江西省山江湖协作体2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（文）试题

江西省山江湖协作体2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（文）试题

‎“山江湖”协作体高二年级第三次月考文科数学试卷 ‎（统招班）‎ 一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1.不等式的解集为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将分式不等式转化为,再解一元二次不等式组可得.‎ ‎【详解】由原不等式得,所以 ,解得，‎ 即原不等式的解集为.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了分式不等式,一元二次不等式的解法,属于基础题.‎ ‎2.下图是2019年我校高一级合唱比赛中，七位评委为某班打出分数的茎叶统计图，去掉最高分和最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）‎ A. 84，4.84 B. 84，1.6 C. 85，4.84 D. 85，1.6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由茎叶图写出除最高分和最低分的5个分数，然后计算平均数和方差．‎ ‎【详解】由茎叶图知除最高分和最低分的分数有：84，84，86，84，87，‎ 平均数为，‎ 方差为，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查茎叶图，考查平均数和方差，属于基础题．‎ ‎3.已知非零实数，则下列说法一定正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用不等式的基本性质、取特例法、作差法，逐一对四个选项进行判断.‎ ‎【详解】选项A.由不等式性质可知；是两个正数存在，才有，本题的已知条件没有说明是两个正数，所以本选项是错误的；‎ 选项B:若，显然结论不正确，所以本选项是错误的；‎ 选项C: ，可以判断的正负性，但是不能判断出的正负性，所以本选项不正确；‎ 选项D:若，由，可以得到，若时，由不等式的性质可知：‎ ‎，，故由可以推出，故本选项正确，所以本题选D.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的性质.判断不等式是否成立，除了应用不等式的性质之处，一般用特例法、比较法来进行判断.‎ ‎4.现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( )‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.‎ ‎【详解】结合题意分类讨论：‎ 若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；‎ 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；‎ 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；‎ 若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；‎ 综上可得，获奖人为乙.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.‎ ‎5.已知，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. 1 C. 4 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将的表达式构造成可以利用基本不等式求解最小值的形式.‎ ‎【详解】因为，所以，取等号时即，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】形如形式的函数，可利用基本不等式求解函数最小值：，取等号时有：.‎ ‎6.不等式x2+2x-3≥0的解集是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合一元二次不等式性质求解即可 ‎【详解】由x2+2x-3≥0可得（x+3）（x-1）≥0，解可得，x≥1或x≤-3，‎ 故不等式的解集为{x|x≥1或x≤-3}．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题 ‎7.观察下列等式：，，，记.根据上述规律，若，则正整数的值为（ ）‎ A. 8 B. 7 C. 6 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由规律得再解方程即可 ‎【详解】由已知等式的规律可知，当时，可得.‎ 故选D ‎【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题 ‎8.如图所示的程序框图输出的结果为30，则判断框内的条件是（ ）‎ A. ？ B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．‎ 详解：当S=0，n=1时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=2，n=2； ‎ 当S=2，n=2时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=6，n=3； ‎ 当S=6，n=3时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=14，n=4； ‎ 当S=14，n=4时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=30，n=5； ‎ 当S=30，n=5时，满足退出循环的条件，‎ 故判断框内的条件是n＜5？，‎ 故选B．‎ 点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎9.是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即日均值在以下空气质量为一级，在空气量为二级，超过为超标．