内蒙古集宁一中2019-2020学年高二下学期月考数学（文）试题

内蒙古集宁一中2019-2020学年高二下学期月考数学（文）试题

集宁一中2019-2020学年度第二学期第二次月考 高二年级文科数学试题 一、单选题（每小题5分）‎ ‎1.已知集合，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．‎ ‎【详解】∵集合{0＜x≤1}，‎ B＝{x|y＝lg（2x﹣1）}＝{x|x}，‎ ‎∴A∩B＝{x|}＝（]．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2.若复数满足（为虚数单位），则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 易得，然后分子分母同时乘以，然后利用复数形式的乘除运算法则计算即可得解.‎ ‎【详解】由，可得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数形式的乘除运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若为真命题，则为真命题 B. “”是“”充要条件 C. 命题“，则或”的逆否命题为“若或，则”‎ D. 命题：，使得，则：，使得 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据且、或命题真假性判断A选项真假，根据充要条件知识判断B选项真假，根据逆否命题的概念判断C选项真假，根据特称命题的否定是全称命题判断D选项真假.‎ ‎【详解】对于A选项，当真时，可能一真一假，故可能是假命题，故A选项为假命题.对于B选项，根据基本不等式和充要条件的知识可知，B选项为真命题.对于C选项，原命题的逆否命题为“若且，则”，故C选项为假命题.对于D选项，原命题为特称命题，其否定是全称命题，要注意否定结论，即：，使得.综上所述，本小题选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查还有简单逻辑连接词真假性，考查充要条件，考查逆否命题，考查特称命题的否定是全称命题等知识，属于基础题.‎ ‎4.在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）‎ A. －1 B. ‎0 ‎C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1.‎ ‎【详解】由题设知，所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线上，‎ ‎∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D.‎ 根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.‎ ‎5.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数的运算性质，结合不等式性质可证明，从而比较大小；根据对数性质可比较与大小，即可得解.‎ ‎【详解】由对数函数性质可知，，‎ 而由 因为，‎ 所以，‎ 因而，即 所以 则，即；‎ 而，‎ 所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了对数函数图像与性质的应用，由不等式证明大小关系，对数的运算与化简，属于中档题.‎ ‎6.若函数零点所在的区间为,则k=( )‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合零点存在性定理和函数的单调性，求得的值.‎ ‎【详解】∵且单调递增,∴的零点所在的区间为（2,3）,∴.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的运用，考查函数的单调性，属于基础题.‎ ‎7.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：‎ 父亲身高x（cm） ‎ ‎174 ‎ ‎176 ‎ ‎176 ‎ ‎176 ‎ ‎178 ‎ 儿子身高y（cm） ‎ ‎175 ‎ ‎175 ‎ ‎176 ‎ ‎177 ‎ ‎177 ‎ 则y对x的线性回归方程为 A. y = x-1 B. y = x+‎1 ‎C. y =88+ D. y = 176‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由已知可得中心点为，‎ 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+成立，故选C ‎8.如果复数满足，那么的最小值是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 直接利用复数模的几何意义求出z的轨迹．然后利用点到直线的距离公式求解即可．‎ ‎【详解】：∵|z＋i|＋|z－i|＝2 ∴点Z到点A（0，-1）与到点B（0，1）的距离之和为2． ∴点Z的轨迹为线段AB． 而|z＋1＋i|表示为点Z到点（-1，-1）的距离． 数形结合，得最小距离为1 故选A．‎ ‎【点睛】本题只要弄清楚复数模的几何意义，就能够得到解答．‎ ‎9.设样本数据的均值和方差分别为1和4，若为非零常数，，则的均值和方差分别为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为样本数据的平均数是,所以的平均数是；根据（为非零常数，），以及数据的方差为可知数据的方差为，综上故选A.‎ 考点：样本数据的方差和平均数．‎ ‎10.已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）‎ A. 50 B. ‎2 ‎C. 0 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用是定义域为的奇函数可得：且，结合可得：函数的周期为；再利用赋值法可求得：，，，问题得解.‎ ‎【详解】因为是定义域为的奇函数，‎ 所以且 又 所以 所以 所以函数的周期为， ‎ 在中，令，可得：‎ 在中，令，可得：‎ 在中，令，可得：‎ 所以 故选C ‎【点睛】本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．‎ ‎11.若函数（且）在上为减函数，则函数的图象可以是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数在上为减函数，可知 ，判断函数的定义域和单调性即可得解 ‎【详解】由函数在上为减函数，可知 ‎ 函数的定义域为或，故排除A，B 又，可知在单调递减，故排除D 故选：C ‎【点睛】本题考查了具体函数的图像判断，考查了学生综合分析，数形结合，分类讨论的能力，属于中档题.‎ ‎12.已知定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数满足，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的图象变换分析可得函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，分析可得，解可得的取值范围，即可得答案.‎ ‎【详解】将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象，‎ 由于函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称，‎ 即函数为偶函数，由，得，‎ 函数在区间上单调递增，则，得，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数的奇偶性，属于中等题.‎ 二、填空题（每小题5分）‎ ‎13.若函数在内有极小值，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，f′（0）＜0，f′（1）＞0，解不等式组求得实数b的取值范围．‎ ‎【详解】解：由题意得，函数f（x）＝x3﹣6bx+3b 的导数为 f′（x）＝3x2﹣6b 在（0，1）内有零点，且 f′（0）＜0，f′（1）＞0． 即﹣6b＜0，且 （3﹣6b）＞0．‎ ‎∴0＜b，‎ 故答案为：．