甘肃省武威市第一中学2020届高三上学期10月阶段性考试数学（文）试题 含解析

甘肃省武威市第一中学2020届高三上学期10月阶段性考试数学（文）试题 含解析

武威一中2019年秋季学期阶段性考试 高三年级数学（文科）试卷 命题人：张志斌 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.设集合，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，选A.‎ ‎【考点】集合的运算 ‎【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎2.已知，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ , 时，的必要不充分条件，故选B.‎ ‎3.已知，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数的诱导公式，化简、代入计算，即可求解 ‎【详解】由题意，利用诱导公式求得，故选D。‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简求值问题，其中解答中准确利用三角函数的诱导公式，合理代入运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。‎ ‎4.已知向量，则( )‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的坐标运算，可得，再利用向量模的运算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，向量，所以，‎ 所以，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算和向量的模的运算，其中解答中熟记向量的坐标运算和向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎5.已知幂函数为偶函数，则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 1或2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数为幂函数可知，再由偶函数可验证m的取值即可.‎ ‎【详解】因为为幂函数，‎ 所以，解得，‎ 当时，，函数不是偶函数，舍去,‎ 当时，，函数是偶函数，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了幂函数，偶函数，属于中档题.‎ ‎6.已知命题α：如果x＜3，那么x＜5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3。关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是(　　)‎ ‎①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题。‎ ‎②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题。‎ ‎③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题。‎ A. ①③ B. ②‎ C. ②③ D. ①②③‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确，选A.‎ 考点：四种命题.‎ ‎7.已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 当命题为真时，由且可得，故命题为假时，，故选C．‎ ‎8.已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①对任意的，都有恒成立；②；③是偶函数．若，，，则，，的大小关系正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给三个条件可知函数周期，对称轴，单调性，利用性质即可比较大小.‎ ‎【详解】因为对任意的，都有恒成立，所以函数在上是增函数，由可得，即周期，‎ 因为是偶函数，所以，即函数对称轴为 所以，，，‎ 根据函数在上是增函数可知，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的单调性，周期性，对称性，属于中档题.‎ ‎9.若向量与向量共线，则（ ）‎ A. 0 B. ‎4 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为与向量共线，所以，解得，，故选D.‎ ‎10.已知函数是奇函数，则函数的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数的定义可求出，利用指数函数性质及不等式性质可求出函数值域.‎ ‎【详解】因为函数是奇函数，‎ 所以 即，解得，‎ 所以，‎ 由可知，所以，‎ 故的值域为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了奇函数的定义，指数函数的性质，不等式的性质，属于中档题.‎ ‎11.已知是定义域为的奇函数，当时，．若函数有2个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由转化为=，有两个交点，对在求导判断其单调性和求极值，且为奇函数即可得答案.‎ ‎【详解】当时，，对求导得 的根为1，所以在上递减，在上递增，且= .又因为为奇函数，所以在上递减，在上递增，且=，如图所示，由转化为=，有两个交点，所以或,即或 .‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了函数的零点转化为两函数的交点问题，也考查了求导判断函数的单调性与极值，属于中档题.‎ ‎12.已知函数和图象的对称轴完全相同，若，则y＝g（x）的值域是（　　）‎ A. ［－1，2］ B. ［－1，3］ C. ［,0，2］ D. ［0，,3］‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个函数的对称轴一样得周期相同，对称轴相同依次可得ω和φ，从而得g（x）＝2cos（2x）+1，进而利用定义域求解值域即可.‎ ‎【详解】∵函数和图象的对称轴完全相同，∴ω＝2，‎ ‎∴函数f（x）＝3sin（2x），则对称轴2xkπ，k∈Z，即x，k∈Z，‎ 由g（x）＝2cos（2x+φ）+1，则2x+φ＝kπ，k∈Z，即x，k∈Z，‎ ‎∴，∴φ，∴g（x）＝2cos（2x）+1，‎ ‎∵x∈[0，]，∴2x∈[，]，∴cos（2x）∈[﹣1，]‎ ‎∴g（x）∈[﹣1，2]，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，涉及周期性和对称性，研究三角函数的对称性用到了整体换元的思想，属于中档题.‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知，且，，则____________‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，联立可求，根据分段函数先求，再求即可.