【数学】2018届一轮复习苏教版I2-8函数与方程教案（江苏专用）
2.8 函数与方程
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使函数y＝f(x)的值为0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点.
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根.
2.二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0
【知识拓展】
有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × )
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.( × )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( √ )
(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点.( √ )
1.(教材改编)函数f(x)＝－()x的零点个数为____________.
答案 1
解析 f(x)是增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝，
∴f(0)f(1)<0，∴f(x)有且只有一个零点.
2.(教材改编)已知f(x)＝ax2＋bx＋c的零点为1,3，则函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴是________.
答案 x＝2
解析 ∵y＝a(x－1)(x－3)＝a(x－2)2－a，
∴对称轴为x＝2.
3.(2016·长春检测)函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是________.
①(，1); ②(1,2)；
③(2，e); ④(e,3).
答案 ③
解析 因为f()＝－＋－e－2<0，f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－<0，f(e)＝＋e－－2>0，
所以f(2)f(e)<0，所以函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在区间是(2，e).
4.函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________.
答案
解析 ∵函数f(x)的图象为直线，由题意可得
f(－1)f(1)<0，
∴(－3a＋1)·(1－a)<0，解得
0，
∴x0∈(2,3).
(2)令f(x)＝x3－()x－2，则f(x0)＝0，易知f(x)为增函数，且f(1)<0，f(2)>0，∴x0所在的区间是(1,2).
命题点2 函数零点个数的判断
例2 (1)函数f(x)＝的零点个数是________.
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________.
答案 (1)2 (2)4
解析 (1)当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数.又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.
(2)由题意知，f(x)是周期为2的偶函数.
在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如图，
观察图象可以发现它们有4个交点，
即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点.
思维升华 (1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.
(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.
(1)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是________.(填序号)
①(0,1); ②(1,2)；
③(2,4); ④(4，＋∞).
(2)(教材改编)已知函数f(x)＝2x－3x，则函数f(x)的零点个数为________.
答案 (1)③ (2)2
解析 (1)因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).
(2)令f(x)＝0，则2x＝3x，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝2x和y＝3x
的图象，如图所示，由图知函数y＝2x和y＝3x的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2.
题型二 函数零点的应用
例3 (1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是__________.
(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________________.
答案 (1)(0,3) (2)(0,1)∪(9，＋∞)
解析 (1)因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0.所以0＜a＜3.
(2)设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，
在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示.
由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，
所以有两组不同解，
消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，
所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，
解得a<1或a>9.
又由图象得a>0，∴09.
引申探究
本例(2)中，若f(x)＝a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是________________.
答案 (0，)
解析 作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a的图象如下：
当x＝－时，y1＝；当x＝0或x＝－3时，y1＝0，
由图象易知，当y1＝|x2＋3x|和y2＝a的图象有四个交点时，00且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________.
(2)若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为________.
思想方法指导 (1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围.
(2)“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域解决.
解析 (1)函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，即方程ax－x－a＝0有两个根，即函数y＝ax与函数y＝x＋a的图象有两个交点.
当01时，图象如图(2)所示，此时有两个交点.
∴实数a的取值范围为(1，＋∞).
(2)由方程，解得a＝－，设t＝2x(t>0)，
则a＝－＝－(t＋－1)
＝2－[(t＋1)＋]，其中t＋1>1，
由基本不等式，得(t＋1)＋≥2，当且仅当t＝－1时取等号，故a≤2－2.
答案 (1)(1，＋∞) (2)(－∞，2－2]
1.(2016·江苏东海中学期中)若函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的零点为______________.
答案 1＋或1
解析 题目转化为求方程f(x)＝x的根，
所以或
解得x＝1＋或x＝1，所以g(x)的零点为1＋或1.
2.若函数f(x)＝log3x＋x－3的零点所在的区间是(n，n＋1)(n∈Z)，则n＝________.
答案 2
解析 由f(2)＝log32－1<0，f(3)＝1>0，知f(x)＝0的根在区间(2,3)内，即n＝2.
3.已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为________.
答案 a0且f(x)为R上的递增函数.
故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0).
∵g(2)＝0，∴g(x)的零点b＝2；
∵h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0，
且h(x)为(0，＋∞)上的增函数，
∴h(x)的零点c∈，因此a0)的解的个数是________.
答案 2
解析 (数形结合法)
∵a>0，∴a2＋1>1.
而y＝|x2－2x|的图象如图，
∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点.
5.函数f(x)＝的零点个数为______.
答案 2
解析 当x≤0时，令f(x)＝0，得x2－1＝0，∴x＝－1，此时f(x)有一个零点；当x>0时，令f(x)＝0，得x－2＋ln x＝0，在同一个坐标系中画出y＝2－x和y＝ln x的图象(图略)，观察其图象可知函数y＝2－x和y＝ln x的图象在(0，＋∞)上的交点个数是1，所以此时函数f(x)有一个零点，所以f(x)的零点个数为2.
6.已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝－a(x≠0)有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是________________.
答案 ∪[，)
解析 当01时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，
又因为x>1，所以此时方程无解.
综上，函数f(x)的零点只有0.
8.已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________.
答案 (0,1)
解析 画出函数f(x)＝的图象，如图.
由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，
结合图象得00时，f(x)＝2 015x＋log2 015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________.
答案 3
解析 函数f(x)为R上的奇函数，
因此f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2 015x＋log2 015x在区间(0，)内存在一个零点，
又f(x)为增函数，
因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点.
根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，
从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.
10.若a>1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则＋的最小值为________.
答案 1
解析 设F(x)＝ax，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m>0，n>0).
因为F(x)与G(x)关于直线y＝x对称，
所以A，B两点关于直线y＝x对称.
又因为y＝x和h(x)＝4－x交点的横坐标为2，
所以m＋n＝4.又m>0，n>0，
所以＋＝(＋)·
＝(2＋＋)≥(2＋2 )＝1.
当且仅当＝，即m＝n＝2时等号成立.
所以＋的最小值为1.
11.(2016·江苏淮阴中学期中)已知关于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0的两个实根是α，β，且有1<α<2<β<3，则实数a的取值范围是________.
答案 (2，)
解析 设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，结合二次函数的图象及一元二次方程根的分布情况可得
即
解得20，∴f(－x)＝x2＋2x.
又∵f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.
∴f(x)＝
(2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解.
即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点，
作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示，
故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解只需－1
查看更多
