内蒙古包钢一中2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

内蒙古包钢一中2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

数学试卷 注意： 1、本试卷共分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案全部答在答题 纸上，考试结束后将答题纸交回. 2、本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、选择题（每小题 5 分，共计 60 分，每小题中只有一个选项是正确的.） 1.直线 的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出直线的斜率，即可求得该直线的倾斜角. 【详解】直线 的斜率为 ，因此，该直线的倾斜角为 . 故选：D. 【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解答的关键就是求出直线的斜率，考查计算能力，属 于基础题. 2.直线 与 平行，则 的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】 根据两直线平行得出关于 的等式与不等式，即可解得实数 的值. 【详解】由于直线 与 平行，则 ，解得 . 故选：A. 3 5 0x y+ − = 30−  60 120 150 3 5 0x y+ − = 1 3 33 k = − = − 150 2 1 0x ay+ − = ( )1 1 0a x ay− − + = a 1 2 1 2 0 0 2− 0 a a 2 1 0x ay+ − = ( )1 1 0a x ay− − + = ( ) ( ) 2 1 1 1 a a a a  − = −− − ≠ 1 2a = 【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题. 3.下列说法正确的是：（ ） （1）使 的值为 的赋值语句是 ； （2）用秦九韶算法求多项式 在 的值时， 的值 ； （3） ； （4）用辗转相除法求得 和 的最大公约数是 . A. （1）（2） B. （2）（3） C. （1）（4） D. （2）（4） 【答案】B 【解析】 【分析】 根据赋值语句可判断（1）的正误；根据秦九韶算法逐项计算可得 的值，进而可判断（2） 的正误；将二进制数和四进制数都化为十进制数，可判断（3）的正误；利用辗转相除法可 判断（4）的正误.综合可得出结论. 【详解】对于（1），赋值语句左边是变量，命题（1）错误； 对于（2）， ，当 时， ， ， ， ，命题（2）正确； 对于（3）， ， ，命题（3） 正确； 对于（4）， ， ， ，所以， 和 的最大公约数为 ，命题（4）错误. 因此，正确命题的序号为（2）（3）. 故选：B. 【点睛】本题考查算法相关命题真假的判断，涉及算法语句、秦九韶算法、进位制以及辗转 相除法，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 4.圆 与圆 的公切线有几条（） A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 【答案】C y 4 2 6y + = ( ) 5 3 22 1f x x x x= − + − 2x = 3v 5 ( ) ( )2 4111010 321> 459 357 61 3v ( ) 5 3 22 1f x x x x= − + − 2x = 0 1v = 1 02 2v v= = 2 12 2 2v v= − = 3 22 1 5v v= + = ( ) 5 4 3 1 2111010 2 2 2 2 58= + + + = ( ) 2 4321 3 4 2 4 1 57= × + × + = 459 357 1 102∴ = × + 357 102 3 51= × + 102 51 2= × 459 357 51 2 2 1 : 2 4 1 0C x y x y+ + + + = 2 2 2 : 4 4 1 0C x y x y+ − − − = 【解析】 【分析】 首先求两圆的圆心距，然后判断圆心距与半径和或差的大小关系,最后判断公切线的条数. 【详解】圆 ，圆心 ， ， 圆 ,圆心 ， ， 圆心距 两圆外切，有 3 条公切线. 故选 C. 【点睛】本题考查了两圆的位置关系，属于简单题型. 5.过点 作一直线与圆 相交于 M、N 两点，则 的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 试题分析：由圆的方程 ，可知圆心 ，半径 ，则点 和圆 心 连线的长度为 ，当过点 和圆心的连线垂直时，所得 弦长最短，由圆的弦长公式可得 ，故选 C. 考点：直线与圆的位置关系及其应用. 6.圆 x2＋y2－2x－8＝0 和圆 x2＋y2＋2x－4y－4＝0 的公共弦所在的直线方程是(　　) A. x＋y＋1＝0 B. x＋y－3＝0 C. x－y＋1＝0 D. x－y－3 ＝0 【答案】C 【解析】 由于两圆的公共弦的端点是两圆的公共交点，既满足一个圆的方程，又满足另一个圆的方程， 把圆 和圆 的方程相减即得公共弦所在的直线 方程为 . ( ) ( )2 2 1 : 1 2 4C x y+ + + = 1C ( )1, 2− − 1 2r = ( ) ( )2 2 2 : 2 2 9C x y− + − = 2C ( )2,2 2 3r = ( ) ( )2 2 1 2 1 2 2 2 5C C = − − + − − = 1 2 1 2C C r r= + ∴ (3,1) 2 2( 1) 9x y− + = MN 2 5 ( )2 21 9x y− + = (1,0)O 3R = ( )3,1 (1,0)O 2 2(3 1) 1 5d = − + = ( )3,1 2 2 2 22 2 3 ( 5) 4l R d= − = − = 2 2 2 8 0x y x+ − − = 2 2 2 4 4 0x y x y+ + − − = 1 0x y− + = 故选 C． 