2019-2020学年江苏省盐城市东台三仓中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年江苏省盐城市东台三仓中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江苏省盐城市东台三仓中学高一上学期12月月考数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据交集定义计算．‎ ‎【详解】‎ 由题意．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算，属于基础题．‎ ‎2．的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可．‎ ‎【详解】‎ cos=cos=-cos=．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值，是基本知识的考查．‎ ‎3．已知幂函数的图象经过点，则（ ）‎ A．4 B．-4 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】把已知点坐标代入函数式求得，再求函数值．‎ ‎【详解】‎ 由题意，，‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求幂函数的解析式，设出解析式，代入已知条件如点的坐标求得即可得幂函数解析式，有时还要注意函数的性质以确定的取舍．‎ ‎4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由含绝对值函数、正切函数、指数函数、幂函数的性质判断．‎ ‎【详解】‎ 是偶函数；是奇函数，它在区间上递增，在定义域内不能说是增函数；是减函数，它不是奇函数也不是偶函数；是奇函数，在定义域内是增函数．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性与奇偶性，可根据基本初等函数的性质判断．‎ ‎5．设向量，且，则（ ）‎ A．3 B．-2 C．1或-2 D．1或3‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出的坐标，根据即可得出=0，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．‎ ‎【详解】‎ ‎；‎ ‎∵；‎ ‎∴=m(m+1)-2=0；‎ 解得m＝1或﹣2．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量坐标的加法和数量积运算，考查向量垂直的充要条件，属于常考题．‎ ‎6．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】根据,因此只需把函数的图象向左平移个单位长度。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以只需把函数的图象向左平移个单位长度即可得，选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查就三角函数的变换，左加右减只针对，属于基础题。‎ ‎7．若扇形的圆心角为2弧度，它所对的弧长为4,则扇形的面积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据扇形的弧长公式，面积公式计算即可,‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ 选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了扇形的弧长公式，面积公式，属于中档题.‎ ‎8．若函数的定义域为，值域为，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出函数f（x）的图像，由定义域为，值域为，观察图像即可得到|b﹣a|的最小值．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，画出函数f(x)图像， ‎ 令可得x=或x=4，定义域为，值域为，‎ 由图象可知，定义域的最大区间[,4]，最小区间是[,1]，‎ 则的最小值为1-=‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数的图象与性质，其中分析出满足条件的a，b的值，是解答的关键．‎ 二、多选题 ‎9．已知函数有下述四个结论，其中正确的结论是（ ）‎ A． B．是奇函数 C．在上单增 D．对任意的实数a，方程都有解 ‎【答案】ABD ‎【解析】由函数式对每个选项进行判断．‎ ‎【详解】‎ ‎，，A正确；‎ ‎，是奇函数，B正确；‎ 在上是减函数，C错；‎ 由于时，，时，，即的值域是，它又是上的减函数，因此对任意实数，有唯一解，D正确．‎ 故选：ABD．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查函数的值域．利用指数函数性质是解题关键．‎ ‎10．下列命题不正确的是（ ）‎ A．若，则是第二或第三象限角 B．若，则 C．若，则与是终边相同角 D．是第三象限角且 ‎【答案】ABC ‎【解析】根据正弦函数和余弦函数的性质判断每个选项．