2018-2019学年江西省玉山县一中高一（平行班）下学期第一次月考试题数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年江西省玉山县一中高一（平行班）下学期第一次月考试题数学（理）试题（解析版）

2018-2019 学年江西省玉山县一中高一（平行班）下学期第一 次月考试题数学（理）试题 一、单选题 1． 的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用诱导公式化简求解即可. 【详解】 故选：B 【点睛】 本题考查诱导公式和特殊角的三角函数值的应用，属于简单题. 2．圆心在(-1,0),半径为 的圆的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据圆心和半径可直接写出圆的标准方程. 【详解】 圆心为(-1,0),半径为 ， 则圆的方程为 故选：A 【点睛】 本题考查圆的标准方程的求解，属于简单题. 3．在空间直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】点（x，y，z）关于 z 轴对称点的坐标只须将横坐标、纵坐标变成原来的相反数， 竖坐标不变即可． 【详解】 ∵在空间直角坐标系中， 点（3,4,5）关于 z 轴的对称点的坐标为：（﹣3，﹣4，5）， 故选：A． 【点睛】 本题考查空间直角坐标系中点的坐标特征,属于基础题． 4．直线 的倾斜角为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据直线方程求出斜率，利用倾斜角的正切值为斜率，可得结果． 【详解】 设直线 的倾斜角为 θ，θ∈[0，π）． 直线化为 y＝ ，斜率 k=tanθ=- ， ∴θ=150°， 故选：D． 【点睛】 本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题． 5．已知扇形的周长为 12cm，圆心角为 4rad，则此扇形的弧长为 （ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【解析】设扇形所在圆的半径为 ，得到 ，解得 ，即可 得到扇形的弧长，得到答案. 【详解】 由题意，设扇形所在圆的半径为 ，则扇形的弧长为 ， 所以 ，解得 ，所以扇形的弧长为 ， 故选 C. 【点睛】 本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式，合理准确计 算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6．式子 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得： 本题选择 B 选项. 7．若 为圆 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由垂径定理，得 AB 中点与圆心 C 的连线与 AB 垂直，可得 AB 斜率 k＝1，结 合直线方程的点斜式列式，即可得直线 AB 的方程. 【详解】 ∵AB 是圆（x﹣1）2+y2＝25 的弦，圆心为 C（1，0） AB 的中点 P（2，﹣1）满足 AB⊥CP 因此，AB 的斜率 k＝ , 可得直线 AB 的方程是 y+1＝x﹣2，化简得 x﹣y﹣3＝0 故选：D． 【点睛】 本题考查圆的弦的性质，考查直线方程的求法，属于基础题. 8．方程 表示圆，则 的范围是( 　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用方程表示圆的条件 ,建立不等式可得 m 的范围. 【详解】 若方程 表示圆， 则 ， 解得 或 ， 故选：D 【点睛】 对于 ，有 . 只有当 时，方程才表示为圆，圆心为 ，半径为 . 9．已知 ， ，且 都是锐角，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据角 都是锐角可求出 cosα 和 sinβ，然后利用余弦的两角和公式计算 ，即可得到答案. 【详解】 ， 是锐角，则 cosα= , 且 是锐角，则 sinβ= ， sin2β=2sinβ = , cos2β=1-2 = , 则 又 则 ， 故选：B 【点睛】 解答给值求角问题的一般思路：①求角的某一个三角函数值，此时要根据角的范围合理 地选择一种三角函数；②确定角的范围，此时注意范围越精确越好；③根据角的范围写 出所求的角． 10．在 中，若 ，则 的形状是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】B 【解析】先由对数运算得到 ，再利用正弦定理和余弦定理化简即可得 到答案. 【详解】 若 ，有 ，即 ， 由正弦定理得 a=2ccosB,再由余弦定理得 a=2c× , 化简可得 c=b，则三角形为等腰三角形， 故选：B 【点睛】 本题考查利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，考查对数的运算性质，属于基础 题. 11．一束光线从点 出发，经 轴反射到圆 上的最短路径 的长度是( ) A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【解析】求出点A 关于 y 轴的对称点 A′，则要求的最短路径的长为 A′C﹣r（圆的半 径），计算可得结果． 