7.过点 且和圆 相切的直线方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】 将圆 的方程化为标准方程，可知点 在圆 外，然后对所求切线的斜率是否存在进行分 类讨论，由圆心到直线的距离等于半径可求得所求切线的方程. 【详解】圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ， ，则点 在圆 外. ①若所求切线的斜率不存在，则切线方程为 ，此时圆心到直线 的距离为 ，合乎 题意； ②若所求切线的斜率存在，设所求切线的方程为 ，即 ， 圆心 到该直线的距离为 ，解得 ，此时所求切线的方程为 . 综上所述，所求切线的方程为 或 . 故选：A. 【点睛】本题考查圆的切线方程的求解，要注意对切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合 圆心到直线的距离等于圆的半径求解，考查计算能力，属于中等题. 8.一组数据 X1，X2，…，Xn 的平均数是 3，方差是 5，则数据 3X1+2，3X2+2，…，3Xn+2 的平均数和方差分别是（） A. 11,45 B. 5,45 C. 3,5 D. 5,15 【答案】A 【解析】 分析】 若 X1，X2，…，Xn 平均数是 ，方差是 ，则数据 的平 【 的 ( )0, 1P − 2 2: 2 4 4 0C x y x y+ − + + = 1 0y + = 0x = 1 0x + = 0y = 1y = 0x = 1 0x − = 0y = C P C C ( ) ( )2 21 2 1x y− + + = ( )1, 2C − 1r = ( ) ( )2 20 1 1 2 1− + − + > P C 0x = 0x = 1 1y kx= − 1 0kx y− − = C 2 1 1 1 kd k += = + 0k = 1 0y + = 1 0y + = 0x = x 2S 1 2 naX b X b X b+ + … +，a ， ，a 均数为 ，方差为 ． 【详解】解：∵一组数据 X1，X2，…，Xn 的平均数是 3，方差是 5， ∴数据 3X1+2，3X2+2，…，3Xn+2 的平均数为 3×3＋2＝11， 方差为： ． 故选 A． 【点睛】本题考查平均数、方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差 的性质的合理运用． 9.下列命题中， 表示两条不同的直线， 、 、 表示三个不同的平面． ①若 ， ，则 ； ②若 ， ，则 ； ③若 ， ，则 ； ④若 ， ， ，则 ． 正确的命题是（　 　） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 对于①，由线面垂直的判定定理知，直线 m 与平面 内的任意一条直线垂直，由 知， 存在直线 内，使 ，所以 ，故①正确；对于②，平面 与平面 可能相交，比如墙角的三个平面，故②错误；对于③，直线 m 与 n 可能相交，可能平行， 可能异面，故错误；对于④，由面面平行的性质定理有 ，正确．故正确命题 为①④，选 C. 10.若直线 与曲线 有两个交点，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】曲线 是以 为圆心， 为半径的半圆，如图所示 ax b+ 2 2Sa 23 5 45× = ,m n α β γ m α⊥ / /n α m n⊥ α γ⊥ β γ⊥ / /α β / /m α / /n α //m n / /α β / /β γ m α⊥ m γ⊥ α n α b α⊂ n b ,m b m n⊥ ⊥ α β mα γ γ⊥ ， ( 2) 4y k x= − + 21 4y x= + - k 5(0, )12 1 3( , ]3 4 5 3( , ]12 4 5( , )12 +∞ 21 4y x= + - ( )01， 2 直线 是过定点 的直线． 设切线 的斜率为 ，切线 的方程为 ，圆心 到直线 的距 离等于半径 ，即 ，解得 直线 的斜率为 ， ， 实数 的取值范围是 故答案选 点睛：根据图象结合题目条件，直线恒过定点，直线与半圆有两个交点，由相切到过点 ， 运用点到直线距离公式即可求出结果 11.已知圆 ，直线 l： ，若圆 上恰有 4 个点到直线 l 的距离 都等于 1，则 b 的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 圆 上恰有 4 个点到直线 l 的距离都等于 1，所以圆心到直线 l： 的距离 小于 1，利用点到直线距离求出 b 的取值范围. ( )2 4y k x= − + ( )2 4， PC 0k PC ( )0y 2 4k x= − + ( )01， PC 2 0 2 0 1 2 4 2 1 k k + − = + 0 5 12k = PA 1k 1 3 4k = ∴ k 5 3 12 4k< ≤ C A 2 2 4x y+ = y x b= + 2 2 4x y+ = ( ) ( )1,1− [ ]1,1− 2, 2 −  ( )2, 2− 2 2 4x y+ = y x b= + 【详解】因为圆 上恰有 4 个点到直线 l 的距离都等于 1，所以圆心到直线 l： 的距离小于 1，因此有 ，故本题选 D. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了数形结合思想. 12.圆 ，过点 作圆的割线 ，则弦 的中点的轨迹方程为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 如图：，设中点为（x,y）,过 A 的斜率为 k，割线 ABC 的方程为: ,中点与圆心 得连线与割线垂直，方程为： ，因为交点就是弦的中点，他在这两条直线上，故 BC 的中点的轨迹方程为： ，所以选 D 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13.