‎ ‎【详解】‎ 当时，，此时不是象限角，A错；‎ 由于在上不是减函数，因此由得不出，如满足，但，B错；‎ 若满足，但的终边不相同，C错；‎ 是第三象限角，则，，∴，反之，若，则，是第三象限角，D正确．‎ 故选：ABC．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦函数和余弦函数的性质，考查各象限角的三角函数的符号，解题时可结合三角函数定义判断．‎ ‎11．关于函数有下述四个结论，其中正确的结论是（ ）‎ A．是偶函数 B．在上有3个零点 C．在上单增 D．的最大值为2‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】先分析函数的奇偶性，然后化简函数式得出性质．‎ ‎【详解】‎ 由于，∴是偶函数，A正确；‎ 时，，，它在上有两个零点0和，∴它在上有三个零点，B正确；‎ 时，，它在上递减，C错；‎ 由，，及是偶函数，知其最大值是2，D正确．‎ 故选：ABD．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性、单调性，函数的最值与零点．解题时可由函数性质确定函数解析式(或部分解析式)，然后再研究其性质．本题中函数要结合正弦函数性质进行判断．‎ ‎12．下列函数对任意的正数，，满足的有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】根据四个选项中的函数证明不等式成立或举反例说明不成立(举反例时中让)．‎ ‎【详解】‎ A．，‎ ‎，A正确；‎ B．，‎ ‎∴，B正确；‎ C．时，，C错；‎ D．，‎ ‎∴，D正确．‎ 故选：ABD．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦函数、幂函数、指数函数、对数函数的性质，对于函数的性质，正确的需进行证明，错误的可举一反例说明．‎ 三、填空题 ‎13．集合的子集只有两个，则值为____________.‎ ‎【答案】0或 ‎【解析】首先根据子集个数判断集合元素个数，转化为有1个实根求的值.‎ ‎【详解】‎ 若集合有个元素，子集个数是，‎ ‎，‎ 即集合有1个元素，‎ 有1个实根，‎ 当时，，满足条件，‎ 当时，，‎ 解得.‎ 综上，或.‎ 故答案为：或 ‎【点睛】‎ 本题考查根据子集个数求集合元素个数，以及根据元素个数求参数取值范围的问题，属于基础题型，意在考查转化与化归，思考问题的全面性.‎ ‎14．函数定义域为________.‎ ‎【答案】（或用集合形式）‎ ‎【解析】使函数式有意义即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意，解得且 ,∴定义域为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求函数的定义域．函数定义域就是使函数式有意义的自变量的集合 ‎15．如图，在四边形ABCD中，O为BD的中点，且，已知，，则______．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】根据O为BD的中点，即可得出，而根据即可得出，进而可得出，，从而求出，而根据即可得出，这样根据即可得出BD．‎ ‎【详解】‎ 为BD的中点；‎ ‎；‎ 又；‎ ‎；‎ ‎，；‎ ‎；‎ 又，；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎．‎ 故答案为6．‎ ‎【点睛】‎ 考查向量减法和数乘的几何意义，以及向量数量积的运算，向量加法的平行四边形法则．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.‎ ‎16．已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将问题转化为，根据二次函数和分式的单调性可求得在上的最小值和最大值及在上的最大值；分别讨论最大值小于零、最小值小于零且最大值大于零、最小值大于零三种情况，得到每种情况下的最大值，从而得到不等式，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 不等式恒成立可转化为：‎ 当时，，‎ 当时，‎ ‎①若，即时，‎ ‎，解得：（舍）‎ ‎②若，即时，‎ 又，‎ 当，即时，‎ ‎，解得：（舍）‎ 当，即时，‎ ‎，解得： ‎ ‎③若，即时，‎ ‎，解得：（舍）‎ 综上所述：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查恒成立和能成立综合应用的问题，关键是能够将不等式转化为两个函数最值之间的大小关系，从而根据函数的单调性求得函数的最值，通过最值的比较构造不等式求得结果.‎ 四、解答题 ‎17．已知全集.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】(1)当a=2时，求出集合A,B和，然后取并集和交集即可得到答案;(2) 由，可得，结合子集概念即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎（1）当时，，‎ 所以，‎ 所以 ‎（2）因为，所以，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交并补运算，考查集合间关系,子集的应用，属于简单题.‎ ‎18．