【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第七章 第2讲 一元二次不等式及其解法学案
第2讲 一元二次不等式及其解法
一、知识梳理
1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集
(1)当a>0时，解集为．
(2)当a<0时，解集为．
2．三个“二次”间的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx
＋c(a>0)的
图象
一元二次方
程ax2＋bx
＋c＝0(a>0)
的根
有两个相异实
根x1，x2(x1
0(a>0)
的解集
{x|x>x2
或x0)
{x|x10(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．
(2)≥0(≤0)⇔
2．记住两个恒成立的充要条件
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔
二、教材衍化
1．不等式2x2－x－3>0的解集为 ．
答案：
2．若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋m＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( )
(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
二、易错纠偏
(1)解不等式时变形必须等价；
(2)注意二次项的系数的符号；
(3)对参数的讨论不要忽略二次项系数为0的情况．
1．不等式－x2－2x＋3≥0的解集为 ．
解析：不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.
方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.
而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．
答案：{x|－3≤x≤1}
2．不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集为 ．
解析：2x(x－7)>3(x－7)⇔2x(x－7)－3(x－7)>0⇔(x－7)(2x－3)>0，解得x<或x>7，所以原不等式的解集为.
答案：
3．对于任意实数x，不等式mx2＋mx－1<0恒成立，则实数m的取值范围是 ．
解析：当m＝0时，mx2＋mx－1＝－1<0，不等式恒成立；当m≠0时，由解得－43的解集为 ．
(2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是 ．
(3)解关于x的不等式：12x2－ax>a2(a∈R)．
【解】 (1)由题意或解得x>1.故填{x|x>1}．
(2)由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，所以解得故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.
故填{x|x≥3或x≤2}．
(3)因为12x2－ax>a2，
所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.
①当a>0时，－<，
解集为；
②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；
③当a<0时，－>，
解集为.
综上所述，当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.
(1)解一元二次不等式的方法和步骤
(2)解含参数的一元二次不等式的步骤
①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；
②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系；
③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．
1．(2020·河南开封模拟)不等式00)．
解：因为a>0，原不等式等价于(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－1)<0得1，解(x－1)<0得11时，解集为.
一元二次不等式恒成立问题(多维探究)
角度一 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围
若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【解析】 当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，
对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－20
a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0
a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0
a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0
a<0，Δ≤0
角度二 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围
(2020·江苏海安高级中学调研)已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，则实数a的取值范围是 ．
【解析】 设f(x)＝x2－2(a－2)x＋a.
因为对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有f(x)＝x2－2(a－2)x＋a>0，
所以Δ<0或解得10，|a|≤1恒成立的x的取值范围．
【解】 将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.
令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9，则－1≤a≤1.
因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以
(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．
(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，
可得即
解得x<2或x>4.
则实数x的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
形如f(x)>0或f(x)<0(参数m∈[a，b])的不等式确定x的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
1．若函数y＝的定义域为R，则m的取值范围是 ．
解析：要使y＝有意义，即mx2－(1－m)x＋m≥0对∀x∈R恒成立，
则解得m≥.
答案：
2．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，求实数b的取值范围．
解：由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2.
又因为f(x)的图象开口向下，
所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，
所以当x∈[－1，1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
若当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，
则b2－b－2>0恒成立，解得b<－1或b>2.
所以实数b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
思想方法系列12 转化与化归思想在不等式中的应用
(2020·安徽马鞍山模拟)不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－20(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根(如本例)，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在 x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
设a，b是关于x的一元二次方程x2－2mx＋m＋6＝0的两个实根，则(a－1)2＋(b－1)2的最小值是( )
A．－ B．18
C．8 D．－6
解析：选C.因为关于x的一元二次方程x2－2mx＋m＋6＝0的两个根为a，b，
所以且Δ＝4(m2－m－6)≥0，解得m≥3或m≤－2.
所以y＝(a－1)2＋(b－1)2＝(a＋b)2－2ab－2(a＋b)＋2＝4m2－6m－10＝4－.
由二次函数的性质知，当m＝3时，函数y＝4m2－6m－10取得最小值，最小值为8.故选C.
[基础题组练]
1．不等式2x2－x－3>0的解集为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B.由2x2－x－3>0，得(x＋1)(2x－3)>0，解得x>或x<－1.
所以不等式2x2－x－3>0的解集为.
2．若集合A＝{x|x2＋x－2<0}，集合B＝，则A∩B＝( )
A．(－1，2) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，1) D．(－1，0)∪(0，1)
解析：选D.因为A＝{x|－2}，则的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选A.由题意得方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－与，所以－＝－＋＝－，则＝1－＝1－＝.
4．(2020·安徽淮北一中模拟)若(x－1)(x－2)<2，则(x＋1)(x－3)的取值范围是( )
A．(0，3) B．[－4，－3)
C．[－4，0) D．(－3，4]
解析：选C.由(x－1)(x－2)<2解得0x(x－2)的解集是 ．
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得00的解集是 ．
解析：原不等式可化为(x－a)<0，由00的解集是.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
解：(1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为，2，代入方程解得a＝－2.
(2)由(1)知不等式ax2－5x＋a2－1>0，
即为－2x2－5x＋3>0，即2x2＋5x－3<0，解得－30的解集为.
10．函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
所以实数a的取值范围是[－6，2]．
(2)当x∈[－2，2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
分如下三种情况讨论(如图所示)：
①如图①，当g(x)的图象恒在x轴或x轴上方且满足条件时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.
②如图②，g(x)的图象与x轴有交点，
但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，
即即
可得解得a∈∅.
③如图③，g(x)图象与x轴有交点，但当x∈(－x，2]时，g(x)≥0.即即可得所以－7≤a≤－6.
综上，实数a的取值范围是[－7，2]．
[综合题组练]
1．若关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中，恰有3个整数，则实数a的取值范围是( )
A．(4，5) B．(－3，－2)∪(4，5)
C．(4，5] D．[－3，－2)∪(4，5]
解析：选D.将不等式x2－(a＋1)x＋a<0化为(x－1)(x－a)<0.当a>1时，得10)有两个实根x1，x2.
(1)求(1＋x1)(1＋x2)的值；
(2)求证：x1<－1且x2<－1；
(3)如果∈，试求a的取值范围．
解：(1)因为关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a>0)有两个实根x1，x2.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
则(1＋x1)(1＋x2)＝1＋x1＋x2＋x1·x2＝1－＋＝1.
(2)证明：由Δ≥0，得00，
所以f(x)的图象与x轴的交点均位于点(－1，0)的左侧，
故x1<－1且x2<－1.
(3)由⇒＝＋＋2＝.
因为∈，所以＝＋＋2∈⇒a∈.
又⇒0
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