江苏省东台中学2013届高三数学上学期期中考试试卷

江苏省东台中学2013届高三数学上学期期中考试试卷

江苏省东台中学2013届高三第一学期期中考试 数学试卷参考答案 ‎1.命题“”是 命题（选填“真”，“假”）‎ ‎【解析】真 ‎2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于第 四 象限 ‎【解析】因，对应点，即第四象限 ‎3.集合中的实数的取值范围为 ‎ ‎【解析】（必修1课本第10页第5题改编）考查集合的互异性以及对数成立的意义 ‎4. 在△中，，，，则_____． ‎ ‎【解析】利用正弦定理可知：‎ ‎5. 在等比数列中，已知则数列的前项的和 ‎ ‎【解析】（必修5课本51页例1原题）364‎ ‎6. 函数的图象向左平移个单位后，与的图象重合，则实数的最小值为 .‎ ‎【解析】，所以至少向左平移个单位，即的最小值为 ‎ ‎7.若实数x,y满足条件,则目标函数z=2x+y的最小值是 ‎ ‎【解析】作出可行域易知在点(2,2)处取得最小值为6‎ ‎8. 已知则的值为 ‎【解析】（必修4课本21页例4改编）‎ ‎ ‎ ‎9. 已知向量，若，则的最小值为 ‎ ‎【解析】由题意可知，即 所以当且仅当时取等号 ‎ ‎10. 已知等比数列{}的各项均为不等于1的正数，数列满足，则数列前n项和的最大值为______________. ‎ ‎【解析】由题意可知数列为等差数列，且，所以 由得，故前n项和的最大值为 ‎11. 已知奇函数在点处的切线方程为,则这个函数的单调递增区间是　　　　　　　　.‎ ‎【解析】因为为奇函数，所以，‎ 所以由题意可知 由函数的单调递增区间为 ‎ ‎12.设:在内单调递增;: 已知，，若对任意，总存在，使得成立,则是成立的 条件.‎ ‎【解析】:‎ ‎:故反之不成立，‎ 所以是成立的充分不必要条件.‎ ‎13. 设数列是首项为0的递增数列，,满足：对于任意的总有两个不同的根,则的通项公式为__________.‎ ‎ 【解析】由题意可知，即，迭加可得 ‎14. 定义域为[a,b]的函数图像的两个端点为A、B，M（x,y）是图象上任意一点，其中,已知向量，若不等式恒成立，则称函数上“k阶线性近似”。若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为 ‎ ‎【解析】由题意,M,N的横坐标相等, 恒成立,则 由,得直线AB的方程为,由图象可知 当且仅当时”=”成立 所以 ‎15. 已知函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的最小正周期及单调递减区间．‎ 解：（1）因为 ‎ ………6分 ‎ 所以 ………………………………………7分 ‎（2）因为 ‎ 所以 ………………9分(如解析式化错,这2分依然可得)‎ 由解得 所以函数的单调减区间为………………14分 ‎ (区间开闭均可,无扣1分)‎ ‎16. 已知函数,且的解集为.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）在取得最小值时,若对于任意的,恒成立,求实数的取值范围 解：(1)由题意可得………………………………3分 所以 当且仅当即时”=”成立……………………………………5分 故的取值范围为……………………………………7分 ‎(2)由(1)可得,‎ 因为对于任意的,恒成立 在恒成立,故 又函数在上递增,所以…………12分 所以………………………………………………………………………………14分 ‎17.已知数列{an}的前n项和为Sn，点在直线上，数列{bn}满足,且b3=11,前9项和为153.‎ ‎(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列前n项的和；‎ 解:(1)由题意可知：‎ 所以时，，时，也适合该式 所以………………………………………………………………………4分 由知是等差数列 由的前9项和为153，可得：‎ 又，所以的公差 ‎………………………………………………………………………………4分 ‎（2）记数列前n项的和为 则 两式相减，得 ‎……………………………13分 所以………………………………………………………………15分 ‎18. 两县城A和B相距‎20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.‎ ‎（1）将y表示成x的函数；‎ ‎（2）判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。‎ 解：（1）如图,由题意知AC⊥BC,‎ ‎,‎ 其中当时，y=0.065,所以k=9…………3分 所以y表示成x的函数为 ‎……………………6分 ‎（2）解法一:,‎ ‎，…………………………………………10分 令得,所以,即,‎ 当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.‎ 所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值. ……………………………………………………………………………………14分 解法二: 设,‎ 则,,……………………………………………………………10分 所以当且仅当即时取”=”.‎ 所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值, ………………………………14分 所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂 对城A和城B的总影响度最小……………………………………………………………15分 ‎19.已知函数(其中是自然对数的底数)‎ ‎(1)若是奇函数,求实数的值;‎ ‎(2)若函数在上单调递增,试求实数的取值范围;‎ ‎(3)设函数,求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数 解：（1）由……………………………………………………………4分 ‎（2），在上单调递增显然成立；……………………………………5分 令，因为所以且递增，故在时递增 时，在时递增，故 所以……………………………………………………………7分 时，在时递增恒成立，故 所以……………………………………………………………9分 综上：……………………………………………………………10分 ‎（3），所以 即要证明任意的,方程在有实数解 令 所以 ‎①当时，，‎ 所以在有解，且只有一解……………………………12分 ‎②当时，‎ 所以在有解，且有两解……………………………14分 ‎③当时，有且只有一解，当时，有且只有一解，‎ 综上所述，对于任意的,总存在,满足,‎ 且当时，有唯一的适合题意，‎ 当时，有两个不同的适合题意。……………………………16分 ‎20.设数列{an}是由正数组成的等比数列，公比为q，Sn是其前n项和．‎ ‎（1）证明；‎ ‎（2）设记数列的前n项和为Tn，试比较q2Sn和Tn的大小. ‎ ‎【证明】‎ ‎（1）由题设知a1>0，q>0． ………………………………………1分 ‎ (i)当q=1时，Sn=na1，于是 Sn·Sn+2－=na1·(n+2)a1－(n+1)2=－<0， …3分 ‎ (ii)当q≠1时，， ‎ 于是Sn·Sn+2－=． …………7分 由(i)和(ii)，得Sn·Sn+2－<0．所以Sn·Sn+2<，． ……………8分 ‎(2) 方法一： ‎ ‎ Tn=，‎ Tn－q2Sn=， …………………………………13分 ‎＝≥2>0， …………………………………15分 所以Tn>q2S． …………………………………………………………16分 方法二：Tn=， ‎ 由， …………………………………………………13分 因为，所以（当且仅当，即时取“=”号），‎ 因为，‎ 所以，即Tn>q2S. ……………………………16分