专题08+含参数的导数问题解题规律-名师揭秘2019年高考数学（理）命题热点全覆盖（教师版）

专题08+含参数的导数问题解题规律-名师揭秘2019年高考数学（理）命题热点全覆盖（教师版）

专题08 含参数的导数问题解题规律 一．知识点 基本初等函数的导数公式 ‎ (1)常用函数的导数 ‎①(C)′＝________(C为常数); ②(x)′＝________；‎ ‎③(x2)′＝________； ④′＝________；‎ ‎⑤()′＝________．‎ ‎(2)初等函数的导数公式 ‎①(xn)′＝________； ②(sin x)′＝__________；‎ ‎③(cos x)′＝________； ④(ex)′＝________；‎ ‎⑤(ax)′＝___________； ⑥(ln x)′＝________；‎ ‎⑦(logax)′＝__________．‎ ‎5．导数的运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝________________________；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝_________________________；‎ ‎(3)′＝____________________________．‎ ‎6．复合函数的导数 ‎(1)对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这两个函数(函数y＝f(u)和u＝g(x))的复合函数为y＝f(g(x))． ‎ ‎（解法二）由得 ‎ 设，则 ，由于单调递减且，所以时单调递增， 时单调递减 方程在上有且只有一个解等价于。故．‎ 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ ‎（二）构造函数 例2．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当,为两个不相等的正数，证明：.‎ ‎【答案】（1）时，在区间内为增函数；时，在区间内为增函数；在区间内为减函数； （2）见解析.‎ ‎【解析】 (1)求出，分两种种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即.设，利用导数可得在区间内为增函数，，从而可得结论.‎ ‎（2）当时，.不妨设，则原不等式等价于，‎ 令，则原不等式也等价于即..‎ 下面证明当时，恒成立.‎ 设，则，‎ 故在区间内为增函数，，即，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.‎ 练习1.已知函数.‎ ‎（1）证明: 有两个零点；‎ ‎（2）已知，若,使得，试比较与的大小.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】 (1)在上单调递减，在上单调递增，根据函数的最值情况确定零点个数； (2) 由，，可得：，令，函数在上单调递增，，∴，‎ 又∵在上是增函数，∴，即.‎ ‎（1）据题知，求导得： ‎ 令，有；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴‎ 令，有；令，有 故在和各有1个零点.∴有两个零点.‎ ‎（2）由，而 ‎∴‎ 令， ‎ 则，‎ ‎∴函数在上单调递增，故.‎ ‎∴，‎ 又∵在上是增函数，∴，即.‎ ‎（三）极值点偏移 例3．已知函数 (其中e是自然对数的底数，k∈R)．‎ ‎(1)讨论函数的单调性；‎ ‎(2)当函数有两个零点时，证明：．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题。（1）求导数后，根据导函数的符号判断出函数的单调性。（2）根据题意将证明的问题转化为证明，即证，构造函数，‎ 利用函数的单调性证明即可。‎ 试题解析：‎ ‎（1）解：∵‎ ‎∴。‎ ‎①当时，令，解得，‎ ‎∴当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增。‎ ‎②当时，恒成立，‎ ‎∴函数在R上单调递增. ‎ 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增。‎ 当时，在R上单调递增.‎ ‎（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点。‎ 所以。‎ 设函数的两个零点为，‎ 则，‎ 设，‎ 解得，‎ 所以，‎ 要证，‎ 只需证，‎ 设 设单调递增，‎ 所以，‎ 所以在区间上单调递增，‎ 所以，‎ 故．‎ 练习1.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）已知存在两个极值点，，令，若， ，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】（1）对函数进行求导，讨论导数的正负，求得单调区间.‎ ‎（2）将变形为，利用韦达将其转化为关于a的函数，求得最值，即可得到的取值范围.‎ ‎【详解】（1）.‎ ‎（ⅰ）当，即时，，在上单调递减；‎ ‎（ⅱ）当，即或时，令，得或.‎ ‎①当时，在上，单调递增；在上，单调递减.‎ ‎②当时，在和上，单调递减；‎ 在上，单调递增.‎ ‎（2），则，‎ 由（1）可知，，，且.‎ 则，‎ ‎ ‎ 从而.‎ 令，，则.‎ 因为，所以，‎ 所以在上单调递减，则，即.‎ 因为，，即，所以，‎ 即的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了导数和函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数的能成立的问题，培养学生的转化能力，运算能力，属于难题．‎ ‎（四）多变量问题 ‎ 例4．已知函数（），（） ‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求证：1是的唯一极小值点；‎ ‎（Ⅲ）若存在， ，满足，求的取值范围.（只需写出结论）‎ ‎【答案】(1) 单调递增区间为， 的单调递减区间为 （2）见解析（3）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求出， 求得 的范围，可得函数增区间， 求得 的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）先求得（），可得，又可证明在定义域内递增，即可证明 是g(x)的唯一极小值点；（Ⅲ）令两函数的值域有交集即可.‎ 试题解析：：（Ⅰ） 因为 ‎ ‎ ‎ 令，得 ‎ 因为，所以 ‎ 当变化时， ， 的变化情况如下：‎ 极大值 ‎ 故的单调递增区间为， 的单调递减区间为 ‎ 当变化时， ， 的变化情况如下：‎ ‎1‎ 极小值 故在时取得极小值，即1是的唯一极小值点. ‎ ‎（Ⅲ）‎ ‎（五）与三角函数有关的函数问题 例5．