如图是某地12月1日至10日的（单位：)的日均值，则下列说法不正确的是（ ）‎ A. 这天中有天空气质量为一级 B. 从日到日日均值逐渐降低 C. 这天中日均值的中位数是 D. 这天中日均值最高的是月日 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 认真观察题中所给的折线图，对照选项逐一分析，求得结果.‎ ‎【详解】这10天中第一天，第三天和第四天共3天空气质量为一级，所以A正确；‎ 从图可知从日到日日均值逐渐降低，所以B正确；‎ 从图可知，这天中日均值最高的是月日，所以D正确；‎ 由图可知，这天中日均值的中位数是，所以C不正确；‎ 故选C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关利用题中所给的折线图，描述对应变量所满足的特征，在解题的过程中，需要逐一对选项进行分析，正确理解题意是解题的关键.‎ ‎10.若样本数据的标准差为8，则数据，，，的标准差为（ ）‎ A. 8 B. 15 C. 16 D. 32‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：样本数据，，，的标准差为，所以方差为64，由可得数据，，，的方差为，所以标准差为 考点：方差与标准差 ‎11.若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得出，由此求出的取值范围.‎ ‎【详解】解：显然a=0，不等式不恒成立，所以不等式对一切实数都成立，‎ 则，‎ 即，‎ 解得，‎ 所以实数的取值范围是.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用判别式解决一元二次不等式恒成立问题，是基础题.‎ ‎12.已知，满足则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，表示点与点的距离，由图可得，的最小值就是点到直线的距离，最小值是的最大值是点与点的距离，由，可得，，‎ ‎，的取值范围是，故选C.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，或者根据目标函数的几何意义）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ 二、填空题：（本题包括4小题，共20分）‎ ‎13.将参加数学竞赛500名同学编号为001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽到的号码为005，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到365在第二考点，从366到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为____.‎ ‎【答案】17‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由系统抽样的特点,根据样本容量可得抽样间隔.根据随机号码为可得等差数列通项公式,即可求得再第二考点被抽中的人数.‎ ‎【详解】因为参加竞赛的有500人,抽取样本容量为50‎ 所以抽样间隔为 ‎ 因为抽到的随机号码为 所以样本号码是以为首项,以为公差的等差数列 则等差数列的通项公式为 ‎ 第二考点的编号从到 即 解得 ‎ 所以满足不等式的整数共有个 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了系统抽样的特点,根据等差数列的通项公式求满足条件的项的个数,‎ 属于基础题.‎ ‎14.已知满足约束条件，则的最大值与最小值之和为______.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式组,画出可行域.将目标函数化为,即为平移后在轴上的截距,结合图像即可求得最大值与最小值,进而求得最大值与最小值的和.‎ ‎【详解】根据不等式组,画出表示的可行域如下图所示:‎ 将平移,结合图像可知当经过点时,截距最小,即 ‎ 当经过点时,截距最大,即 所以的最大值与最小值的和为 ‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,求线性目标函数的最大值与最小值,属于基础题.‎ ‎15.函数，在其定义域内任取一点，使的概率是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数解析式,先求得满足时的取值范围,再由函数的定义域,结合几何概型概率的求法即可求解.‎ ‎【详解】函数 若,即 解不等式可得 因函数定义域为 则使的概率为 ‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,一元二次不等式的解法,属于基础题.‎ ‎16.设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值时y的值为______；‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目所给已知等式，用表示出，由此化简的表达式，利用基本不等式求得取得最大值时等号成立的条件，由此将转化为只含的表达式，并利用配方法，结合二次函数最值，求得取得最大值时的值.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 故，‎ 根据基本不等式可得，‎ 当且仅当，即时取得最大值，此时，‎ 所以，当时取得最大值.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查基本不等式等号成立的条件，考查利用配方法求二次项函数的最大值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 三、解答题：‎ ‎17.下表是某地一家超市在2018年一月份某一周内周2到周6的时间与每天获得的利润（单位：万元）的有关数据．‎ 星期 星期2‎ 星期3‎ 星期4‎ 星期5‎ 星期6‎ 利润 ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程；‎ ‎（2）估计星期日获得的利润为多少万元．