【数学】2020届一轮复习苏教版函数模型及其应用学案
§2.10 函数模型及其应用
考情考向分析 考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、
最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度．
1．几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝k
x＋b(k，b 为常数且 k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b (a，b 为常数，a≠0)
2.三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上
的增减性
单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化
随 x 的增大逐渐
表现为与 y 轴平
行
随 x 的增大逐渐
表现为与 x 轴平
行
随 n 值变化而各
有不同
值的比较 存在一个 x0，当 x>x0 时，有 logax
0，b≠1)增长速度越来越快的形象比
喻．( × )
题组二 教材改编
2．[P104 习题 T1]某县目前人口 100 万人，经过 x 年后为 y 万人，若人口年增长率是 1.2%，
则 y 关于 x 的函数关系式是________．
答案 y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)
解析 本题属于简单的指数模型的应用问题，依题意有 y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
3．[P99 例 3]生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x
万件时的生产成本为 C(x)＝1
2x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为 20 万元，为获取更大利润，该
企业一个月应生产该商品数量为________万件．
答案 18
解析 利润 L(x)＝20x－C(x)＝－1
2(x－18)2＋142，
当 x＝18 时，L(x)有最大值．
0xa
4．[P77 例 8]某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企 2016 年全年投
入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该民企全年
投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是______________年．(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg
1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
答案 2020
解析 设从 2016 年起，过了 n(n∈N*)年该民企全年投入的研发资金超过 200 万元，则
130×(1＋12%)n≥200，则 n≥
lg 20
13
lg 1.12≈0.30－0.11
0.05 ＝3.8，
由题意取 n＝4，则 n＋2 016＝2 020.
题组三 易错自纠
5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这
两年生产总值的年平均增长率为____________．
答案 (p＋1)(q＋1)－1
解析 设年平均增长率为 x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，
∴x＝ (1＋p)(1＋q)－1.
6．已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y＝alog3(x＋1)，设这种动物第 2 年有 100
只，到第 8 年它们发展到________只．
答案 200
解析 由题意知 100＝alog3(2＋1)，
∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)．
当 x＝8 时，y＝100log39＝200.
题型一 已知函数模型的实际问题
例 1 (1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定
条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 p＝at2＋bt＋c(a，b，c 是常数)，
如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为
________分钟．
答案 3.75
解析 根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，
联立方程组得Error!
消去 c 化简得Error!解得Error!
所以 p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－1
5(t2－15
2 t＋225
16 )＋45
16－2＝－1
5(t－15
4 )2＋13
16，所以当 t＝15
4 ＝3.75
时，p 取得最大值，即最佳加工时间为 3.75 分钟．
(2)某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为 p 元，销售量
为 Q 件，则销售量 Q(单位：件)与零售价 p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则
最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)________元．
答案 23 000
解析 设毛利润为 L(p)元，则由题意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以 L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令 L′(p)＝0，解得 p＝30 或 p＝－130(舍去)．
当 p∈(0,30)时，L′(p)>0，当 p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故 L(p)在 p＝30 时取得极大值，
即最大值，且最大值为 L(30)＝23 000.
思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
跟踪训练 1 (1)拟定甲、乙两地通话 m 分钟的电话费(单位：元)由 f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，
其中 m>0，[m]是不超过 m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话
6.5 分钟的电话费为______元．
答案 4.24
解析 ∵m＝6.5，∴[m]＝6，
则 f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
(2)某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万
元．又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数，K(Q)＝40Q－ 1
20Q2，则总利润 L(Q)的最大值是
________万元．
答案 2 500
解析 L(Q)＝40Q－ 1
20Q2－10Q－2 000
＝－ 1
20Q2＋30Q－2 000＝－ 1
20(Q－300)2＋2 500.
则当 Q＝300 时，L(Q)的最大值为 2 500 万元．
题型二 构建函数模型的实际问题
命题点 1 构造一次函数、二次函数模型
例 2 某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量 x(kg)与其运费 y(元)之间的关系由如图所示
的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为______kg.
