福建省长乐市高级中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学

福建省长乐市高级中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学

数学试卷 命题内容：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程 班级 姓名 座号 成绩 ‎ 说明：1、本试卷分第I、II 两卷，考试时间：60分钟 满分：100分 ‎2、Ⅰ卷的答案用2B铅笔填涂到答题卡上；Ⅱ卷的答案用黑色签字笔填写在答题卡上。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8题，每题5分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知a，b∈R，则“a＞0＞b”是表示椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．过点（2,2）且焦点在轴上的抛物线的准线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．方程所表示的曲线是（　　）‎ A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆 ‎4．双曲线的离心率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．直线y＝x+1被椭圆x2+4y2＝8截得的弦长是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．抛物线x2＝8y的焦点到双曲线.﹣x2＝1的渐近线的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设抛物线的顶点为坐标原点，焦点F的坐标为（1，0）．若该抛物线上两点A，B的横坐标之和为5，则弦AB的长的最大值为（　　）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎8．若椭圆C：（m＞0）的一个焦点坐标为（0，），则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题 共60分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．‎ ‎9．命题p：∀x∈R，x2＞x，则￢p为　 　．‎ ‎10.椭圆的离心率为，则的值为______________ ‎ ‎11．已知F是椭圆C：的一个焦点，P为C上一点，O为坐标原点，若△POF为等边三角形，则C的离心率为　 　．‎ ‎12.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则=___________。‎ 三、解答题：本大题共2小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎13．（20分）已知命题P：函数y＝mx2﹣x+1在（2，+∞）上单调递增；命题q：椭圆＝1的焦点在x轴上．（Ⅰ）若q为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．‎ ‎14．（20分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）与双曲线的渐近线相同，且经过点（2，3）．（1）求双曲线C的方程； （2）已知双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2，倾斜角为，l与双曲线C交于A，B两点，求△F1AB的面积．‎ ‎ 高二数学参考答案 一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，每小题只有一个答案符合题意）‎ ‎1．已知a，b∈R，则“a＞0＞b”是表示椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．‎ ‎【分析】估计椭圆定义和充分条件必要条件定义进行判断 ‎【解答】解：当a＞0＞b时，不一定表示椭圆，可能是圆．‎ 当表示椭圆时，a＞0＞b成立，‎ 故“a＞0＞b”是表示椭圆”的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆定义，考查充分条件必要条件的判断推理方法 ‎2． ‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定和复合命题的真值表，以及全称性命题的真假、充分必要条件的判断，考查转化思想和判断能力，属于基础题．‎ ‎3．方程所表示的曲线是（　　）‎ A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆 ‎【考点】J3：轨迹方程；KE：曲线与方程．‎ ‎【分析】将题中的方程化简整理，得到（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，再观察x、y的取值范围，可得该方程表示一个圆．‎ ‎【解答】解：将方程化简，‎ 得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，其中0≤x≤2，0≤y≤2．‎ 因此方程表示以C（1，1）为圆心，半径r＝1的圆．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题给出关于x、y的方程，求方程表示的曲线类型．着重考查了圆的标准方程及其应用的知识，属于基础题．‎ ‎4．双曲线的离心率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先确定双曲线的几何量，再利用离心率公式，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：∵双曲线，∴a2＝2，b2＝1‎ ‎∴c2＝a2+b2＝3‎ ‎∴＝‎ 故选：C．‎ ‎5．直线y＝x+1被椭圆x2+4y2＝8截得的弦长是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】K4：椭圆的性质．‎ ‎【分析】联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解．‎ ‎【解答】解：联立，得5x2+8x﹣4＝0．‎ 设直线被椭圆所截线段的两个端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，，‎ 则|AB|＝．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查弦长公式的应用，是基础题．