2020届高考理科数学全优二轮复习训练：专题2 第1讲　三角函数与三角变换

2020届高考理科数学全优二轮复习训练：专题2 第1讲　三角函数与三角变换

专题复习检测 A卷 ‎1．(2019年江西临川模拟)已知平面直角坐标角系下，角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(4,3)，则cos＝(　　)‎ A．　 B．－ C．或－　 D． ‎【答案】B ‎【解析】因为角α的终边经过点P(4,3)，则r＝＝5，所以sin α＝，cos α＝.‎ 所以cos＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－2××＝－.故选B．‎ ‎2．(2019年湖南衡阳模拟)已知tan(π＋α)＝2，则＝(　　)‎ A．－　 B．　　‎ C．－　 D． ‎【答案】A ‎【解析】由tan(π＋α)＝2，可得tan α＝2，则＝＝＝－.故选A．‎ ‎3．(2019年新课标Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是(　　)‎ A．f(x)＝|cos 2x|　 B．f(x)＝|sin 2x|　　‎ C．f(x)＝cos|x|　 D．f(x)＝sin|x|‎ ‎【答案】A ‎【解析】f(x)＝sin|x|不是周期函数，排除D；f(x)＝cos|x|的周期为2π，排除C；f(x)＝|sin 2x|在处取得最大值，不可能在区间单调递增，排除B．故选A．‎ ‎4．(2018年山东青岛二中期中)若将函数y＝cos x－sin x的图象向左平移m(m>0)个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的最小值为(　　)‎ A．　 B．　　‎ C．　 D． ‎【答案】C ‎【解析】y＝cos x－sin x＝2cos，图象向左平移m个单位后，关于y轴对称，所以平移后函数是偶函数．四个选项中，只有平移后，所得函数为y＝2cos(x＋π)＝－2cos x，是偶函数．故选C．‎ ‎5．(2018年湖南师大附中月考)函数y＝sin，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是__________．‎ ‎【答案】和 ‎【解析】y＝sin＝－sin，由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z，故y＝sin的单调递增区间为，k∈Z.又x∈[－2π，2π]，故y＝sin，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是和.‎ ‎6．(2018年广东深圳调研)函数y＝sin2－sin2的值域是________．‎ ‎【答案】[－1,1]‎ ‎【解析】∵y＝sin2－sin2＝－＝－＝sin 2x，∴函数的值域是[－1,1]．‎ ‎7．若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】因为(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，所以1＋(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，即(tan α＋tan β)＝3(1－tan αtan β)，所以tan (α＋β)＝＝.又∵α，β为锐角，∴α＋β＝.‎ ‎8．(2019年浙江丽水模拟)已知f(x)＝2sin xcos x＋cos 2x.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．‎ ‎【解析】(1)f＝2sincos＋cos＝sin＋cos＝×＋＝.‎ ‎(2)f(x)＝2sin xcos x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.‎ 当x∈时，≤2x＋≤，‎ 则－≤sin≤1，－1≤2sin≤2，‎ 所以当x∈时，f(x)的取值范围为[－1,2]．‎ B卷 ‎9．(2019年河南郑州模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时的集合为(　　)‎ A． B． C． D． ‎【答案】B ‎【解析】由图象得T＝4×＝π，则ω＝＝2.又f＝1，则2×＋φ＝2nπ＋(n∈Z)，即φ＝2nπ－(n∈Z)，结合|φ|<可得φ＝－，所以f(x)＝sin.所以y＝f＝sin，取得最小值时有2x＋＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)．故选B．‎ ‎10．(2019年山东聊城模拟)已知sin＝，则sin＝(　　)‎ A．－　 B．　　‎ C．－　 D． ‎【答案】C ‎【解析】cos＝1－2sin2＝1－2×2＝，则sin＝cos ＝cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－.故选C．‎ ‎11．(2018年安徽皖北校级模拟)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，‎ 则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的序号)．‎ ‎①f(x)的最大值为2；‎ ‎②f(x)的图象关于点对称；‎ ‎③f(x)在区间上单调递增；‎ ‎④若实数m使得方程f(x)＝m在[0,2π]上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝.‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】f(x)＝sin x＋cos x＝2＝2sin，①正确；将x＝－代入f(x)，得f＝2sin＝1≠0，②错误；由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，∴f(x)在区间上单调递增，③正确；若实数m使得方程f(x)＝m在[0,2π]上恰好有三个实数解，结合f(x)＝2sin及y＝m的图象(如图所示)，可知必有x＝0，x＝2π，此时f(x)＝2sin＝，另一解为x＝，即x1，x2，x3满足x1＋x2＋x3＝，④正确．‎ ‎12．已知函数f(x)＝10sin cos ＋10cos2.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.‎ ‎①求函数g(x)的解析式；‎ ‎②求证：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.‎ ‎【解析】(1)∵f(x)＝10sin ·cos ＋10cos2 ‎＝5sin x＋5cos x＋5＝10sin＋5，‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期T＝2π.‎ ‎(2)①将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝10sin x＋5的图象，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到g(x)＝10sin x＋5－a的图象．‎ 又已知函数g(x)的最大值为2，‎ ‎∴10＋5－a＝2，解得a＝13.‎ ‎∴g(x)＝10sin x－8.‎ ‎②证明：要证存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0，‎ 即证存在无穷多个互不相同的正整数x0使得10sin x0－8＞0，即sin x0＞.‎ 由＜知存在0＜α0＜，使得sin α0＝.‎ 由正弦函数的性质可知当x∈(α0，π－α0)时，均有sin x＞.∵y＝sin x的周期为2π，‎ ‎∴当x∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，均有sin x＞.‎ ‎∵对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0＞＞1，∴对任意的正整数k，都存在正整数xk∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)，使得sin xk＞，即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.‎