天津市河北区2020届高三高考数学一模试卷

天津市河北区2020届高三高考数学一模试卷

‎2020年天津市河北区高考数学一模试卷 一、选择题 ‎1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，则集合∁U（A∪B）＝（　　）‎ A．{5} B．{1，5} C．{2，4} D．{1，2，3，4，6}‎ ‎2．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞4”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．已知直线1：ax‎+‎‎3‎y＝2与圆C：x2+y2＝4相交于M，N两点，若|MN|＝2‎3‎，则直线的斜率为（　　）‎ A．‎3‎‎3‎ B．±‎3‎‎3‎ C．‎3‎ D．‎‎-‎‎3‎ ‎4．已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞0，b＞0）的焦距为4，点（2，3）为双曲线上一点，则双曲线的渐进线方程为（　　）‎ A．y‎=±‎‎1‎‎2‎x B．y＝±x C．y‎=±‎‎3‎‎3‎x D．y‎=±‎‎3‎x ‎5．已知函数f（x）的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是（　　）‎ A．f（x）‎=‎x‎2‎‎|x|‎ B．f（x）＝2|x|﹣2 C．f（x）＝2|x|﹣x2 D．f（x）＝e|x|﹣|x|‎ ‎6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）单调递增，设a＝f（‎3‎‎2‎），‎ b＝f（log37），c＝f（﹣0.83），则a，b，c大小关系为（　　）‎ A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b ‎7．在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2AD＝2，∠DAB＝60°，E为AB中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合点为F，则三棱锥F﹣DCE的外接球体积为（　　）‎ A．‎2‎‎3‎π B．‎6‎‎4‎π C．‎3‎‎2‎π D．‎6‎‎8‎π ‎8．将函数f（x）＝cosωx‎2‎（2sinωx‎2‎‎-‎2‎3‎cosωx‎2‎）‎+‎‎3‎，（ω＞0）的图象向左平移π‎3ω个单位，得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在[0，π‎4‎]上为增函数，则ω的最大值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎9．已知函数f（x）‎=‎x‎2‎‎-3x+2，x≤1‎lnx，x＞1‎，g（x）＝f（x）﹣ax+a，若g（x）恰有1个零点，则a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，0]∪[1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1] ‎ C．[﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）‎ 二.填空题 ‎10．已知复数z‎=‎‎1-i‎1+i（i为虚数单位），则|z|＝　 　．‎ ‎11．在（2x‎-‎‎1‎x）5的展开式中，x2的系数为　 　．‎ ‎12．从某班的4名男生，2名女生中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选3人中女生人数为X，则P（X＝2）＝　 　．数学期望E（X）＝　 　．‎ ‎13．已知a，b为正实数，且a+b＝2，则a‎2‎‎+2‎a‎+‎b‎2‎b+1‎的最小值为　 　．‎ ‎14．已知△ABC是边长为2的等边三角形，BD‎→‎‎=‎DC‎→‎，AE‎→‎‎=‎‎1‎‎2‎EC‎→‎，且AD与BE相交于点O，则OA‎→‎•‎ OB‎→‎‎=‎‎　 　．‎ ‎15．某同学在研究函数f（x）‎=‎x‎1+|x|‎（x∈R）时，分别给出下面几个结论：‎ ‎①f（﹣x）+f（x）＝0在x∈R时恒成立；‎ ‎②函数f（x）的值域为（﹣1，1）；‎ ‎③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；‎ ‎④函数g（x）＝f（x）﹣x在R上有三个零点．‎ 其中正确结论的序号有　 　．‎ 三.解答题 ‎16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2c‎=‎‎3‎a+2bcosA．‎ ‎（Ⅰ）求角B；‎ ‎（Ⅱ）若cosA‎=‎‎1‎‎4‎，求sin（2A+B）的值；‎ ‎（Ⅲ）若c＝7，bsinA‎=‎‎3‎，求b的值．