‎ ‎6．抛物线x2＝8y的焦点到双曲线.﹣x2＝1的渐近线的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】K8：抛物线的性质；KC：双曲线的性质．‎ ‎【分析】‎ 求得抛物线的焦点，以及双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式可得所求值．‎ ‎【解答】解：抛物线x2＝8y的焦点为（0，2），‎ 双曲线﹣x2＝1的渐近线方程为2x±y＝0，‎ 可得焦点到渐近线的距离为d＝＝，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查焦点和渐近线方程的求法，以及点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎7．设抛物线的顶点为坐标原点，焦点F的坐标为（1，0）．若该抛物线上两点A，B的横坐标之和为5，则弦AB的长的最大值为（　　）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎【考点】K8：抛物线的性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的定义，设出A、B的坐标，然后利用抛物线的性质，结合三角形的边长关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则|AF|＝x1+，|BF|＝x2+，|AB|≤|AF|+|BF|‎ ‎＝5+1+1＝7，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线的弦长的计算，根据抛物线的定义以及性质的应用是解决本题的关键．‎ ‎8．若椭圆C：（m＞0）的一个焦点坐标为（0，），则椭圆C 的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用已知条件列出关系式，转化求解椭圆的离心率即可．‎ ‎【解答】解：椭圆C：（m＞0）的一个焦点坐标为（0，），‎ 可得＝，解得m＝3，m＝﹣2（舍去），‎ 所以椭圆的离心率为：e＝＝＝．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．‎ 第II卷（非选择题 共52分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．‎ ‎9. 命题p：∀x∈R，x2＞x，则￢p为　∃x∈R，x2≤x　．‎ ‎【分析】全称命题的否定，前要否定量词，后要否定结论，由此结合已知中原命题，可得其否定形式 ‎【解答】解：根据全称命题的否定方法可得：‎ 命题“∀x∈R，x2＞x”的否定是 ‎∃x∈R，x2≤x ‎10．已知F是椭圆C：的一个焦点，P为C上一点，O为坐标原点，若△POF为等边三角形，则C的离心率为　　．‎ ‎【考点】K4：椭圆的性质．‎ ‎【分析】根据△POF为等边三角形，可得在△F1PF中，∠F1PF＝90°，在根据直角形和椭圆定义可得；‎ ‎【解答】解：连接PF1，由△POF为等边三角形可知在△F1PF中，‎ ‎∠F1PF＝90°，|PF|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|+|PF|＝（+1）c，‎ 故曲线C的离心率e＝＝﹣1．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，属中档题．‎ 三、解答题：本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎13．已知命题P：函数y＝mx2﹣x+1在（2，+∞）上单调递增；命题q：椭圆＝1的焦点在x轴上．‎ ‎（Ⅰ）若q为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】2K：命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据命题为真命题，结合椭圆的性质进行求解即可．‎ ‎（Ⅱ）根据复合命题真假关系，得到p，q一个为真命题，一个为假命题，然后进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）若q是真命题，则椭圆的标准方程为+＝1，‎ 则满足，即，得＜m＜，‎ ‎（Ⅱ）若p为真命题，则m＝0时，y＝﹣x+1在（2，+∞）上单调递减，不满足条件．‎ 若m≠0，则，得，即m≥，‎ 若p∧q为假，p∨q为真，则p，q一个为真命题，一个为假命题，‎ 若p真q假，则，得m≥，‎ 若p假q真，则，得＜m＜，‎ 综上m≥或＜m＜．‎ ‎【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，结合条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎14．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）与双曲线的渐近线相同，且经过点（2，3）．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）已知双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2，倾斜角为，l与双曲线C交于A，B两点，求△F1AB的面积．‎ ‎【考点】KC：双曲线的性质．‎ ‎【分析】（1）设所求双曲线C的方程为﹣＝λ（λ≠0，λ≠1），代入点（2，3），计算可得所求方程；‎ ‎（2）求得两焦点的坐标，设出直线AB的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，三角形的面积公式，计算可得所求值．‎ ‎【解答】解：（1）设所求双曲线C的方程为﹣＝λ（λ≠0，λ≠1），‎ 代入点（2，3）得﹣＝λ，‎ 即λ＝﹣，所以双曲线C方程为﹣＝﹣，即x2﹣＝1；‎ ‎（2）F1（﹣2，0），F2（2，0）．直线AB的方程为y＝2﹣x．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线y＝2﹣x和椭圆方程3x2﹣y2＝3，‎ 得2x2+4x﹣7＝0，满足△＝16+56＞0，‎ x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣，‎ 由弦长公式得|AB|＝•＝6，‎ 点F1（﹣2，0）到直线AB：x+y﹣2＝0的距离d＝＝2，‎ 所以S＝|AB|d＝＝6．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查化简运算能力，属于基础题．‎