2018-2019学年江苏省涟水县第一中学高二12月第二次阶段测试 数学试题（Word版）

2018-2019学年江苏省涟水县第一中学高二12月第二次阶段测试 数学试题（Word版）

涟水一中2018～2019第一学期第二次阶段测试 高二数学试题 2018.12.22‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）‎ ‎1.命题“，都有”的否定是 ‎ ‎2．已知为实数，直线，， 则“”‎ 是“”的 条件.（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要” ‎ 中选择一个）‎ ‎3．圆心在原点且与直线相切的圆的方程为_____ ____． ‎ ‎4．椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个 焦点．现从椭圆的左焦点发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点，则光线所经过的总路程为 ． ‎ ‎5．双曲线右支上一点到它的右焦点的距离是，则点到左焦点距离 是 ‎ ‎6.若抛物线上一点到焦点的距离为3，则点到轴的距离为 ．‎ ‎7.若双曲线的焦距为8，点在其渐近线上，则C的方程 为 ． ‎ ‎8.如果一个圆锥的侧面积与其底面积之比是5:3，那么该圆锥的母线与底面所成角的 正弦值为 ． ‎ ‎9. 已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱，其各顶点均在同一个球面上，‎ 则该球的体积为 ． ‎ ‎10．已知椭圆 的一焦点与短轴的两个顶点连线构成一个 正三角形，则该椭圆离心率为 ‎ ‎11．已知、、是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：‎ ‎①若，则； ②若，则；‎ ‎③若上有两个点到的距离相等，则； ④若，则．‎ ‎ 其中正确命题的序号是 ‎ ‎12.已知圆上存在两个不同的点关于直线 对称，过点作圆C的切线，切点为B,则 .‎ ‎13.设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值是________‎ ‎14.在平面直角坐标系中，已知直线和点，‎ 若直线上存在点M，满足MA=2MO,则实数的取值范围为 ‎ 二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,并请将答案写在答题纸相应的位置上.）‎ ‎15.在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且经过点 ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）设双曲线的右焦点为,直线与双曲线的一条渐近线平行，求双曲线方程。‎ ‎16.如图，已知椭圆C：()的右焦点为，下顶点为，‎ 直线AF与椭圆的右准线交于点B，若F恰好为线段AB的中点．‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）若直线AB与圆x2＋y2＝2相切，求椭圆C的方程．‎ F A B x y ‎（第16题）‎ O ‎17.在平面直角坐标系中，设命题:椭圆：的焦点在轴上；‎ 命题:直线：与圆：有公共点； ‎ ‎（1）若命题且为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若或为真命题，同时且为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎18. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，为的中点，‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎19.已知曲线 ‎（1）若，过点的直线交曲线于两点，且，求直线的方程； ‎ ‎（2）若曲线表示圆，且直线与圆相交于两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由。‎ ‎20.在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：的上、下顶点分别为A、B，‎ 点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：分别交于点M、N.‎ ‎⑴设直线AP、PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；‎ ‎⑵求线段MN长的最小值；‎ ‎⑶当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．‎ ‎（第20题）‎ 涟水县第一中学‎17．(14)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 2018～2019高二第一学期第二次阶段测试 ‎ 数学答题卡 学校： ‎ 姓名： ‎ 考号： ‎ 班级： ‎ 考场： ‎ 座号： ‎ 考号(班号)填涂区 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8[ 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1. 2. 3. 4. ‎ ‎5. 6. 7. 8. ‎ ‎9. 10. 11. 12 ‎ ‎13. 14. ‎ ‎15．(14)‎ ‎ ‎ ‎16．(14)‎ ‎17.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18 (16)‎ ‎ ‎ ‎19 (16)‎ 涟水一中2018～2019第一学期第二次阶段测试 高二数学试题答案 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）‎ ‎1.命题“，都有”的否定是 ，都有 ‎2．已知为实数，直线，， 则“”‎ 是“”的 条件.（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要” ‎ 中选择一个）充分不必要 ‎3．圆心在原点且与直线相切的圆的方程为_____ ____．‎ ‎4．椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个 焦点．现从椭圆的左焦点发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点，则光线所经过的总路程为 ．12 ‎ ‎5．双曲线右支上一点到它的右焦点的距离是，则点到左焦点距离 是 ．7‎ ‎6.若抛物线上一点到焦点的距离为3，则点到轴的距离为 ．2‎ ‎7.若双曲线的焦距为8，点在其渐近线上，则C的方程 为 ．‎ ‎8.如果一个圆锥的侧面积与其底面积之比是5:3，那么该圆锥的母线与底面所成角的 正弦值为 ． ‎ ‎9. 