‎ ‎17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，且PA＝AB＝3，AC＝2，E是棱PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）求直线PC与平面AEC所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在线段PB上（不含端点）是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为‎10‎‎10‎？若存在，确定M的位置；若不存在，说明理由．‎ ‎18．已知等比数列{an}的前n项和为S，公比q＞1，且a2+1为a1，a3的等差中项，S3＝14．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式 ‎（Ⅱ）记bn＝an•log2an，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎19．已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞b＞0）的离心率e‎=‎‎1‎‎2‎，直线x+y‎-‎6‎=‎0与圆x2+y2＝b2相切．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点N（4，0）的直线l与椭圆交于不同两点A、B，线段AB的中垂线为l′，若l′在y轴上的截距为‎4‎‎13‎，求直线l的方程．‎ ‎20．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+1（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设a∈Z，若对任意的x＞0，f（x）≤0恒成立，求整数a的最大值；‎ ‎（Ⅲ）求证：当x＞0时，ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．‎ 参考答案 一、选择题 ‎1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，则集合∁U（A∪B）＝（　　）‎ A．{5} B．{1，5} C．{2，4} D．{1，2，3，4，6}‎ ‎【分析】根据并集与补集的定义，计算即可．‎ 解：集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，‎ 所以A∪B＝{1，2，3，4，6}；‎ 又集合U＝{1，2，3，4，5，6}，‎ 所以集合∁U（A∪B）＝{5}．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．‎ ‎2．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞4”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】求解a2＞4，得出a＞2或a＜﹣2，根据充分必要的定义判断即可得出答案．‎ 解：∵a2＞4，‎ ‎∴a＞2或a＜﹣2，‎ 根据充分必要的定义判断：“a＞2”是“a2＞4”的充分不必要条件 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件的定义，属于容易题，难度不大，紧扣定义即可．‎ ‎3．已知直线1：ax‎+‎‎3‎y＝2与圆C：x2+y2＝4相交于M，N两点，若|MN|＝2‎3‎，则直线的斜率为（　　）‎ A．‎3‎‎3‎ B．±‎3‎‎3‎ C．‎3‎ D．‎‎-‎‎3‎ ‎【分析】利用弦长公式表示出|MN|，求出a的值即可．‎ 解：易得直线斜率存在且不为0，‎ 则圆心到直线l的距离d‎=‎‎|2|‎a‎2‎‎+3‎，‎ 则弦长|MN|＝2r‎2‎‎-‎d‎2‎‎=‎2‎4-‎‎4‎a‎2‎‎+3‎‎=‎2‎3‎，解得a＝±1，‎ 则斜率k＝±‎1‎‎3‎‎=‎±‎3‎‎3‎，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查直线斜率的求法，考查弦长公式，属于中档题．‎ ‎4．已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞0，b＞0）的焦距为4，点（2，3）为双曲线上一点，则双曲线的渐进线方程为（　　）‎ A．y‎=±‎‎1‎‎2‎x B．y＝±x C．y‎=±‎‎3‎‎3‎x D．y‎=±‎‎3‎x ‎【分析】求出双曲线的焦点，根据定义求出a，然后求出b．可得双曲线C的方程与渐近线方程．‎ 解：由题意可知：双曲线的焦点为（﹣2，0）和（2，0）‎ 根据定义有2a＝|‎(2-2‎)‎‎2‎+(‎‎3-0)‎‎2‎‎-‎‎(2+2‎)‎‎2‎+(3-0‎‎)‎‎2‎|．‎ ‎∴a＝1由以上可知：a2＝1，c2＝4，b2＝3．‎ ‎∴所求双曲线C的渐近线方程为：y＝±‎3‎x．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查计算能力．‎ ‎5．已知函数f（x）的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是（　　）‎ A．