（1）已知，求的值；‎ ‎（2）计算：.‎ ‎【答案】（1）8‎ ‎（2）2‎ ‎【解析】（1）用诱导公式化简，再分子分母同除以，化为的式子，代入计算；‎ ‎（2）利用及对数的运算法则计算．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）．‎ ‎（2）原式 ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式和同角间的三角函数关系，考查对数的运算法则．属于基础题．‎ ‎19．已知函数是定义在上的奇函数.‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）如果对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）由求得参数值，再检验函数是奇函数．‎ ‎（2）先证明函数是增函数，则可把不等式化为，即对任意恒成立，移项为，由得范围．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即，‎ 即，检验符合要求.‎ ‎（2），‎ 任取，则，‎ 因为，所以，所以，‎ 所以函数在上是增函数.‎ 因为，且是奇函数 所以，‎ 因为在上单调递增，所以对任意恒成立，‎ 即对任意的恒成立 ‎∴，‎ ‎∴实数k的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性，考查利用奇偶性与单调性解函数不等式，注意函数不等式利用函数性质变形转化的一般步骤．‎ ‎20．已知，函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期及对称中心；‎ ‎（2）求函数在上的单调增区间.‎ ‎【答案】（1）‎ 对称中心为，‎ ‎（2），‎ ‎【解析】（1）由向量数量积运算计算，利用三角函数的同角关系、二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求周期和对称中心；‎ ‎（2）由正弦函数性质求出函数的单调增区间，然后确定在上的增区间．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ 所以，该函数的最小正周期；‎ 令，则，所以对称中心为，‎ ‎（2）令，，则 当时，由，解得；‎ 当时，由，解得 所以，函数在上的单增区间是，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积的坐标运算，考查三角函数的同角关系、二倍角公式、两角和的正弦公式，考查三角函数的周期、单调性，对称性．熟练掌握三角函数的性质、三角函数的公式是解题基础．‎ ‎21．如图，某城市拟在矩形区域内修建儿童乐园，已知百米，‎ 百米，点E，N分别在AD，BC上，梯形为水上乐园；将梯形EABN分成三个活动区域，在上，且点B，E关于MN对称．现需要修建两道栅栏ME，MN将三个活动区域隔开．设，两道栅栏的总长度．‎ ‎（1）求的函数表达式，并求出函数的定义域；‎ ‎（2）求的最小值及此时的值.‎ ‎【答案】（1）, ‎ ‎（2）的最小值为百米，此时 ‎【解析】（1）根据对称性得到，，计算得到 ‎，再计算定义域得到答案.‎ ‎（2）化简得到，设，‎ 令，求其最大值得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在矩形ABCD中，，E关于MN对称，‎ ‎，且 在中，‎ 又百米 中，‎ 在中，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，∴函数的定义域为．‎ ‎（2）‎ 令，，‎ 令，‎ 则当，即时取最大值，最大值为百米 的最小值为百米，此时．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的表达式，定义域，最值，意在考查学生的应用能力和计算能力.‎ ‎22．已知二次函数满足下列3个条件：‎ ‎①的图象过坐标原点；②对于任意都有；③对于任意都有.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）令.（其中m为参数）‎ ‎①求函数的单调区间；‎ ‎②设，函数在区间上既有最大值又有最小值，请写出实数p，q的取值范围.（用m表示出p，q范围即可，不需要过程）‎ ‎【答案】（1）；（2）①见解析；②，‎ ‎【解析】（1）过原点说明得，表明函数的对称轴是得，，再由恒成立可求得；‎ ‎（2）①，先分类：和，在每一类去绝对值符号，得出函数的单调性，最后合并成函数在上的单调性；‎ ‎②由于不需要写过程，函数先增后减再增，借助于图象可得（图象可在草稿纸上作出）．‎ ‎【详解】‎ 解：因为，所以.‎ 因为对于任意都有，‎ 所以对称轴为，即，即，所以，‎ 又因为，所以对于任意都成立，‎ 所以，即，所以，.‎ 所以.‎ ‎（2）①，‎ 当时，‎ 若，即，则在上递减，在上递增，‎ 若，即，则在上递增，‎ 当时，，‎ 若，即，则在上递增，在上递减，‎ 若，即，则在上递增，‎ 综上得：‎ 当时，的增区间为，，减区间为；‎ 当时，的增区间为，，减区间为；‎ 当时，的增区间为；‎ ‎②，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求二次函数的解析式，考查含绝对值的函数的单调性．解题时必须掌握分类讨论思想、掌握二次函数性质．‎