已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱，其各顶点均在同一个球面上，‎ 则该球的体积为 ．‎ ‎10．已知椭圆 的一焦点与短轴的两个顶点连线构成一个 正三角形，则该椭圆离心率为 ‎ ‎11．已知、、是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：‎ ‎①若，则； ②若，则；‎ ‎③若上有两个点到的距离相等，则； ④若，则．‎ ‎ 其中正确命题的序号是 ② ④‎ ‎12.已知圆上存在两个不同的点关于直线 对称，过点作圆C的切线，切点为B,则 .6‎ ‎13.设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值是________2‎ ‎14.在平面直角坐标系中，已知直线和点，‎ 若直线上存在点M，满足MA=2MO,则实数的取值范围为 ‎ 或 二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,并请将答案写在答题纸相应的位置上.）‎ ‎15.在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且经过点 ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）设双曲线的右焦点为,直线与双曲线的一条渐近线平行，求双曲线方程。‎ 解：（1）设抛物线方程是………………2分 将点代入得，………………4分 所以抛物线方程是………………5分 ‎（2）直线的斜率，…………………7分 又双曲线的渐近线是，所以，…………………9分 因为双曲线的右焦点为，所以，，…………………11分 所以，故双曲线方程是…………………14分 ‎16.如图，已知椭圆C：()的右焦点为，下顶点为，‎ 直线AF与椭圆的右准线交于点B，若F恰好为线段AB的中点．‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）若直线AB与圆x2＋y2＝2相切，求椭圆C的方程．‎ F A B x y ‎（第16题）‎ O 解：（1）因为，，‎ 所以直线的方程是，‎ 椭圆的右准线是，‎ 又直线AF与椭圆的右准线交于点B，‎ 所以，…………………………………………3分，‎ 又∵F恰好为线段AB的中点，‎ ‎ ∴，所以，，…………………4分，‎ ‎……………5分 ‎（2）直线AB方程是，，……………7分 ‎∵直线AB与圆x2＋y2＝2相切，∴，……………9分 由（1）知,又,∴,……………11分 又，∴，……………13分 所以，，∴椭圆C的方程是……………14分 ‎17.在平面直角坐标系中，设命题:椭圆：的焦点在轴上；‎ 命题:直线：与圆：有公共点； ‎ ‎（1）若命题且为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若或为真命题，同时且为假命题，求实数的取值范围.‎ 解：（1）命题为真:由题意得，，解得．…………2分 命题为真:与圆：有公共点，‎ 则圆心到直线的距离： 解得．……5分 ‎ 且为真命题实数的取值范围是………………7分 ‎（2）由题意，命题、命题中有且只有一个为真命题，‎ 若真假，则： 解得： ……10分 若假真，则： 解得： ……13分 综上：实数的取值范围是或． ……14分 ‎18. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，‎ 为的中点，‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ 证明：（1）连结交于，连结，‎ 因为矩形，所以为中点，…………2分 又因为为的中点，‎ 所以是的中位线，‎ 所以，…………4分 又平面，平面，‎ 所以平面，…………6分 ‎（2）因为所以,‎ 所以.…………10分 又四边形是矩形，所以.‎ 又在平面内且相交，所以平面，…………13分 又平面,所以平面平面。…………14分 ‎19.已知曲线[]‎ ‎（1）若，过点的直线交曲线于两点，且，求直线的方程； ‎ ‎（2）若曲线表示圆，且直线与圆相交于两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由。‎ 解：(1),∴曲线是圆,设圆心到直线的距离为，，，则 --------2分 若的斜率不存在，则符合题意； ---------------4分 若的斜率存在，设为，则，即 解得，可得 --------7分 综上，直线的方程为或. -------------8分 ‎（2）若存在实数满足题意，‎ 曲线：表示圆，即表示圆，‎ 所以，即，------------9分 又直线与圆相交，所以，‎ 所以， 综上所述-----------11分 设过两点的圆的方程为 ‎ ---12分 圆心在上，且此圆过原点，‎ ‎ -------------14分 解得，符合 ， ------------16分 ‎（法二）曲线：表示圆，即表示圆，‎ 所以，即，------------9分 又直线与圆相交于两点，设， ‎ 由消去得，-----------11分 又是此方程的两个不等实根，‎ 所以，即,，--------13分 因为以为直径的圆过原点，所以,,--------14分 ‎，又在直线上，‎ 所以，所以，‎ 把代入得，，------15分 满足和限制条件，所以。-----16分 ‎20.在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：的上、下顶点分别为A、B，‎ 点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：分别交于点M、N.‎ ‎⑴设直线AP、PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；‎ ‎⑵求线段MN长的最小值；‎ ‎⑶当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．‎ ‎（第20题）‎ 解：（1）由题设可知，点A(0，2)，B(0，－ 2).‎ 令P(x0，y0)，则由题设可知x0≠0. ‎ 所以，直线AP的斜率，PB的斜率为……………………2分 ‎ 又点P在椭圆上，所以（x0≠0），，‎ 从而有………………4分 所以为定值 ‎（2）由题设可以得到直线AP的方程为 直线PB的方程为.‎ 由，解得； 由，解得.‎ 所以，直线AP与直线l的交点，‎ 直线PB与直线l的交点.---------------------6分 于是，又，所以，‎ ‎-----------------8分 ‎≥2＝，等号成立的条件是，解得.‎ 故线段MN长的最小值是 ------------------------------10分 ‎（3）设点是以MN为直径的圆上的任意一点，则,即，‎ 故有. 又，-------12分 所以以MN为直径的圆的方程为.-------14分 令，方程恒成立，解得.‎ 所以，以为直径的圆恒过定点（或点）．---16分