广东省罗定第二中学2020届高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含解析

广东省罗定第二中学2020届高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含解析

‎2019—2020学年高三上数学（文科）期末教学质量检测卷（word版有答案）‎ 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若，为虚数单位，且，则 A． B． C． D．‎ ‎2．设集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎3．已知函数，若，则实数 A． B． C．2 D．9 ‎ ‎4．命题：数列既是等差数列又是等比数列，命题：数列是常数列，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎5．函数 的图象如图所示，则下列结论成立的是 A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎6．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．‎ 若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩小于139分钟的运动员人数为 A．4 B．2 C．5 D．3‎ ‎7．若，则 A． B． C． D．‎ ‎8．设实数满足，则的最大值和最小值分别为 A．， B．， C．， D．，‎ ‎9．在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为 A． B． C．5 D．10‎ ‎10．如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，‎ 则下列结论中不正确的是 A． B． ‎ C．平面平面 D．‎ ‎11．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知的内角，，所对的边分别是，且，，若边上的中线，则的外接圆面积为 A． B． C． D． ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．曲线在点处的切线方程为_________________．‎ ‎14．已知函数()的一条对称轴为，则的值是 ． ‎ ‎15．数列满足，，则=_________．‎ ‎16．已知抛物线上有三点，，，直线，，的斜率分别为，，，‎ 则的重心坐标为_________.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．(本小题满分12分)‎ 已知等差数列满足，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设等比数列满足，．若，求的值.‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ ‎ 如图，四棱锥中，⊥底面，‎ ‎，，，‎ 为线段上一点，，为的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求四面体的体积．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 某地区2020年清明节前后3天每天下雨的概率为，通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率：用随机数，且表示是否下雨：当时表示该地区下雨，当时表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下：‎ ‎ 332 714 340 945 593 468 491 272 073 445‎ ‎992 772 951 431 169 332 435 027 898 719‎ ‎（1）求出的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；‎ ‎（2）从2011年开始到2019年该地区清明节当天降雨量（单位：）如下表：（其中降雨量为0表示没有下雨）.‎ 时间 ‎2011年 ‎2012年 ‎2013年 ‎2014年 ‎2015年 ‎2016年 ‎2017年 ‎2018年 ‎2019年 年份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 降雨量 ‎29‎ ‎28‎ ‎0‎ ‎27‎ ‎25‎ ‎23‎ ‎0‎ ‎22‎ ‎21‎ 经研究表明：从2011年开始至2020年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量与年份成线性回归，求回归直线，并计算如果该地区2020年（）清明节有降雨的话，降雨量为多少？（精确到）‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数（）.‎ （1） 当a>0时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若，，求证：当时，.‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点.‎ ‎（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； （ii）当最小时，求点T的坐标．‎ 请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．(本小题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程 已知动点，都在曲线： 上，且对应参数值分别为与（），点为的中点.‎ ‎（1）求点的轨迹的参数方程（用作参数）；‎ ‎（2）将点到坐标原点的距离表示为的函数，并判断点的轨迹是否过坐标原点.‎ ‎23．(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲 ‎ 设函数=.‎ ‎（1）证明：2； （2）若，求实数的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A C A C B A B D D B A 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．； 14．－； 15．； 16．．‎ ‎1．因，根据复数相等的条件可知，。‎ ‎2．∵，，∴．‎ ‎3．∵，∴．于是，‎ ‎4．显然只能是非零常数列才是等比数列，故必要性不成立． ‎ ‎5．∵的图象与轴交于，且点的纵坐标为正，∴，故，又函数图象间断的横坐标为正，∴，故．‎ ‎6．第一组，第二组，‎ 第三组，第四组，‎ 第五组，第六组，‎ 第七组，故成绩小于139分钟恰好有2组，故有2人．‎ ‎7．分子分母同除得：∴，‎ ‎8．如图先画出不等式表示的平面区域，易知当，时，取得最大值2，当时，取得最小值－2．‎ ‎9．因为，所以，‎ 所以平行四边形ABCD是矩形，所以面积为. ‎ ‎10．选项A、C正确，∵平面，而在平面内，所以．因为为正方形，所以，而与相交，所以平面，所以，平面平面；选项B正确，因为， ，、相交于点，所以平面，所以．‎ ‎11．双曲线的渐近线为 ‎，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得，即，‎ 又∵，∴，将（－2，－1）代入得，‎ ‎∴，即．‎ 12． 由可得，‎ 在中，①‎ 在中，②‎ 由①②及可得③‎ 在中，，即④‎ 由③④可得，所以外接圆，即，故所求圆的面积为． ‎ ‎13．∵，∴切线斜率为4，则切线方程为：。‎ ‎14. 由题意可得，所以，又，‎ 得．‎ ‎15．将代入，可求得；再将代入，可求得；再将代入得；由此可知数列是一个周期数列，且周期为3，所以．‎ ‎16．设，，，则，得 ，同理，，故有，且，，，，，，则的重心 为。‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．解： （1）设等差数列的公差为．因为，所以．…………2分 又因为，所以，故． ………………4分 所以． …………6分 ‎（2）设等比数列的公比为．因为，，‎ 所以，．所以． …………9分 由得． …………11分 所以的值为． …………12分 ‎18．解：（1）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，. …………2分 又，故平行且等于，四边形为平行四边形，…………4分 于是.因为平面，平面，‎ 所以平面. …………6分 ‎（2）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为． …………8分 取的中点，连结.由得，. ‎ 由得到的距离为， ……10分 故.…………11分 所以四面体的体积 ……12分 ‎19．解：（1）依题意可知：， …………2分 ‎ 当时表示该地区下雨，当 时表示该地区不下雨，故在随机数表中可得：表示3天中恰有2天下雨的是：714, 945, 593, 491, 272, 073, 951, 027，共有8个，故3天中恰有2天下雨的概率为：。所以所求的概率为。 …………6分 ‎（2），，‎ ‎，，故，…………8分 ‎ …………9分 故回归方程为：。 …………10分 当时，。 …………11分 故回归方程为，如果2020年该地区清明节有降雨的话，降雨量也为。 …………12分 ‎20．解：(1) 的定义域为， …………2分 ‎ 当时，，，单调递减， …………4分 ‎，，单调递增，‎ 综上所述，时，在上单调递减，在上单调递增 ………6分 ‎（2），故，时，， …………8分 令，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，‎ 故在上的最小值为，，………10分 即，，，‎ ‎。 …………12分 ‎21．解：（1）依条件，‎ 所以椭圆C的标准方程为 …………3分 ‎（2）设，，，又设中点为 ‎（i）因为，所以直线的方程为： …………4分 ‎， …………5分 所以， …………6分 于是，‎ 所以。 ………………7分 因为，所以，，三点共线 即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点） …………8分 ‎（ii）， ……9分 所以，令（）‎ 则（当且仅当时取“”） ……11分 所以当最小时，即或，‎ 此时点T的坐标为或。 ……12分 ‎22．(本小题满分10分)‎ 解：（1）由题意有 …………2分 因此， …………4分 的轨迹的参数方程为（） …………5分 ‎（2）点到坐标原点的距离：‎ ‎ …………6分 ‎ …………7分 ‎（） …………9分 当时，，故的轨迹过坐标原点． …………10分 ‎23．(本小题满分10分)‎ 解（1）由，有．………4分 ‎ 所以≥2. ………5分 ‎（2）. ‎ 当时＞3时，=，由＜5得3＜＜． …………7分 当0＜≤3时，=，由＜5得＜≤3． …………9分 ‎ 综上，的取值范围是（，）． …………10分