f（x）‎=‎x‎2‎‎|x|‎ B．f（x）＝2|x|﹣2 C．f（x）＝2|x|﹣x2 D．f（x）＝e|x|﹣|x|‎ ‎【分析】观察函数图象，由函数为偶函数，f（0）＞0，函数有两个正零点，分别可排除选项A，B，D，由此得出正确选项C．‎ 解：由函数图象可知，f（x）为偶函数，故可排除选项A；‎ f（0）＞0，故可排除选项B；‎ 又当x＞0时，函数图象与x轴有两个交点，而方程ex＝x无解，故可排除D．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查由函数图象确定符合的函数解析式，考查读图识图能力，属于基础题．‎ ‎6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）单调递增，设a＝f（‎3‎‎2‎），b＝f（log37），c＝f（﹣0.83），则a，b，c大小关系为（　　）‎ A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b ‎【分析】根据题意，由偶函数的性质可得c＝f（﹣0.83）＝f（0.83），又由指数、对数的性质可得0.83＜1‎＜‎3‎‎2‎=‎log3‎27‎‎＜‎log37，结合函数的单调性分析可得答案．‎ 解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，则c＝f（﹣0.83）＝f（0.83），‎ 又由f（x）在[0，+∞）单调递增，且0.83＜1‎＜‎3‎‎2‎=‎log3‎27‎‎＜‎log37，‎ 则有c＜a＜b，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数值的大小比较，属于基础题．‎ ‎7．在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2AD＝2，∠DAB＝60°，E为AB中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合点为F，则三棱锥F﹣DCE的外接球体积为（　　）‎ A．‎2‎‎3‎π B．‎6‎‎4‎π C．‎3‎‎2‎π D．‎6‎‎8‎π ‎【分析】由题意可得三棱锥F﹣DCE是正四面体，且每条边长为1，把正四面体放入正方体中，利用正方体的外接球即可求出三棱锥F﹣DCE的外接球半径，从而得到三棱锥F﹣DCE的外接球体积．‎ 解：由题意可得三棱锥F﹣DCE是正四面体，且每条边长为1，‎ 则正四面体所在的正方体的棱长为‎2‎‎2‎，‎ 所以外接球的半径为‎1‎‎2‎‎×‎3‎×‎2‎‎2‎=‎‎6‎‎4‎，‎ 所以外接球体积为：‎4‎‎3‎‎×π×(‎6‎‎4‎‎)‎‎3‎=‎‎6‎π‎8‎，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了正四面体的外接球，是中档题．‎ ‎8．将函数f（x）＝cosωx‎2‎（2sinωx‎2‎‎-‎2‎3‎cosωx‎2‎）‎+‎‎3‎，（ω＞0）的图象向左平移π‎3ω个单位，得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在[0，π‎4‎]上为增函数，则ω的最大值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．‎ 解：将函数f（x）＝cosωx‎2‎（2sinωx‎2‎‎-‎2‎3‎cosωx‎2‎）‎+‎3‎=‎sinωx‎-‎‎3‎cosωx＝2sin（ωx‎-‎π‎3‎），（ω＞0）的图象向左平移π‎3ω个单位，‎ 得到函数y＝g（x）＝2sinωx的图象，若y＝g（x）在[0，π‎4‎]上为增函数，则ω•π‎4‎‎≤‎π‎2‎，∴ω≤2，∴ω的最大值为2，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．‎ ‎9．已知函数f（x）‎=‎x‎2‎‎-3x+2，x≤1‎lnx，x＞1‎，g（x）＝f（x）﹣ax+a，若g（x）恰有1个零点，则a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，0]∪[1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1] ‎ C．[﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）‎ ‎【分析】根据条件先判断x＝1是函数g（x）的一个零点，等价于当x≠1时，函数f（x）＝a（x﹣1），没有其他根，利用参数分离法，利用数形结合进行求解即可．