已知函数（）.‎ ‎(1)若，求函数的极大值；‎ ‎(2)若时，恒有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）当时，，对其求导，判断导数与0的关系，故而可得其极值；（2）对求导，，当时，函数单调递增，不等式成立；当时，对其进行二次求导，可得恒成立， 单调递增，结合零点存在定理可得有唯一零点，进而可得当时， 单调递减，且，即不恒成立；‎ 试题解析：（1）时，，当， 时， ， 单调递增，当， 时， ， 单调递减，所以，当时， 取得极大值， .‎ ‎（2）‎ 当，即时， ，所以单调递增，所以；‎ 当时，，‎ 所以单调递增，，，所以有唯一零点，记为，当时， ， 单调递减，且，即不恒成立；综上所述， 的取值范围是.‎ 练习1.已知函数的图象在点处的切线方程为. ‎ ‎(1)求的值 ‎(2)求函数在值域.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线的方程可得的方程组，解方程即可得到所求；（2）求得的导数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可得到函数在值域.‎ 试题解析：（1）为），又，解得.‎ ‎（2）由（1）知，，函数在上递增，，， 函数在上的值域为.‎ ‎（六）构造函数求参数 ‎ 例6．设函数.‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）设，对任意，都有，求实数 的取值范围.‎ ‎【答案】（1）无极大值；（2）. ‎ ‎【解析】(1) 当时，，定义域为，，结合函数的单调性可得，函数没有极大值.‎ ‎(2) 由已知，构造函数，则在上单调递减，分类讨论可得：‎ ‎①当时， .‎ ‎②当时， ，‎ 综上，由①②得： .‎ ‎（1）当时，，定义域为，，‎ 当时，单调递减，‎ 当时，单调递增，‎ 的递减区间是，递增区间是.‎ 无极大值.‎ ‎（2）由已知，‎ 设，则在上单调递减，‎ ‎①当时，，‎ 所以，‎ 整理： ‎ 设，则在上恒成立，‎ 所以在上单调递增，所以最大值是.‎ ‎②当时，，‎ 所以，‎ 整理： ‎ 设，则在上恒成立，‎ 所以在上单调递增，所以最大值是，‎ 综上，由①②得： .‎ 练习1.已知函数在处的切线斜率为.‎ ‎（1）若函数在上单调，求实数的最大值；‎ ‎（2）当时，若存在不等的使得，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】 (1)先根据切线的斜率求出，再根据函数单调，得到恒成立，求出b的最大值.(2)转化为存在不等的，且使得，进而得到k＞0.‎ ‎【详解】（1）函数在处的切线斜率为 解得.‎ 所以，故 因为函数在上单调 故或在上恒成立.‎ 显然即在上不恒成立.‎ 所以恒成立即可.‎ 因为 可知在上单减，单增 故，所以实数的最大值为1.‎ ‎（2）当时，由（1）知函数在上单调递增 不妨设，使得 即为存在不等的，且使得 ‎.‎ 其否定为：任意，都有 即：函数在上单调递增.‎ 由（1）知：即 所以若存在不等的使得 实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题和最值，考查利用导数研究不等式的存在性问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎（七）讨论参数求参数 例7．已知函数，（为自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个零点，试求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) （3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到， ，根据这两点可以写出切线方程。（2）对函数进行单调性的研究，分， ， ‎ ‎,三种情况讨论单调性，研究函数的图像变换趋势，得到参数方位。（3）原不等式等价于恒成立，对右侧函数研究单调性得最值即可。‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）当时，.， .‎ 所以函数在点处的切线方程为.‎ 因为，所以， 所以，所以 取，显然且 所以，.‎ 由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.‎ ‎③当时，由，得，或.‎ 当，则.当变化时， ， 变化情况如下表：‎ 注意到，所以函数至多有一个零点，不符合题意.‎ 当，则， 在单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意.‎ 若，则.当变化时， ， 变化情况如下表：‎ 注意到当， 时，， ，所以函数至多有一个零点，不符合题意.‎ 综上， 的取值范围是.‎ ‎（Ⅲ）当时，，‎ 即,令，则 令，则 ‎ 当时， ， 单调递减；‎ 当时， ， 单调递增 又， ，所以，当时， ，即，‎ 所以单调递减；当时，，即，‎ 所以单调递增，所以，所以．‎ 点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的最值，考查分离参数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，分类讨论的能力，属于较难的题．利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ 练习1.设函数， ．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若对所有的，都有，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）令，求导得单调性，进而得，从而得证；‎ ‎（Ⅱ）记求两次导得在递增， 又，进而讨论的正负，从而得原函数的单调性，进而可求最值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）令， ‎ 由 ∴在递减，在递增，‎ ‎∴ ∴ 即成立． ‎ ‎（Ⅱ） 记， ∴在恒成立，‎ ‎， ∵， ‎ ‎∴在递增， 又， ‎ ‎∴ ① 当 时， 成立， 即在递增，‎ 则，即成立； ‎ ‎② 当时，∵在递增，且，‎ ‎∴ 必存在使得．则时， ，‎ 即 时，与在恒成立矛盾，故舍去．‎ 综上，实数的取值范围是． ‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．‎ ‎ (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． ‎