【详解】 由题意可得圆心 C（2，3），半径为 r＝1， 点 A 关于 y 轴的对称点 A′（﹣4，﹣3）， 求得 A′C＝ ， 则要求的最短路径的长为 A′C﹣r＝ ﹣1， 故选：D． 【点睛】 本题考查对称的性质和两点间距离公式的应用，体现了转化、数形结合的思想，属于基 础题． 12．曲线 与直线 有两个不同的交点时，实数 的取值范围 是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】写出直线过的定点，化简圆的方程，利用数形结合作出图象即可得到答案. 【详解】 由 知直线过定点 A（4，5）， 将 两边平方得（x﹣1）2+y2＝9 ， 则曲线是以（1,0）为圆心，3 为半径，且位于直线 x＝1 右侧的半圆． 当直线过点（1，-3）时，直线与曲线有两个不同的交点， 此时 k＝ ， 当直线的斜率不存在时，直线与曲线相切，此时直线与圆有一个交点， 则直线夹在两条直线之间时满足题意，如图所示： 因此 ， 故选：C． 【点睛】 本题考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生的计 算能力． 二、填空题 13．已知直线 与直线 互相平行，则 =___________。 【答案】 【解析】利用直线平行的充要条件即可得出． 【详解】 直线 的斜率为-a, 的斜率为 2， 若两直线平行，则斜率相等即-a=2，解得 a＝﹣2， 故答案为：-2 【点睛】 本题考查直线平行的充要条件的应用，属于基础题． 14．已知两圆 , ，当圆 与圆 有且仅有 两条公切线时，则 r 的取值范围___________________. 【答案】 【解析】根据圆 与圆 有且仅有两条公切线，得到两圆相交，根据 ，即可求解. 【详解】 由题意，两圆 和 ， 可得圆心坐标分别为 ，半径分别为 ， 因为圆 与圆 有且仅有两条公切线，所以两圆相交， 则 ，即 ，解得 . 【点睛】 本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中根据因为圆 与圆 有且仅 有两条公切线，得到两圆相交，列出相应的不等式求解是解答的关键，着重考查了 推理与运算能力，属于基础题. 15．已知方程 ，则 的最小值是________ 。 【答案】 【解析】 的几何意义是点（0,0）与圆上的点的距离的平方，先求得（0,0）与圆 心的距离，从而得到与圆上的点的距离的最值. 【详解】 的几何意义是点（0,0）与圆 上的点的距离的平方， 点（0,0）到圆心（-1,0）的距离为 1， 则点（0.0）到圆上点的距离的最小值为 1-r=1- = ，（r 为圆的半径） 故 的最小值为 故答案为： 【点睛】 本题考查圆外点与圆上点的距离的最值问题，利用圆外点与圆心的距离加减圆半径即可 得到最大和最小值. 16．若圆 上恰有 2 个不同的点到直线 的距离为 1，则 的取值范围为_______ 【答案】 或 【解析】若圆上恰有2 个点到直线的距离等于 1，则圆心到直线的距离 d 满足 1＜d＜3， 代入点到直线的距离公式，可得答案． 【详解】 由圆 C 的方程 ，可得圆心 C 为（0，1），半径为 2, 若圆上恰有 2 个点到直线的距离等于 1， 则圆心 C 到直线 的距离 d 满足 1＜d＜3， 由点到直线的距离公式可得 ， 解得 或 ， 故答案为： 或 ． 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，其中分析出圆心到直线的距 离的范围是解答此题的关键． 三、解答题 17．已知角 的始边为 轴的非负半轴，终边经过点 ，且 . （1）求实数 的值； （2）若 ，求 的值. 【答案】（1）3 或 ；（2） 【解析】（1）根据三角函数的定义，列出关于 的方程，即可求解. （2）由（1）得 ，求得 ，再由诱导公式化简，即可求解. 【详解】 （1）根据三角函数的定义可得 ，解得 或 . （2）因为 ，所以 ，所以 ， 又由诱导公式，可得 . 【点睛】 本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式的化简求值，其中解答中熟 记三角函数的定义，以及合理应用三角函数的诱导公式化简、运算是解答的关键，着重 考查了运算与求解能力，属于基础题. 18．已知 ， (1)求 ； (2)求 ； (3)求 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【解析】利用正弦的二倍角公式，余弦和正切的两角和公式计算即可得到答案. 【详解】 （1） ； （2） ； （3） 【点睛】 本题考查正弦的二倍角公式，余弦和正切的两角和公式的应用，属于简单题. 19．已知圆 经过点 , ，圆心在直线 上 （1）求圆 的标准方程； （2）若直线 与圆 C 相切且与 轴截距相等，求直线 的方程. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由已知线段 AB 为圆 C 的弦，圆心 C 定在弦 AB 的垂直平分线上，写出线 段 AB 垂直平分线方程，与直线 联立，即得圆心 C 坐标，计算|AC|长，即为圆 C 半径，从而可得圆的标准方程；（2）分两种情况考虑：当与坐标轴的截距为 0 时，设 切线方程为 y＝kx；当与坐标轴的截距不为 0 时，设切线方程为 x+y＝b，利用圆心到直 线的距离等于半径，可得切线方程． 