‎ 解：由g（x）＝f（x）﹣ax+a＝0得f（x）＝a（x﹣1），‎ ‎∵f（1）＝1﹣3+2＝0，‎ ‎∴g（1）＝f（1）﹣a+a＝0，即x＝1是g（x）的一个零点，‎ 若g（x）恰有1个零点，‎ 则当x≠1时，函数f（x）＝a（x﹣1），没有其他根，‎ 即a‎=‎f(x)‎x-1‎，没有根，‎ 当x＜1时，设h（x）‎=f(x)‎x-1‎=x‎2‎‎-3x+2‎x-1‎=‎(x-1)(x-2)‎x-1‎=‎x﹣2，此时函数h（x）为增函数，‎ 则h（1）→﹣1，即此时h（x）＜﹣1，‎ 当x＞1时，h（x）‎=f(x)‎x-1‎=‎lnxx-1‎，h′（x）‎=‎1‎x‎⋅(x-1)-lnx‎(x-1‎‎)‎‎2‎＜‎0，此时h（x）为减函数，‎ 此时h（x）＞0，且h（1）→1，即0＜h（x）＜1，‎ 作出函数h（x）的图象如图：‎ 则要使a‎=‎f(x)‎x-1‎，没有根，‎ 则a≥1或﹣1≤a≤0，‎ 即实数a的取值范围是[﹣1，0]∪[1，+∞），‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．‎ 二.填空题 ‎10．已知复数z‎=‎‎1-i‎1+i（i为虚数单位），则|z|＝　1　．‎ ‎【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．‎ 解：∵z‎=‎1-i‎1+i=‎(1-i‎)‎‎2‎‎(1+i)(1-i)‎=‎-2i‎2‎=-i，‎ ‎∴|z|＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．‎ ‎11．在（2x‎-‎‎1‎x）5的展开式中，x2的系数为　80　．‎ ‎【分析】利用通项公式即可得出．‎ 解：（2x‎-‎‎1‎x）5的展开式中，通项公式Tr+1‎=‎‎∁‎‎5‎r（2x）5﹣r‎(-‎1‎x‎)‎r=‎（﹣1）r25﹣r‎∁‎‎5‎rx‎5-‎3‎‎2‎r，‎ 令5‎-‎‎3‎‎2‎r＝2，解得r＝2．‎ ‎∴x2的系数＝23‎∁‎‎5‎‎2‎‎=‎80．‎ 故答案为：80．‎ ‎【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎12．从某班的4名男生，2名女生中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选3人中女生人数为X，则P（X＝2）＝　‎1‎‎5‎　．数学期望E（X）＝　1　．‎ ‎【分析】随机变量随机X的所有可能的取值为0，1，2．分别求出其对应的概率，列出分布列，求期望即可．‎ 解：所选3人中女生人数为X，X＝2，就是所选3人中女生人数为2，‎ 则P（X＝2）‎=C‎4‎‎1‎C‎2‎‎2‎C‎6‎‎3‎=‎‎1‎‎5‎；‎ 随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，P（X＝0）‎=C‎4‎‎3‎C‎2‎‎0‎C‎6‎‎3‎=‎‎1‎‎5‎，‎ P（X＝1）‎=C‎4‎‎2‎C‎2‎‎1‎C‎6‎‎3‎=‎‎3‎‎5‎；P（X＝2）‎=C‎4‎‎1‎C‎2‎‎2‎C‎6‎‎3‎=‎‎1‎‎5‎；‎ 所有随机变量ξ的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎1‎‎5‎‎ ‎ ‎3‎‎5‎‎ ‎ ‎1‎‎5‎‎ ‎ 所以ξ的期望E（X）＝0‎×‎1‎‎5‎+‎1‎×‎3‎‎5‎+‎2‎×‎1‎‎5‎=‎1．‎ 故答案为：‎1‎‎5‎；1．‎ ‎【点评】本题考查了离散型随机变量的期望，属于基础题．‎ ‎13．已知a，b为正实数，且a+b＝2，则a‎2‎‎+2‎a‎+‎b‎2‎b+1‎的最小值为　‎6+2‎‎2‎‎3‎　．‎ ‎【分析】由a，b为正实数，且a+b＝2，变形可得a‎2‎‎+2‎a‎+b‎2‎b+1‎=‎2‎a+‎a+b﹣1‎+‎1‎b+1‎=‎2‎a+‎1‎‎3-a+‎1＝f（a），0＜a＜2．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．‎ 解：∵a，b为正实数，且a+b＝2，‎ ‎∴a‎2‎‎+2‎a‎+b‎2‎b+1‎=‎a‎+‎2‎a+b‎2‎‎-1+1‎b+1‎=‎2‎a+‎a+b﹣1‎+‎1‎b+1‎=‎2‎a+‎1‎‎3-a+‎1＝f（a），0＜a＜2．‎ f′（a）‎=-‎2‎a‎2‎+‎1‎‎(a-3‎‎)‎‎2‎=‎‎-(a-6-3‎2‎)(a-6+3‎2‎)‎‎(a‎2‎-3a‎)‎‎2‎，‎ 令f′（a）＞0，解得‎6-3‎2‎＜a＜2‎，此时函数f（a）单调递增；令f′（a）＜0，解得‎0＜a＜6-3‎‎2‎，此时函数f（a）单调递减．‎ ‎∴当且仅当a＝6﹣3‎2‎时函数f（a）取得极小值即最小值，‎ f(6-3‎2‎)=‎‎6+2‎‎2‎‎3‎‎．‎ 故答案为：‎6+2‎‎2‎‎3‎．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎14．已知△ABC是边长为2的等边三角形，BD‎→‎‎=‎DC‎→‎，AE‎→‎‎=‎‎1‎‎2‎EC‎→‎，且AD与BE相交于点O，则OA‎→‎•OB‎→‎‎=‎　‎3‎‎4‎　．‎ ‎【分析】作DF∥BE交AC于F； 作GE∥DC交AD于G；根据已知条件得到OB‎→‎‎=-‎‎3‎‎4‎BE‎→‎以及OA‎→‎‎=-‎‎1‎‎2‎AD‎→‎；再代入数量积即可求解结论．