【数学】2019届一轮复习北师大版排列与组合学案

【数学】2019届一轮复习北师大版排列与组合学案

‎ 10.2　排列与组合 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．‎ ‎2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.‎ 以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以选择、填空为主，难度为中档.‎ ‎1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定顺序排成一列 组合 合成一组 ‎2.排列数与组合数 ‎(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．‎ ‎(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．‎ ‎3．排列数、组合数的公式及性质 公式 ‎(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝；‎ ‎(2)C＝＝＝ 性质 ‎(3)0！＝1；A＝n！；‎ ‎(4)C＝C；C＝C＋C 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　×　)‎ ‎(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(　×　)‎ ‎(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　√　)‎ ‎(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　√　)‎ ‎(5)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　×　)‎ ‎(6) C＝nC.(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)‎ A．144 B．120 C．72 D．24‎ 答案　D 解析　“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.‎ ‎3．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为(　　)‎ A．8 B．24 C．48 D．120‎ 答案　C 解析　末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，‎ 共有AA＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.‎ 题组三　易错自纠 ‎4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)‎ A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 答案　B 解析　第一类：甲在左端，有A＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；‎ 第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)排法．‎ 所以共有120＋96＝216(种)排法．‎ ‎5．为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为(　　)‎ A．180 B．240‎ C．540 D．630‎ 答案　C 解析　依题意，选派方案分为三类：①一个国家派4名，另两个国家各派1名，有·A＝90(种)；②一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有CCCA＝360(种)；③每个国家各派2名，有·A＝90(种)，‎ 故不同的选派方案种数为90＋360＋90＝540.‎ ‎6．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种．(用数字作答)‎ 答案　45‎ 解析　设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9×5＝45(种).‎ 题型一　排列问题 ‎1．用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为(　　)‎ A．18 B．108 C．216 D．432‎ 答案　D 解析　根据题意，分三步进行：第一步，先将1,3,5分成两组，共CA种排法；第二步，将2,4,6排成一排，共A种排法；第三步，将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，共A种排法．综上，共有CAAA＝3×2×6×12＝432(种)排法，故选D.‎ ‎2．将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有(　　)‎ A．1 108种 B．1 008种 C．960种 D．504种 答案　B 解析　将丙、丁两人进行捆绑，看成一人．将6人全排列有AA种排法；将甲排在排头，有AA种排法；乙排在排尾，有AA种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有AA种排法．则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有AA－AA－AA＋AA＝1 008(种)．‎ ‎3．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)‎ 答案　1 560‎ 解析　由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1 560(条)留言．‎ 思维升华排列应用问题的分类与解法 ‎(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．‎ ‎(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法. ‎ 题型二　组合问题 典例某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．‎ ‎(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ ‎(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？‎ 解　(1)从余下的34种商品中，‎ 选取2种有C＝561(种)取法，‎ ‎∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．‎ ‎(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984(种)取法．‎ ‎∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．‎ ‎(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有CC＝2 100(种)取法．‎ ‎∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．‎ ‎(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种)．‎ ‎∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．‎ ‎(5)方法一　(间接法)‎ 选取3种的总数为C，因此共有选取方式 C－C＝6 545－455＝6 090(种)．‎ ‎∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．‎ 方法二　(直接法)‎ 共有选取方式C＋CC＋CC＝6 090(种)．‎ ‎∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．‎ 思维升华组合问题常有以下两类题型变化：‎ ‎(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．‎ ‎(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．‎ 跟踪训练 (1)在某校2017年举办的第32届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有1个不相同的选法种数为(　　)‎ A．30 B．36‎ C．60 D．72‎ 答案　A 解析　因为甲、乙两位同学从四个不同的项目中各选两个项目的选法有CC种．‎ 其中甲、乙所选的项目完全相同的选法有C种，‎ 所以甲、乙所选的项目中至少有1个不相同的选法共有CC－C＝30(种)．故选A.‎ ‎(2)(2017·武汉二模)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)‎ A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 答案　D 解析　共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C＋C＋CC＝66(种)．‎ 题型三　排列与组合问题的综合应用 命题点1　相邻、相间及特殊元素(位置)问题 典例 (1)(2018·青岛模拟)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．‎ 答案　60‎ 解析　2位男生不能连续出场的排法共有N1＝A×A＝72(种)，女生甲排第一个且2‎ 位男生不连续出场的排法共有N2＝A×A＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.‎ ‎(2)(2017·上饶一模)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有(　　)‎ A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 答案　B 解析　根据题意，分两种情况讨论：‎ ‎①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，‎ 有C×C×C＝12(种)乘坐方式；‎ ‎②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C＝12(种)乘坐方式，‎ 故共有12＋12＝24(种)乘坐方式，故选B.‎ 命题点2　分组与分配问题 典例(1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．‎ 答案　90‎ 解析　先把6个毕业生平均分成3组，有＝15(种)方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90(种)分派方法．‎ ‎(2)(2017·广州调研)有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种．