‎ ‎18. （本题共12分）已知是虚数， 是实数．‎ ‎（1）求为何值时， 有最小值，并求出|的最小值；‎ ‎（2）设，求证： 为纯虚数．‎ ‎19. （本题共12分）某中学将100名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50人.陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末考试后,陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析,画出频率分布直方图（如下图）.记成绩不低于90分者为“成绩优秀”‎ ‎　‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.001‎ ‎　‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎(I)从乙班随机抽取2名学生的成绩,记“成绩优秀”的个数为，求的分布列和数学期望；‎ ‎(II)根据频率分布直方图填写下面2 x2列联表,并判断是否有95％的把握认为:“成绩优秀”与教学方式有关.‎ 甲班（A方式）‎ 乙班(B方式）‎ 总计 成绩优秀 成绩不优秀 总计 附： ‎ ‎20. （本题共12分）数列满足，前n项和．‎ ‎（1）写出；‎ ‎（2）猜出的表达式，并用数学归纳法证明．‎ ‎21. （本题共14分）设，其中.‎ ‎（1）求证：曲线在点处的切线过定点；‎ ‎（2）若函数在上存在唯一极值，求正数的取值范围.‎ ‎22. （本题共10分）某市对所有高校学生进行普通话水平测试，发现成绩服从正态分布N（μ，σ2），下表用茎叶图列举出来抽样出的10名学生的成绩． （1）计算这10名学生的成绩的均值和方差； （2）给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544． 由（1）估计从全市随机抽取一名学生的成绩在（76，97）的概率．‎ 参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A B D D D C A D B C A D ‎13. ‎ ‎【解析】由题意知f′(x)＝x＋2a－ ≥0在 上恒成立，即2a≥－x＋ 在 上恒成立． 又∵y＝－x＋ 在 上单调递减，∴ max＝ ，∴2a≥ ，即a≥ .‎ ‎14.4033.‎ ‎【解析】在中，‎ 令，得，‎ 解得。‎ 令，则，‎ 解得。‎ 于是有，‎ 猜想。‎ ‎∴。‎ ‎15.0.49‎ ‎【解析】这个射手在一次射击中射中10环或7环的概率为 ‎16.‎ ‎【解析】∵随机变量服从，∴，解得： .‎ 又，∴‎ 故答案为：0.1‎ ‎17. 【解析】（1）一次摸球从n+2个球中任选两个，有Cn+22种选法，其中两球颜色相同有Cn2+C22种选法；一次摸球中奖的概率P==‎ ‎ （2）若n=3，则一次摸球中奖的概率是P=，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是 P3(1)= （3）设一次摸球中奖的概率是p，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是f（p）=C31•p•（1﹣p）2=3p3﹣6p2+3p，0＜p＜1，∵f'（p）=9p2﹣12p+3=3（p﹣1）（3p﹣1）∴f（p）在 是增函数，在 是减函数， ∴当p=时，f（p）取最大值 ∴p==（n≥2，n∈N*）， ∴n=2，故n=2时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大．‎ ‎18.（1）（2）见解析 ‎【解析】（1）设，则 所以， ，又可得 ‎ 表示点到点的距离，所以最小值为 ‎ 解方程组并结合图形得 ‎ ‎（2）‎ 又，所以为纯虚数 ‎19.(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.‎ ‎【解析】（I）由频率分布直方图可得“成绩优秀”的人数为4.‎ 的可能值为 0,1,2.‎ ‎ ， ， ‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以， ‎ ‎（II）由频率分布直方图可得，甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12、38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4、46.‎ 甲班 ‎(A方式)‎ 乙班 ‎(A方式)‎ 总计 成绩优秀 ‎12‎ ‎4‎ ‎16‎ 成绩不优秀 ‎38‎ ‎46‎ ‎84‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎ ‎ 根据列联表中数据，‎ 由于4.762>3.481，所以有95%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关 ‎20.（1）， ， ；（2），证明见解析．‎ ‎【解析】（1）令，∵，∴，即，∴．‎ 令，得，即，∴．‎ 令，得，即，∴．‎ ‎（2）猜想，下面用数学归纳法给出证明．‎ ‎①当时， ，结论成立．‎ ‎②假设当时，结论成立，‎ 即，‎ 则当时， ，‎ ‎，即．‎ ‎∴，∴．‎ 当时结论成立．‎ 由①②可知，对一切都有．‎ ‎21.(1)证明见解析；(2) .‎ ‎【解析】（1）因为 所以，又，‎ 所以曲线在点处的切线方程为 ‎，即，‎ 所以曲线在处的切线过定点.‎ ‎（2）因为，‎ 当，函数与在上都是增函数，‎ 所以在上是增函数，‎ 因为函数在上存在唯一极值，‎ 所以即 所以 所以正数的取值范围是.‎ ‎22. 【解析】 （1） =90，S2= =49 （2）由（1）可估计，μ=90，σ=7．‎ P（76＜x＜97）=P（μ﹣2σ＜x＜μ）+P（μ＜x＜μ+σ）= + =0.8185‎