答案 19
解析 由图象可求得一次函数的解析式为 y＝30x－570，令 30x－570＝0，解得 x＝19.
命题点 2 构造指数函数、对数函数模型
例 3 一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐
到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的1
4，已
知到今年为止，森林剩余面积为原来的 2
2 .
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解 (1)设每年降低的百分比为 x(00)型函数
例 4 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利
润 y(万元)与营运年数 x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每
辆客车营运年数为________．
答案 5
解析 根据图象求得 y＝－(x－6)2＋11，
∴年平均利润y
x＝12－(x＋25
x )，
1
1011 .2x æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø
＝ －
1
10 21 1 ,2 2
m
æ ö æ ö÷ ÷ç ç=÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
3
10 21 1 ,2 2
n
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
≥
∵x＋25
x ≥10，当且仅当 x＝5 时等号成立．
∴要使平均利润最大，客车营运年数为 5.
(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为 60°(如图)，考虑防洪堤
坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为 9 3 平方米，且高度不低于 3 米．记
防洪堤横断面的腰长为 x 米，外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y 米．要使防洪堤
的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长 x＝________
米．
答案 2 3
解析 由题意可得 BC＝18
x －x
2(2≤x<6)，
∴y＝18
x ＋3x
2 ≥2 18
x × 3x
2 ＝6 3.
当且仅当18
x ＝3x
2 (2≤x<6)，即 x＝2 3时等号成立．
命题点 4 构造分段函数模型
例 5 已知某公司生产某款手机的年固定成本为 40 万美元，每生产 1 万只还需另投入 16 万美
元．设该公司一年内共生产该款手机 x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为 R(x)万美元，
且 R(x)＝Error!
(1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万只)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年
利润．
解 (1)当 040 时，
W＝xR(x)－(16x＋40)＝－40 000
x －16x＋7 360.
所以 W＝Error!
(2)①当 040 时，W＝－40 000
x －16x＋7 360，
由于40 000
x ＋16x≥2 40 000
x × 16x＝1 600，
当且仅当40 000
x ＝16x，即 x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，
所以 W 取最大值 5 760.
综合①②，当年产量 x＝32 万只时，W 取最大值 6 104 万美元．
思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，
将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的
限制．
跟踪训练 2 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过 0.1%，若初时含杂质
2%，每过滤一次可使杂质含量减少1
3，至少应过滤__________次才能达到市场要求．(参考数
据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
答案 8
解析 设至少过滤 n 次才能达到市场要求，
则 2%(1－1
3 )n≤0.1%，即 (2
3 )n≤ 1
20，
所以 nlg 2
3≤－1－lg 2，所以 n≥7.39，所以 n＝8.
(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为 20 000 元，每天需
要房租、水电等费用 100 元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益 R(元)
与 门 面 经 营 天 数 x 的 关 系 是 R(x) ＝ Error! 则 当 总 利 润 最 大 时 ， 该 门 面 经 营 的 天 数 是
________．
答案 300
解析 由题意，总利润
y＝Error!
当 0≤x≤400 时，y＝－1
2(x－300)2＋25 000，
所以当 x＝300 时，ymax＝25 000；
当 x>400 时，y＝60 000－100x<20 000.