‎ 参考公式： ‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据表中所给数据，求出横标的平均数，把求得的数据代入线性回归方程的系数公式，利用最小二乘法得到结果，写出线性回归方程．（2）根据二问求得的线性回归方程，代入所给的的值，预报出销售价格的估计值，这个数字不是一个准确数值．‎ ‎【详解】（1）由题意可得，‎ ‎，‎ 因此，，‎ 所以，-‎ ‎ 所以；‎ ‎（2）由（1）可得，当时，（万元），‎ 即星期日估计活动的利润为10.1万元．‎ ‎【点睛】关键点通过参考公式求出，的值，通过线性回归方程求解的是一个估计值．‎ ‎18.上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；‎ ‎（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率．‎ ‎【答案】（1）平均分68，众数65；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得成绩在区间内的频率，然后根据平均数的计算公式，计算出平均分，利用最高的小长方形求得众数.‎ ‎（2）先求得、的人数，然后用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.‎ ‎【详解】（1）因各组的频率之和为1，所以成绩在区间内的频率为 ‎.‎ 所以平均分，‎ 众数的估计值是65.‎ ‎（2）设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间内”，‎ 由题意可知成绩在区间内的学生所选取的有：人，‎ 记这4名学生分别为，，，，‎ 成绩在区间内的学生有人，记这2名学生分别为，，‎ 则从这6人中任选2人的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共15种，‎ 事件“至少有1名学生的成绩在区间内”的可能结果为：，，，，‎ ‎，，，，，共9种，所以．‎ 故所求事件的概率为：．‎ ‎【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查根据频率分布直方图估计平均数和总数，考查古典概型的计算，属于基础题.‎ ‎19.（1）已知，是实数，求证：．‎ ‎（2）用分析法证明：．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据完全平方式与,展开后两式相加即可证明.‎ ‎（2）根据分析法,将不等式两边同时平方,化简后再将不等式平方即可证明.‎ ‎【详解】（1）证明：因为,可得,‎ 可得,‎ 所以．‎ ‎（2）证明:要证成立,‎ 只需证成立；‎ 即证成立；‎ 即证成立；‎ 即证成立,‎ 因为成立,‎ 所以原不等式成立.‎ ‎【点睛】本题考查了综合法与分析法在不等式中的证明,属于中档题.‎ ‎20.通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下列联表：‎ ‎  ‎ 男生 女生 合计 挑同桌 ‎30‎ ‎40‎ ‎70‎ 不挑同桌 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样方法抽取一个容量为5的样本，现从这5人中随机选取3人做深度采访，求这3名学生中至少有2名要挑同桌的概率；‎ ‎ 根据以上列联表，是否有以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎ 参考公式：，其中 ‎【答案】Ⅰ Ⅱ见解析 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据分层抽样原理求出样本中挑同桌有3人，不挑同桌有2人，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值；（Ⅱ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值表得出结论．‎ 解析：‎ Ⅰ根据分层抽样方法抽取容量为5的样本，挑同桌有3人，记为A、B、C，‎ 不挑同桌有2人，记为d、e；‎ 从这5人中随机选取3人，基本事件为 共10种；‎ 这3名学生中至少有2名要挑同桌的事件为概率为 ‎，共7种；‎ 故所求的概率为；‎ Ⅱ根据以上列联表，计算观测值 ‎，‎ 对照临界值表知，有以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关．‎ ‎21.（1）已知，且，求的最小值．‎ ‎（2）已知是正数，且满足，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用基本不等式结合指数幂的运算求出的最小值；‎ ‎（2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值．‎ ‎【详解】（1），，‎ 由基本不等式可得，‎ 当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为；‎ ‎（2）由基本不等式可得，‎ 当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解这类问题的关键就是对代数式朝着定值方向进行配凑，同时注意定值条件的应用，考查计算能力，属于中等题．‎ ‎22.已知函数，且的解集为.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设，若对任意的都有，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据不等式解集,结合不等式与方程的关系,即可求得的值,可得函数解析式.‎ ‎（2）将的解析式代入,求得的解析式.根据奇函数的性质,分类讨论 的不同取值情况,求得与.根据即可求得的最小值.‎ ‎【详解】（1）因为的解集为 所以,是方程的两根 则由韦达定理可得,‎ 解得 所以 ‎（2）,为上的奇函数 当时,‎ 当时,,则函数在上单调递增,在上单调递减,且时,,在时,取得最大值,即；‎ 当时,,则函数在上单调递减,在上单调递减,且时,,在时,取得最小值,即；‎ 对于任意的都有 则等价于 ‎ 即 所以的最小值为1.‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法,分类讨论思想的综合应用,利用函数单调性求函数的最值,属于中档题.‎ ‎ ‎