‎ 解：△ABC是边长为2的等边三角形，BD‎→‎‎=‎DC‎→‎，AE‎→‎‎=‎‎1‎‎2‎EC‎→‎，且AD与BE相交于点O，‎ 作DF∥BE交AC于F； 作GE∥DC交AD于G；‎ ‎∵GEDC‎=AEAC=‎1‎‎3‎=‎OEOB；‎ ‎∴OB‎→‎‎=-‎‎3‎‎4‎BE‎→‎；‎ ‎∵DF∥BE，D为中点，‎ 故DCBD‎=EFFC=‎1；‎ 又因为AE‎→‎‎=‎‎1‎‎2‎EC‎→‎，‎ ‎∴AOOD‎=AEEF=‎1；‎ ‎∴OA‎→‎‎=-‎‎1‎‎2‎AD‎→‎；‎ ‎∴OA‎→‎•OB‎→‎‎=-‎‎1‎‎2‎AD‎→‎•（‎-‎‎3‎‎4‎BE‎→‎）‎ ‎=‎‎3‎‎8‎AD‎→‎‎•BE‎→‎ ‎ ‎=‎3‎‎8‎×‎‎1‎‎2‎‎（AB‎→‎‎+‎AC‎→‎）•（BA‎→‎‎+‎AE‎→‎）‎ ‎=‎‎3‎‎16‎‎（AB‎→‎‎+‎AC‎→‎）•（‎-AB‎→‎+‎‎1‎‎3‎AC‎→‎）‎ ‎=‎‎3‎‎16‎‎（‎-AB‎→‎‎2‎-‎‎2‎‎3‎AB‎→‎•AC‎→‎‎+‎‎1‎‎3‎AC‎→‎‎2‎）‎ ‎=‎‎3‎‎16‎‎（﹣22‎-‎2‎‎3‎×‎2×2‎×‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎×‎22）‎=‎‎3‎‎4‎．‎ 故答案为：‎3‎‎4‎．‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积的应用以及向量的三角形法则，考查向量的表示以及计算，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎15．某同学在研究函数f（x）‎=‎x‎1+|x|‎（x∈R）时，分别给出下面几个结论：‎ ‎①f（﹣x）+f（x）＝0在x∈R时恒成立；‎ ‎②函数f（x）的值域为（﹣1，1）；‎ ‎③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；‎ ‎④函数g（x）＝f（x）﹣x在R上有三个零点．‎ 其中正确结论的序号有　①②③　．‎ ‎【分析】由奇偶性的定义来判断①，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；由②结合①对称区间上的单调性相同说明③正确；由数形结合来说明④不正确．‎ 解：①f(-x)=‎-x‎1+|x|‎=-f(x)‎∴正确 ‎②当x＞0时，f（x）‎=‎‎1‎‎1+‎‎1‎x∈（0，1）‎ 由①知当x＜0时，f（x）∈（﹣1，0）‎ x＝0时，f（x）＝0‎ ‎∴f（x）∈（﹣1，1）正确；‎ ‎③则当x＞0时，f（x）‎=‎‎1‎‎1+‎‎1‎x反比例函数的单调性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函数 再由①知f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，正确 ‎④由③知f（x）的图象与y＝x只有（0，0）这一个交点．不正确．‎ 故答案为：①②③‎ ‎【点评】本题考查函数的定义域，单调性，奇偶性，值域，考查全面，方法灵活，这四个问题在研究时往往是同时考虑的．‎ 三.解答题 ‎16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2c‎=‎‎3‎a+2bcosA．‎ ‎（Ⅰ）求角B；‎ ‎（Ⅱ）若cosA‎=‎‎1‎‎4‎，求sin（2A+B）的值；‎ ‎（Ⅲ）若c＝7，bsinA‎=‎‎3‎，求b的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用正弦定理与三角形内角和定理，即可求得cosB与B的值；‎ ‎（Ⅱ）根据三角恒等变换求值即可；‎ ‎（Ⅲ）利用正弦定理和余弦定理，即可求得b的值．‎ 解：（Ⅰ）△ABC中，2c‎=‎‎3‎a+2bcosA，‎ 由正弦定理得2sinC‎=‎‎3‎sinA+2sinBcosA；‎ 又C＝π﹣（A+B），‎ 所以2（sinAcosB+cosAsinB）‎=‎‎3‎sinA+2sinBcosA，‎ 所以2sinAcosB‎=‎‎3‎sinA；‎ 又A∈（0，π），所以sinA≠0，‎ 所以cosB‎=‎‎3‎‎2‎；‎ 又B∈（0，π），‎ 所以B‎=‎π‎6‎；‎ ‎（Ⅱ）若cosA‎=‎‎1‎‎4‎，A∈（0，π），‎ 所以sinA‎=‎1‎-cos‎2‎A=‎‎15‎‎4‎，‎ 所以sin2A＝2sinAcosA＝2‎×‎15‎‎4‎×‎1‎‎4‎=‎‎15‎‎8‎，‎ cos2A＝2cos2A﹣1＝2‎×‎1‎‎16‎-‎1‎=-‎‎7‎‎8‎，‎ 所以sin（2A+B）＝sin2AcosB+cos2AsinB ‎=‎15‎‎8‎×‎3‎‎2‎-‎7‎‎8‎×‎‎1‎‎2‎‎ ‎ ‎=‎‎3‎5‎-7‎‎16‎‎；‎ ‎（Ⅲ）若c＝7，bsinA‎=‎‎3‎，‎ 由bsinB‎=‎asinA，得asinB＝bsinA‎=‎‎3‎，‎ 所以a‎=‎3‎sinB=‎3‎‎1‎‎2‎=‎2‎3‎；‎ 所以b2＝c2+a2﹣2cacosB＝49+12﹣2×7×2‎3‎‎×‎3‎‎2‎=‎19，‎ 解得b‎=‎‎19‎．