‎ 答案　36‎ 解析　先把4名学生分为2,1,1共3组，有＝6(种)分法，再将3组对应3个学校，有A＝6(种)情况，则共有6×6＝36(种)不同的保送方案．‎ 思维升华 (1)解排列、组合问题要遵循的两个原则 ‎①按元素(位置)的性质进行分类；‎ ‎②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置)．‎ ‎(2)分组、分配问题的求解策略 ‎①对不同元素的分配问题 a．对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．‎ b．对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．‎ c．对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．‎ ‎②对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．‎ 跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 答案　D 解析　由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C·C·A＝36(种)，或列式为C·C·C＝3××2＝36(种)．故选D.‎ ‎(2)(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法．(用数字作答)‎ 答案　660‎ 解析　方法一　只有1名女生时，先选1名女生，有C种方法；再选3名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法．由分步乘法计数原理知，共有CCA＝480(种)选法．‎ 有2名女生时，再选2名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法．由分步乘法计数原理知，共有CA＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知，共有480＋180＝660(种)不同的选法．‎ 方法二　不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，‎ 而没有女生的选法有AC种，‎ 故至少有1名女生的选法有AC－AC＝840－180＝660(种)．‎ ‎(3)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有______种．‎ 答案　36‎ 解析　将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有AA种方法．于是符合题意的摆法共有AA－AA＝36(种)．‎ ‎1．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　)‎ A．9 B．10 C．18 D．20‎ 答案　C 解析　由于lg a－lg b＝lg (a>0，b>0)，‎ ‎∴lg 有多少个不同的值，只需看不同值的个数．‎ 从1,3,5,7,9中任取两个作为，有A种取法，又与相同，与相同，‎ ‎∴lg a－lg b的不同值的个数为A－2＝18.‎ ‎2．(2017·济南调研)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　)‎ A．3×3! B．3×(3！)3‎ C．(3！)4 D．9!‎ 答案　C 解析　把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种坐法．‎ ‎3．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为(　　)‎ A．16 B．18 C．24 D．32‎ 答案　C 解析　将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A＝6(种)排法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．‎ ‎4．(2018·昆明质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法(　　)‎ A．A种 B．A种 C．AA种 D．CCAA种 答案　D 解析　红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有CCAA种摆放方法．‎ ‎5．有A，B，C，D，E五位学生参加 页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为(　　)‎ A．6 B．18‎ C．20 D．24‎ 答案　B 解析　由题意知，名次排列的种数为CA＝18.‎ ‎6．(2016·四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)‎ A．24 B．48 C．60 D．72‎ 答案　D 解析　由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5.分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C种选法，再将剩下的4个数字排列有A种排法，则满足条件的五位数有C·A＝72(个)．故选D.‎ ‎7．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种．(用数字作答)‎ 答案　11‎ 解析　把g，o，o，d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A＝12.其中正确的有一种，所以错误的共有A－1＝12－1＝11(种)．‎ ‎8．(2017·福州质检)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)‎ 答案　60‎ 解析　分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A种分法；‎ 第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有CA种分法．‎ 总获奖情况共有A＋CA＝60(种)．‎ ‎9．(2017·豫南九校联考)某医院拟派2名内 医生，3名外 医生和3名护士共8‎ 人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内 医生，外 医生和护士，则不同的分配方案有______种．‎ 答案　36‎ 解析　2名内 医生的分法为A，3名外 医生与3名护士的分法为CC＋CC，共有A(CC＋CC)＝36(种)不同的分法．‎ ‎10．用数字0,1,2,3,4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有________个．‎ 答案　240‎ 解析　由题意知本题是一个分步计数问题，从1,2,3,4四个数中选取一个有四种选法，接着从这五个数中选取3个在中间三个位置排列，共有A＝60(个)，根据分步乘法计数原理知，有60×4＝240(个)．‎ ‎11．(2018·郑州模拟)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________．‎ 答案　120‎ 解析　先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有AA＝48(种)安排方法．由分类加法计数原理知，共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．‎ ‎12．(2017·衡水四模)某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)‎ 答案　114‎ 解析　5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1,1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有C·A＝60(种)，A，B住同一房间有C·A＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当为(2,2,1)时，有·A＝90(种)，A，B住同一房间有C·A＝18(种)，‎ 故有90－18＝72(种)，‎ 根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种)．‎ ‎13．(2018·合肥质检)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为(　　)‎ A．120 B．240‎ C．360 D．480‎ 答案　C 解析　前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有CC种方法，对于后排，若插入的2人不相邻，有A种方法；若相邻，有CA种，故共有CC(A＋CA)＝360(种)，故选C.‎ ‎14．将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法．‎ 答案　150‎ 解析　标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，故可分成(3,1,1)和(2,2,1)两组，共有C＋＝25(种)分法，再分配到三个不同的盒子中，共有25·A＝150(种)放法．‎ ‎15．在第二届乌镇互联 大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现为其中的五个参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在a，b，c三家酒店中任选一家，且这三家都至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有(　　)‎ A．96种 B．124种 C．130种 D．150种 答案　D 解析　这三家酒店入住的参会国数目有以下两种可能：‎ 第一种，“2,2,1”，其安排方法有＝90(种)；‎ 第二种，“3,1,1”，其安排方法有＝60(种)，‎ 满足题意的安排方法共有90＋60＝150(种)．故选D.‎ ‎16．(2017·洛阳预测)设三位数n＝abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有多少个？‎ 解　a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a，b，c∈{1,2,3，…，9}．①若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n1，由于三位数中三个数字都相同，所以n1＝C＝9；②若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有2个不同数字，设为a，b，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a，b)共有2C组，但当大数为底时，设a>b，必须满足b

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