‎ 点评：简单题，由二次函数的极小值点在指定区间内，求参数的取值范围，一般可利用导数求函数极值和二次函数的性质等求解．‎ ‎14.设函数．若的图像关于原点对称，则曲线在点处的切线方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由的图像关于原点对称可得，由导数的几何意义可知切线的斜率为，求得后利用点斜式即可得解.‎ ‎【详解】由题知为奇函数，可得即，则，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 切线方程为即．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用和导数几何意义的应用，属于基础题.‎ ‎15.已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是____________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数列的单调性及定义域的取值情况,即可得关于的不等式组,解不等式组即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】数列满足,且数列是单调递增数列 所以为单调递增函数 则满足,解不等式组可得 ‎ 即当时数列是单调递增数列 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了数列的单调性应用,分段函数与数列的综合应用,注意数列自变量取值为正整数这一特征,属于中档题.‎ ‎16.若函数f(x)＝ (a，b，c∈R)的部分图象如图所示，则b＝________.‎ ‎【答案】－4‎ ‎【解析】‎ 由题意得 为两根，且 ‎ 因为 所以 ‎ 点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系 三、解答题（共70分）‎ ‎17.化简.（1）‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据对数的运算法则求解即可.‎ ‎(2)根据指数运算的法则求解即可.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数与指数的基本运算,属于基础题型.‎ ‎18.设复数的共轭复数为，且，，复数对应复平面的向量，求的值和的取值范围.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：设则，由，根据复数相等的充要条件列方程求得，由复数减法运算法则以及复数的几何意义，结合辅助角公式求得，利用三角函数的有界性可得的取值范围.‎ 详解：设则，由，根据复数相等的充要条件 解得，所以.‎ 因为，所以 ‎ 即,‎ 故所求，的取值范围是.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）证明：函数在上为增函数；‎ ‎（2）用反证法证明：没有负数根．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）借助题设条件运用函数的单调性进行推证；（2）借助题设条件运用反证法推证.‎ 试题解析：‎ ‎（1）任取，，不妨设，‎ 则，，，又，所以，‎ 所以，‎ 故函数在上为增函数．‎ ‎（2）设存（）满足，‎ 则，且，所以，即，‎ 与假设矛盾，故方程没有负根．‎ 考点：函数单调性的定义及反证法等有关知识的综合运用．‎ ‎20.随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：‎ 经常使用 偶尔或不用 合计 ‎30岁及以下 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎30岁以上 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 合计 ‎130‎ ‎70‎ ‎200‎ ‎（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关？‎ ‎（Ⅱ）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.‎ ‎（1）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；‎ ‎（2）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.‎ 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关；（2）选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）计算k2，与2.027比较大小得出结论，‎ ‎（2）（i）根据分层抽样即可求出，‎ ‎（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a，b，c；偶尔或不用共享单车的2人分别为d，e，根据古典概率公式计算即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由列联表可知，.‎ 因为，‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关.‎ ‎（2）（i）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有（人），偶尔或不用共享单车的有（人）.‎ ‎（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为， ， ；偶尔或不用共享单车的2人分别为， .则从5人中选出2人的所有可能结果为， ， ， ， ， ， ， ， ， 共10种.‎ 其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为共1种，‎ 故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎21.已知在区间 上的值域为．‎ ‎(1)求实数的值；‎ ‎(2)若不等式 当上恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分类讨论二次函数的轴和区间的关系，分别讨论函数的单调性，进而得到函数的最值；（2）由已知得在上恒成立 在上恒成立，令，且，则上式恒成立，根据二次函数的性质求最值即可.‎ ‎【详解】（1）‎ 当时，在上单调递增 ‎，即，与矛盾．故舍去．‎ 当时，，即，故 此时，满足时其函数值域为．‎ 当时，在上单调递减 ‎，即，舍去．‎ 综上所述：．‎ ‎（2）由已知得在上恒成立 ‎ 在上恒成立 令，且，则上式 恒成立．记 时单调递减，‎ 故 所以的取值范围为．‎ ‎【点睛】这个题目考查了二次函数在小区间上的最值问题，一般转化为轴动区间定或者轴定区间动的问题，分类讨论函数的单调性，进而得到最值；也考查到恒成立求参的问题，一般采用变量分离的方法，转化为最值问题.‎ ‎22.‎ 美国华尔街次贷危机引起的金融风暴席卷全球，低迷的市场造成产品销售越来越难，为此某厂家举行大型的促销活动，经测算该产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用万元满足，已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每件产品的销售价格定为元.‎ ‎（Ⅰ）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数(利润=总售价-成本-促销费)；‎ ‎（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.‎ ‎【答案】（1），（）‎ ‎（2）促销费用投入1万元时，厂家的利润最大 ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)由题意可知该产品售价为元，,然后化简后可得，（）.‎ ‎(2) 显然可利用基本不等式求其最值即可.‎ ‎（1）由题意知，该产品售价为元，‎ 代入化简的，（） ‎ ‎（2）, 当且仅当时，上式取等号 所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大