‎ ‎【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．‎ ‎17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，且PA＝AB＝3，AC＝2，E是棱PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）求直线PC与平面AEC所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在线段PB上（不含端点）是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为‎10‎‎10‎？若存在，确定M的位置；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于点O，并连接EO，推导出EO∥PB，由此能证明PB∥面AEC．‎ ‎（Ⅱ）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设平面AEC的法向量m‎→‎‎=‎（x，y，z），由向量垂直的数量积的坐标表示可得法向量，再由向量的夹角公式可得所求值；‎ ‎（Ⅲ）假设在线段PB上（不含端点）存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为‎10‎‎10‎，利用向量法能求出在线段PB上（不含端点）存在一点M，设平面ACM的法向量n‎→‎‎=‎（p，q，t），由向量数量积的夹角公式计算即可判断存在性．‎ 解：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于点O，并连接EO，‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，∴O为BD的中点，‎ 又∵E为PD的中点，‎ ‎∴在△PDB中EO为中位线，EO∥PB ‎∵PB⊄面AEC，EO⊂面AEC，‎ ‎∴PB∥面AEC．‎ ‎（Ⅱ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，‎ 底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，且PA＝AB＝3，AC＝2，E是棱PD的中点．‎ ‎∴以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，‎ P（0，0，3），C（2，0，0），A（0，0，0），D（2，﹣3，0），E（1，‎-‎‎3‎‎2‎，‎3‎‎2‎），‎ AE‎→‎‎=‎‎（1，‎-‎3‎‎2‎，‎‎3‎‎2‎），AC‎→‎‎=‎（2，0，0），PC‎→‎‎=‎（2，0，﹣3），‎ 设平面AEC的法向量m‎→‎‎=‎（x，y，z），‎ 则AE‎→‎‎⋅m‎→‎=x-‎3‎‎2‎y+‎3‎‎2‎z=0‎AC‎→‎‎⋅m‎→‎=2x=0‎，取y＝1，得m‎→‎‎=‎（0，1，1），‎ 设直线PC与平面AEC所成角为θ，‎ 则直线PC与平面AEC所成角的正弦值为：‎ sinθ‎=‎|PC‎→‎⋅m‎→‎|‎‎|PC‎→‎|⋅|m‎→‎|‎=‎3‎‎13‎‎⋅‎‎2‎=‎‎3‎‎26‎‎26‎．‎ ‎（Ⅲ）假设在线段PB上（不含端点）存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为‎10‎‎10‎，‎ 设M（a，b，c），PM‎→‎‎=λPB‎→‎，B（0，3，0），则（a，b，c﹣3）＝λ（0，3，﹣3），‎ 解得a＝0，b＝3λ，c＝3﹣3λ，M（0，3λ，3﹣3λ），‎ AC‎→‎‎=‎‎（2，0，0），AM‎→‎‎=‎（0，3λ，3﹣3λ），‎ 设平面ACM的法向量n‎→‎‎=‎（p，q，t），‎ 则n‎→‎‎⋅AC‎→‎=2p=0‎n‎→‎‎⋅AM‎→‎=3λq+(3-3λ)t=0‎，取q＝1，得n‎→‎‎=‎（0，1，λλ-1‎），‎ ‎∵二面角M﹣AC﹣E的余弦值为‎10‎‎10‎．‎ ‎∴|cos‎＜m‎→‎，n‎→‎＞‎|‎=‎|m‎→‎⋅n‎→‎|‎‎|m‎→‎|⋅|n‎→‎|‎=‎‎10‎‎10‎，‎ 解得λ=‎‎1‎‎3‎或λ=‎‎2‎‎3‎．‎ ‎∴在线段PB上（不含端点）存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为‎10‎‎10‎，‎ 且PM‎→‎‎=‎‎1‎‎3‎PB‎→‎或PM‎→‎‎=‎‎2‎‎3‎PB‎→‎．‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值、满足二面角的余弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．‎ ‎18．已知等比数列{an}的前n项和为S，公比q＞1，且a2+1为a1，a3的等差中项，S3＝14．