综上，当门面经营的天数为 300 时，总利润最大为 25 000 元．
用数学模型求解实际问题
数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括从数量，
图形关系中抽象出数学概念，并且用数学符号和术语予以表征．
例 (1)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动
车时血液中酒精含量不得超过 0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到 3
mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时 50%的速度减少，则至少经过________小
时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)
答案 4
解析 设 n 小时后他才可以驾驶机动车，由题意得 3(1－0.5)n≤0.2，即 2n≥15，故至少经过 4
小时他才可以驾驶机动车．
(2)已知某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓房．当每套房月租金定为 3 000 元时，这 70
套公寓房能全部租出去；当月租金每增加 50 元时(设月租金均为 50 元的整数倍)，就会多一
套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费 100 元的日常维修等费用(设没有出
租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________
元．
答案 3 300
解析 设利润为 y 元，租金定为 3 000＋50x(0≤x≤70，x∈N)元．则 y＝(3 000＋50x)(70－x)－
100(70－x)＝(2 900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤50(58＋x＋70－x
2 )2，当且仅当 58＋x＝
70－x，即 x＝6 时，等号成立，故每月租金定为 3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利
润．
素养提升 例题中通过用字母表示变量，将酒后驾车时间抽象为不等式问题，将租房最大利
润抽象为函数的最值问题．
1．用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长
度为________．
答案 3
解析 设隔墙的长度为 x(0280)，则有
280 × p%＋(x－280)(p＋2)%
x ＝(p＋0.25)%，
解得 x＝320.故该公司的年收入为 320 万元．
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过 10 m3 的，按每
立方米 m 元收费；用水超过 10 m3 的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费 16m 元，则该
职工这个月实际用水为________ m3.
答案 13
解析 设该职工用水 x m3 时，缴纳的水费为 y 元，由题意得 y＝Error!
则 10m＋(x－10)·2m＝16m，解得 x＝13.
6．某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系 y＝ekx＋b(e＝2.718…
为自然对数的底数，k，b 为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时，在 22 ℃的保鲜
时间是 48 小时，则该食品在 33 ℃的保鲜时间是________小时．
答案 24
解析 由题意得Error!∴e22k＝ 48
192＝1
4，
∴e11k＝1
2，∴x＝33 时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝(1
2 )3·192＝1
8×192＝24(小时)．
7.某人根据经验绘制了 2018 年春节前后，从 12 月 21 日至 1 月 7 日自己种植的西红柿的销售
量 y(千克)随时间 x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在 12 月 26 日大约卖出了西红柿
______千克．
答案 190
9
解析 前 10 天满足一次函数关系，设为 y＝kx＋b(k≠0)，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解
析式得Error!解得 k＝20
9 ，b＝70
9 ，
所以 y＝20
9 x＋70
9 ，则当 x＝6 时，y＝190
9 .
8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长
x 为________m.
答案 20
解析 设内接矩形另一边长为 y m，
则由相似三角形性质可得 x
40＝40－y
40 ，解得 y＝40－x，
所以面积 S＝x(40－x)＝－x2＋40x
＝－(x－20)2＋400(00)(空闲率：空闲量与最大养殖量的比值)．
(1)写出 y 关于 x 的函数关系式，并求其定义域；
(2)求鱼群年增长量的最大值；
(3)当鱼群的年增长量达到最大时，求 k 的取值范围．
解 (1)y＝kx·m－x
m ＝kx(1－x
m )(0≤x0，所以 00，
则(150－x)＋ 100
150－x
≥2 (150－x)· 100
150－x＝2×10＝20，
当且仅当 150－x＝ 100
150－x，
即 x＝140 时等号成立，此时，Pmax＝－20＋120＝100.
所以每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，最大值为 100 元．
13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度 v 的平方成正比，且比例系数为 k，
除燃料费外其他费用为每小时 96 元．当速度为 10 海里/时时，每小时的燃料费是 6 元．若匀
速行驶 10 海里，当这艘轮船的速度为________海里/时时，总费用最小．
答案 40
解析 设每小时的总费用为 y 元，
则 y＝kv2＋96，又当 v＝10 时，k×102＝6，
解得 k＝0.06，
所以每小时的总费用 y＝0.06v2＋96，匀速行驶 10 海里所用的时间为10
v 小时，
故总费用为 W＝10
v y＝10
v (0.06v2＋96)＝0.6v＋960
v
≥2 0.6v × 960
v
＝48，
当且仅当 0.6v＝960
v
，即 v＝40 时等号成立．
故总费用最小时轮船的速度为 40 海里/时．
14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价 a，最
高销售限价 b(b>a)以及实数 x(0
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