【详解】 （1）由题意可知 AB 为圆 C 的弦，其垂直平分线过圆心 C， ∵A（0，0）和 B（7，7），∴kAB＝1，线段 AB 垂直平分线的斜率为-1， 又线段 AB 的中点坐标为（ ， ）， ∴线段 AB 的垂直平分线的方程为：y﹣ ＝-（x- ），即 x+y-7＝0， 又圆心在直线 4x-3y＝0 上，联立得： ， 解得： ，即圆心 C 坐标为（3，4）， ∴圆 C 的半径|AC|＝5， 则圆 C 的方程为：（x-3）2+（y﹣4）2＝25； （2）若直线过原点，设切线方程为 y＝kx，即 kx﹣y＝0， 圆心 C 到切线的距离 d＝ ， 整理得：16k2+24k+9＝0，解得：k＝ ， 所求切线的方程为：y＝ ； 若截距不为 0 时，设圆的切线方程为：x+y＝b， 圆心 C 到切线的距离 d＝ ＝r＝5，解得 b＝7±5 ， 所求切线方程为 ， 综上，所有满足题意的切线方程有 3 条，分别为 . 【点睛】 本题考查圆的标准方程和直线方程的求法，考查圆的切线方程的求法，属于基础题. 20．角 是 的内角，且 ， ， （1）求角 的大小； （2）若 ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）在三角形中，可得 ，再利用两角和的正弦公式化简得出 ，进而得到 ，即可求解； （2）由（1）可知 ，利用诱导公式，化简得 ，再由余弦的倍角公式， 即可求解. 【详解】 （1）由题意，角 是 的内角，所以 ，所以 ， 则 ， 因为 ，所以 整理得 ，所以 ,即 又因为 ，所以 . （2）由（1）可知 ，所以 ， 又由余弦的倍角公式， 可得 . 【点睛】 本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及余弦的倍角公式的应用，其中解答中熟记 三角恒等变换的公式，合理利用公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算 能力，属于基础题. 21．已知圆 和直线 l: (1)证明：不论 取何值时，直线和圆总有两个不同的交点； (2)求当 取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求最短的弦长. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 1 根据直线 l 方程可知直线 l 恒过定点 ，求出 距离小于半径，知定点 M 在圆内，即可得直线 l 与圆 C 必相交； 2 当直线 直线 MC 时，直线 l 被圆 C 截得的 弦长最短，求直线 MC 的斜率，得直线 l 斜率，利用垂径定理，勾股定理求出最短弦长 即可． 【详解】 1 证明：根据题意得：直线 即 恒过点 ， 圆心 ，半径为 4， ， 在圆内，则直线 l 与圆 C 必相交； 2 当直线 直线 MC 时，直线 l 被圆 C 截得的弦长最短， ，则直线 MC 的方程为： ，即 ， 直线 l 斜率为 2，直线 l 过点 M， 直线 l 方程为 ，即 ； 根据题意得：最短弦长为 ． 【点睛】 本题考查直线与圆相交的性质，考查直线恒过定点问题，考查直线和圆相交得到的弦长 问题，属于基础题. 22．已知圆 ： ，直线 ： ． （1）若直线 被圆 截得的弦长为 ，求实数 的值； （2）当 时，由直线 上的动点 引圆 的两条切线，若切点分别为 ， ，则在 直线 上是否存在一个定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理 由． 【答案】(1) ；(2) 在直线 上存在一个定点，定点坐标为 . 【解析】试题分析：(1)根据直线与圆相交，利用弦长公式即可；(2)根据直线与圆相切 的条件，列出方程进行求解判断. 试题解析：(1)圆 的方程可化为 ， 故圆心为 ，半径 . 则圆心 到直线 的距离为 . 又弦长为 ，则 ， 即 ，解得 . C 2 2 6 8 5 0x y x y t+ − − − = l 3 15 0x y+ + = l C 2 10 t 1t = l P C A B AB 15t = AB (2,1) C 2 2( 3) ( 4) 25 5x y t− + − = + (3,4)C 25 5r t= + C l 2 2 | 3 12 15| 3 10 1 3 d + += = + 2 10 2 2(3 10) ( 10) 10r = + = 25 5 10t+ = 15t = (2)当 时，圆 的方程为 ① 则圆心为 ，半径 ，圆 与直线 相离. 假设在直线 上存在一个定点满足条件，设动点 ， 由已知得 PA⊥AC，PB⊥BC， 则 在以 为直径的圆 即 ②上， ①—②得，直线 的方程为 ③ 又点 在直线 上，则 ，即 ，代入③式 得 ， 即直线 的方程为 因为上式对任意 都成立，故 ，得 . 故在直线 上存在一个定点，定点坐标为 【考点】直线与圆的位置关系. 1t = C 2 2 6 8 5 0x y x y+ − − − = (3,4)C 30 3 10r = < C l AB ( , )P m n ,A B CP ( 3)( ) ( 4)( ) 0x x m y y n− − + − − = 2 2 (3 ) (4 ) 3 4 0x y m x n y m n+ − + − + + + = AB ( 3) ( 4) 3 4 5 0m x n y m n− + − − − − = ( , )P m n l 3 15 0m n+ + = 3 15m n= − − ( 3 18) ( 4) 9 45 4 5 0n x n y n n− − + − + + − − = AB 18 4 40 (3 5) 0x y n x y+ − + − − = n 3 5 0 18 4 40 0 x y x y − − =  + − = 2 1 x y =  = AB (2,1)