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式 ‎（Ⅱ）记bn＝an•log2an，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（I）由a2+1是a1，a3的等差中项，可得2（a2+1）＝a1+a3，又a1（q2+1）＝2a1q+2，a‎1‎‎(1+q+q‎2‎)=‎14，联立解得，即可得出．‎ ‎（II）bn＝an•log2an＝n•2n．利用错位相减法即可得出．‎ 解：（I）∵a2+1是a1，a3的等差中项，∴2（a2+1）＝a1+a3，‎ ‎∴a1（q2+1）＝2a1q+2，a‎1‎‎(1+q+q‎2‎)=‎14，‎ 化为2q2﹣5q+2＝0，q＞1，解得q＝2，∴a1＝2．‎ ‎∴an＝2n．‎ ‎（II）bn＝an•log2an＝n•2n．‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn＝2+2•22+3•23+……+n•2n．‎ ‎2Tn＝2×2+2•23+……+（n﹣1）•2n+n•2n+1．‎ ‎∴﹣Tn＝2+22+23+……+2n﹣n•2n+1‎=‎2(‎2‎n-1)‎‎2-1‎-‎n•2n+1．‎ 解得：Tn＝（n﹣1）•2n+1+2．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎19．已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞b＞0）的离心率e‎=‎‎1‎‎2‎，直线x+y‎-‎6‎=‎0与圆x2+y2＝b2相切．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点N（4，0）的直线l与椭圆交于不同两点A、B，线段AB的中垂线为l′，若l′在y轴上的截距为‎4‎‎13‎，求直线l的方程．‎ ‎【分析】（1）先由直线与圆相切，得出b的值，再结合离心率，求出a的值，从而可得出椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线l的斜率为k，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程与椭圆C的方程联立，计算△＞0，列出韦达定理，可求出线段AB的中点Q的坐标，并写出线段AB中垂线l′的方程，然后求出直线l'与y轴的交点坐标，列关于k的方程，求出k的值，即可得出直线l的方程．‎ 解：（1）由题意得e‎2‎‎=c‎2‎a‎2‎=a‎2‎‎-‎b‎2‎a‎2‎=‎‎1‎‎4‎，即a‎2‎‎=‎‎4‎‎3‎b‎2‎，‎ 由x+y-‎6‎=0‎与圆x2+y2＝b2相切得b=‎6‎‎2‎=‎‎3‎，∴a＝2．‎ 因此，椭圆的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎；‎ ‎（2）由题意知，直线l的斜率k存在且不为零，‎ 设直线l的方程为y＝k（x﹣4），k≠0，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），设线段AB 的中点为Q（x0，y0），‎ 联立y=k(x-4)‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎，消去y并整理得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0．‎ 由韦达定理得x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎32‎k‎2‎‎4k‎2‎+3‎，‎ 又△＝（﹣32k2）2﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＞0，解得‎-‎1‎‎2‎＜k＜‎‎1‎‎2‎，且k≠0．‎ x‎0‎‎=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=‎‎16‎k‎2‎‎4k‎2‎+3‎‎，y‎0‎‎=k(x‎0‎-4)=-‎‎12k‎4k‎2‎+3‎，得Q(‎16‎k‎2‎‎4k‎2‎+3‎，-‎12k‎4k‎2‎+3‎)‎．‎ 由直线l′的方程y-y‎0‎=-‎1‎k(x-x‎0‎)‎，即y+‎12k‎4k‎2‎+3‎=-‎1‎k(x-‎16‎k‎2‎‎4k‎2‎+3‎)‎，化简得y=-‎1‎kx+‎‎4k‎4k‎2‎+3‎．‎ 令x＝0得‎4k‎4k‎2‎+3‎‎=‎‎4‎‎13‎，解得k=‎‎1‎‎4‎或k＝3．‎ 由于‎-‎1‎‎2‎＜k＜‎‎1‎‎2‎，且k≠0，所以，k=‎‎1‎‎4‎．‎ 因此，直线l的方程为y=‎1‎‎4‎(x-4)‎，即x﹣4y﹣4＝0．‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆方程的求解，以及韦达定理设而不求法在椭圆综合中的应用，考查计算能力，属于中等题．‎ ‎20．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+1（a∈一、选择题）．