‎ ‎【详解】由，可得，解得或（舍去），，‎ 所以，‎ ‎.‎ 点睛】本题主要考查了分段函数求值，属于中档题.‎ ‎14.已知为等差数列，，，的前项和为，则使得达到最大值时是__________．‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设等差数列的公差为，根据，，求出首项和公差，由数列的单调性，即可求出结果.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，由，作差得，‎ 所以，所以数列单调递减，又，解得，所以，由得，，即，所以，，所以当时，取最大值.‎ 故答案为20‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列性质，确定出等差数列的公差，和使的最大的，即可求解，属于常考题型.‎ ‎15.已知直线是函数的切线，则实数______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设切点为，则，∴，又∵，∴，‎ ‎∴.‎ 考点：利用导数研究函数在某点上的切线方程.‎ ‎16.在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD中点，若=λ+μ，则λ+μ=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据平面向量定理，表示出，然后把转化到，利用，得到用和表示的式子，得到和的值.‎ ‎【详解】在中，为中点，所以，‎ 为中点，所以 所以 即，‎ 所以 而 所以 故 ‎【点睛】本题考查向量平面定理的的表示，向量的加法、减法，向量共线的表示，属于中档题.‎ 三、解答题（共6小题70分，写出必要的解答或证明过程。）‎ ‎17.已知等差数列的前项和为，，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) . (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列的通项及前n项和列出方程组，求出首项公差即可（2）利用裂项相消法求出前项和.‎ ‎【详解】（1）设数列的公差为，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，‎ 解得，.‎ ‎∴.‎ ‎（2）由题意知，，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前项和公式，裂项求和，属于中档题.‎ ‎18.已知在中，分别为角A,B,C的对应边，点D为BC边的中点，的面积为.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，求。‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先由的面积为且D为BC的中点，得到的面积；再由三角形的面积公式和正弦定理即可求出结果；‎ ‎(2)根据(1)的结果和，可求出和；再由余弦定理，即可求出结果.‎ ‎【详解】(1)由的面积为且D为BC的中点可知:的面积为,‎ 由三角形的面积公式可知:,‎ 由正弦定理可得:,‎ 所以,‎ ‎ (2) ,又因为为中点，所以,即,‎ 在中由正弦定理可得,所以 由（1）可知所以,‎ ‎ ‎ 在直角中,所以.‎ ‎,‎ 在中用余弦定理，可得.‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可求解，属于常考题型.‎ ‎19.函数在它的某一个周期内的单调减区间是．将的图象先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为 ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）最大值为1，最小值为 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据已知及周期公式求得的值，然后求出的值，从而可求出的解析式，进而得到确定的单调性，然后求出最值 解析：（1）,又 ‎， ‎ ‎ ‎ ‎（2） g(x)在为增函数，在上为减函数，所以，,故函数在上的最大值和最小值分别为1和- ‎ ‎20.设函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由，可得，，令，利用导数可得 的减区间为，增区间为，求得函数的极值与最值，从而可得结果.‎ ‎【详解】（1）因为，所以函数的定义域为，‎ 当时，，‎ 令，得或（舍去）.‎ 当时，，当时，，‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）令，，，‎ 令，其中，‎ 则，令，得，‎ 当时，，当时，，‎ 的单调递减区间为，单调递增区间为，‎ ‎， ‎ 又，，且，‎ 由于函数在上有两个零点，‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值以及利用导数研究函数的零点，属于中档题. 导数问题有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.‎ ‎21.已知函数，（且为常数）.‎ ‎（1）当时，求函数的最小值；‎ ‎（2）若对任意都有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，先求得函数的定义域，然后对函数求导，由此求得函数的单调区间，并求得最小值.（2）构造函数，将原不等式恒成立问题，转化为 来求解.利用的导数，研究函数的单调性，求得的最小值，令这个最小大于或等于零，求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）的定义域为，‎ 当时，的导数.‎ 令，解得；令，解得.‎ 从而在单调递减，在单调递增.‎ 所以，当时，取得最小值.‎ ‎（2）令 那么，对于任意都有，只须即可，‎ ‎，且 记 由已知，所以对于任意，都有恒成立，‎ 又因为，所以在上单调递增，‎ 所以，，‎ 由，解得，‎ 所以，当时，对任意都有成立.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数的单调区间以及最值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.解决恒成立问题，可以采用分离常数法，或者构造函数法，本题中构造出函数，将问题转化为的最小值为非负数来求解.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，‎ ‎），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的坐标为，直线与曲线相交于，两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）将直线的参数方程代入到椭圆方程中，将韦达定理和参数的几何意义相结合可得最后结果．‎ ‎【详解】（1）曲线，即，‎ ‎∵，，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为，即.‎ ‎（2）将代入并整理得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，属于中档题.‎