2012年数学宁德市普通高中毕业班第二次质量检查

2012年数学宁德市普通高中毕业班第二次质量检查

‎2012年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查 一、选择题 ‎1、已知定义在上的函数满足，当时， 定义，，…，．若直线与曲线在上恰有16个交点，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎2、“”是“直线和直线互相垂直”的 ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3、若双曲线的离心率为，则双曲线的一条渐近线方程为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎4、运行右图所示的程序框图．若输入，则输出的值为 A． B． ‎ C． D．‎ 否 开始 结束 输出 ‎ 是 输入 ‎ ‎5、若平面区域是一个梯形，则实数的取值范围是 ‎ 　A． B． C． D．‎ ‎6、函数的部分图像可能是 A． B． C． D．‎ ‎7、已知是圆上不同的三个点，为坐标原点，．若存在实数 使得=，则的关系为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎8、从中任取4个不同的元素构成四位数，则与数1234相应数位上的数字至少有2个相同的四位数的个数为 A．33 B．23 C．22 D．19 ‎ ‎9、从区间中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为．若复数（为虚数单位）满足的概率是，则区间不可能是 A． B． C． D．‎ ‎10、已知全集 集合,，下图中阴影部分所表示的集合为 A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题 ‎11、在某次测量中，测量结果服从正态分布，‎ 若在（0，1）内取值的概率0.35， 则在（0，2）内取值的概率为________．‎ ‎12、如图是长方体截去一个角后的多面体的三 视图，则这个多面体的体积为 ．‎ 正视图 俯视图 侧视图 ‎6‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎13、某观测站的正北6海里和正西2海里处分别有海岛、，现在、连线的中点处有一艘渔船因故障抛锚．若在的正东3海里处的轮船接到观测站的通知后，立即启航沿直线距离前去营救，则该艘轮船行驶的路程为 海里．‎ ‎14、已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个生成元．若集合为集合的一个生成元，则的最小可能值为 ． ‎ ‎15、已知等差数列的前项和为，若，则的值为________．‎ 三、解答题 ‎16、（1） 已知平行四边形的四个顶点的坐标分别为，，，.其在矩阵所对应的变换作用下变成菱形．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求矩阵的逆矩阵．‎ ‎（2）在直角坐标系中，已知直线的方程为，⊙的参数方程为（为参数）．‎ ‎（Ⅰ）写出⊙的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若与⊙相切于点，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，试求点的一个极坐标．‎ ‎（3）已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若是正实数，且满足，求证：．‎ ‎17、函数的部分图象如下图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点，为最高点，且三角形的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值．‎ ‎18、‎ 某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎（万盒）‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎（Ⅰ）该同学为了求出关于的线性回归方程，根据表中数据已经正确计算出，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；‎ ‎（Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎19、如图，已知椭圆: 与抛物线:有一个公共的焦点，且两曲线在第一象限的交点的横坐标为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线与抛物线的交点为，，与椭圆 的交点为，（在线段上），且． 问满足条件的直线有几条，说明理由．‎ ‎20、如图，在三棱柱中，平面,，， 分别为，的中点，点在棱上，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若是侧面上的动点，且∥平面．‎ ‎（i）求证：动点的轨迹是一条线段；‎ ‎（ii）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．‎ ‎21、 已知函数的极值点为．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，问：数列是否存在最小项？若存在，求出该最小项；不存在，请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）求证：．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D ‎2、A ‎3、B ‎4、B ‎5、D ‎6、A ‎7、A ‎8、B ‎9、C ‎10、C ‎ 二、填空题 ‎11、‎ ‎12、 ‎ ‎13、‎ ‎14、‎ ‎15、 ‎ 三、解答题 ‎16、（1）‎ 解：（Ⅰ）由题意可知点在矩阵所对应的变换作用下变成点，‎ 故点，，‎ ‎，.‎ 显然四边形为平行四边形，‎ 故若为菱形，只需，‎ 即，由，解得.‎ ‎（Ⅱ）由，故.‎ ‎（2）‎ 解：（Ⅰ）.‎ ‎（Ⅱ）直线的方程可化为，由直线与⊙相切，‎ 故，又，解得.‎ 所以直线的方程为，得该直线与轴交于点.‎ 在中，由，，得.‎ 又⊙过原点，且，，‎ 得点的一个极坐标为.‎ ‎（3）‎ ‎（Ⅰ）‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 所以，即当时，.‎ ‎（Ⅱ）由且是正实数，根据柯西不等式，得 ‎，‎ 即.‎ ‎ ‎ ‎17、‎ ‎（I）∵，‎ 由，得，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）由，得，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎18、‎ ‎（Ⅰ），‎ 因线性回归方程过点，‎ ‎∴‎ ‎∴6月份的生产甲胶囊的产量数：.‎ ‎（Ⅱ）‎ 其分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎19、‎ ‎（Ⅰ）由，故椭圆的焦点坐标为.‎ 由点在抛物线上，所以.‎ 又点又在椭圆上，所以，‎ 所以，又，故，‎ 从而椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）联立直线与椭圆方程得得，‎ 解得，.‎ 联立直线与抛物线得得，‎ 解得，‎ 由，故为线段的中点，‎ 即，得，‎ 化简得，‎ 解得（负值舍去），故满足题意的值有2个.‎ 从而存在过原点的两条直线满足题意 ‎20、‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）解：如图，在三棱柱中，平面,‎ ‎，，得，‎ 如图建立空间直角坐标系，‎ 则．‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎∴ ，‎ 且，‎ ‎∴平面．‎ 因为直线在平面内，‎ ‎∴ 平面平面．‎ ‎（Ⅱ）（i）取的中点为，的中点为,连接，‎ 则∥∥,∥∥,且,‎ ‎∴ 平面∥平面,‎ ‎∵是侧面上的动点，且∥平面，‎ ‎∴动点的轨迹是平面与平面的交线，‎ 即点在线段上.‎ ‎（ii）设，得 ‎∴，,‎ 由（Ⅰ）知平面，所以为平面的一个法向量．‎ 设直线与平面所成角为，‎ ‎∴,‎ ‎∵,，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．‎ 解法二：（Ⅰ）同解法一；‎ ‎（Ⅱ）（i）设，则，‎ 由∥平面，且由（Ⅰ）知平面的法向量为，‎ 故由得，‎ 又得.‎ 所以动点的轨迹是侧面内的一条线段 ‎（ii）由（i）得，，故. ‎ 由（Ⅰ）知平面，所以为平面的一个法向量．‎ 设直线与平面所成角为，‎ ‎∴‎ ‎,‎ ‎∵,，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．‎ ‎21、‎ 解：（Ⅰ），‎ ‎∵函数的极值点为，‎ ‎∴，得，‎ 经检验符合题意，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ），且定义域为，‎ 由得，由得或，‎ 故该函数的单调递增区间为，‎ 单调递减区间为和 又当时，，当时，，‎ ‎∴数列是存在最小项为.‎ ‎（Ⅲ）要证 ‎，‎ 设函数， ‎ 当时，，在单调递增 ‎∴，即，‎ 从而成立，‎ 所以.‎