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设a∈Z，若对任意的x＞0，f（x）≤0恒成立，求整数a的最大值；‎ ‎（Ⅲ）求证：当x＞0时，ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数f′（x）‎=‎‎(2x+1)(ax+1)‎x（x＞0），得若a≥0，则f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；若a＜0，求出导函数的零点，对函数定义域分段，由导函数的符号可得原函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若a≥0，则f（1）＝2a+3＞0，不满足f（x）≤0恒成立．若a＜0，由（Ⅰ）求得函数的最大值，又f（x）≤0恒成立，可得ln（‎-‎‎1‎a）‎-‎1‎a≤‎0，设g（x）＝lnx+x，则g（‎-‎‎1‎a）≤0．由函数零点判定定理可得存在唯一的x0∈（‎1‎‎2‎‎，1‎），使得g（x0）＝0．得到a‎≤-‎‎1‎x‎0‎∈（﹣2，﹣1），结合a∈Z，可知a的最大值为﹣2；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a＝﹣2时，f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0，则﹣xlnx＞﹣2x3+x，得到ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞ex﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1＝ex﹣x2+2x﹣1．‎ 记u（x）＝ex﹣x2+2x﹣1（x＞0），利用两次求导证明ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+1，f′（x）‎=‎1‎x+‎2ax+a+2‎=‎‎(2x+1)(ax+1)‎x（x＞0），‎ ‎①若a≥0，则f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；‎ ‎②若a＜0，由f′（x）＞0，得0＜x‎＜-‎‎1‎a；由f′（x）＜0，得x‎＞-‎‎1‎a．‎ ‎∴函数f（x）在（0，‎-‎‎1‎a）上单调递增，在（‎-‎‎1‎a，+∞）上单调递减；‎ ‎（Ⅱ）解：若a≥0，则f（1）＝2a+3＞0，∴不满足f（x）≤0恒成立．‎ 若a＜0，由（Ⅰ）可知，函数f（x）在（0，‎-‎‎1‎a）上单调递增，在（‎-‎‎1‎a，+∞）上单调递减．‎ ‎∴f(x‎)‎max=f(-‎1‎a)=ln(-‎1‎a)-‎‎1‎a，又f（x）≤0恒成立，‎ ‎∴f(x‎)‎max=f(-‎1‎a)=ln(-‎1‎a)-‎1‎a≤‎0，‎ 设g（x）＝lnx+x，则g（‎-‎‎1‎a）≤0．‎ ‎∵函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（1）＝1＞0，g（‎1‎‎2‎）‎=ln‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎＜‎0，‎ ‎∴存在唯一的x0∈（‎1‎‎2‎‎，1‎），使得g（x0）＝0．‎ 当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0．‎ ‎∴0‎＜-‎1‎a≤‎x0，解得a‎≤-‎‎1‎x‎0‎∈（﹣2，﹣1），‎ 又a∈Z，∴a≤﹣2．‎ 则综上a的最大值为﹣2；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a＝﹣2时，f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0，‎ ‎∴lnx＜2x2﹣1，则﹣xlnx＞﹣2x3+x，‎ ‎∴ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞ex﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1＝ex﹣x2+2x﹣1．‎ 记u（x）＝ex﹣x2+2x﹣1（x＞0），则u′（x）＝ex﹣2x+2．‎ 记h（x）＝ex﹣2x+2，则h′（x）＝ex﹣2，‎ 由h′（x）＝0，得x＝ln2．‎ 当x∈（0，ln2）时，h′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，‎ ‎∴函数h（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，‎ ‎∴h(x‎)‎min=h(ln2)=eln2‎-2ln2+2=‎4﹣2ln2＞0．‎ ‎∴h（x）＞0，即u′（x）＞0，故函数u（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ ‎∴u（x）＞u（0）＝e0﹣1＝0，即ex﹣x2+2x﹣1＞0．‎ ‎∴ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，属难题．‎ ‎ ‎