统计某产品的广告费用 x 与销售额 y 的一组数据如表： 广告费用 x 2 3 5 6 销售额 y 7 m 9 12 2 2 4x y+ = y x b= + 1 2 2 2 2 b b b< ⇒ < ⇒ − < < 2 2 4x y+ = (4,0)A ABC BC 2 2( 1) 4x y− + = 2 2( 1) 4x y− + = (0 1)x≤ < 2 2( 2) 4x y− + = 2 2( 2) 4x y− + = (0 1)x≤ < ( 4)y k x= − 0x ky+ = ( )2 22 4(0 1)x y x− + = ≤ < 若根据如表提供的数据用最小二乘法可求得 y 对 x 的回归直线方程是 =1.1x+4.6，则数据 中的 m 的值应该是______． 【答案】8 【解析】 由题意， ， ， ∵y 对 x 的回归直线方程是 =1.1x+4.6，∴7+ =4.4+4.6，∴m=8． 故答案 8. 点睛：求解回归方程问题的三个易误点： ① 易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是 一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴 随关系． ② 回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过 点，可能 所有的样本数据点都不在直线上． ③ 利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望 值)． 14.某单位在岗职工 624 人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样方法抽 取 的工人进行调查，首先在总体中随机剔除 4 人，将剩下的 620 名职工编号 分别为 ，若样本中的最小编号是 007，则样本中的最大编号是______ ． 【答案】617 【解析】 第一步：将 624 名职工用随机方式进行编号； 第二步：从总体中剔除 4 人 剔除方法可用随机数法 ，将剩下的 620 名职工重新编号，分 别为 ，并分成 62 组； 第三步：在第一组的十个编号中用简单随机抽样确定起始号码 007； 第四步：将编号为 的个 体抽出，便可得到所要的样本． 故样本中的最大编号是 617， 为 y 4x = 7 4 my = + ˆy 4 m ( ),x y 10% ( 000 001 002 619)…， ， ， ， ( ) 000 001 002 619…， ， ， ， ( ) ( )7 7 10 7 20 7 30 7 1 10 7 62 1 10 617i+ + + … + − × … + − × =， ， ， ， ， ， ， 答案：617． 15.利用分层抽样的方法在学生总数为 800 的年级中抽取 20 名同学，其中抽到的女生人数为 8 人，则该年级男生人数为__________． 【答案】480 【解析】 由于样本容量为 20，则抽到的男生的人数为 12 人，则该年级男生人数为 ×800=480，故 答案为 480． 16.四面体 的四个顶点都在球 的球面上， ， ， ，且平面 平面 ，则球 的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意， ，取 的中点 ，连接 、 ，利用面面垂直的性 质定理得出 平面 ，可得 是四面体 高，即 是直角三角形，且 ， ，即可求解 和 外接圆，利用球心到 、 、 距离等于球的 半径可得答案． 【详解】由题意， ，取 的中点 ，连接 、 ，则 ， ， 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， 是三棱锥 高， 设 ，可得 ， 平面 ， 平面 ， ， 由勾股定理得 ，则 ，解得 ， 的 12 20 PABC O 8PA = 4BC = PB PC AB AC= = = PBC ⊥ ABC O 65π PB PC AB AC= = = BC D PD AD PD ⊥ ABC PD PABC PAD∆ 8PA = 4BC = PA ABC∆ A B C PB PC AB AC= = = BC D PD AD PD BC⊥ AD BC⊥  PBC ⊥ ABC PBC  ABC BC= PD ⊂ PBC PD∴ ⊥ ABC PD∴ P ABC− PB PC AB AC a= = = = 2 4PD AD a= = − PD ⊥ ABC AD ⊂ ABC PD AD∴ ⊥ 2 2 2PD AD PA+ = 22 8 64a − = 6a = 的边长为 ， ，则 ， 的外接圆半径为 ， 设外接球 的半径 ，球心到平面 的距离为 ， 可得 ，解得 ， 因此，球 的表面积为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查面面垂直的性质定理和球的截面的性质的运用，熟记这些定理是解题的关 键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 三、解答题（共 70 分.应写出必要的证明或解答过程） 17.求经过点 并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是 的直线方程. 【答案】 或 【解析】 【分析】 设直线的截距式方程为 ，根据题设得到关于 的方程组，解出 可得直线方 程. 【详解】设直线方程为 ，则 ， 解得 或 ， 故所求的直线方程为： 或 . 【点睛】本题考查直线方程的求法，注意根据题设条件选择合适的直线方程的形式. 18.某校举办了一场主题为“爱诗词、爱祖国”的诗词知识竞赛，从参赛的全体学生中抽出30 人的成绩作为样本.对这 30 名学生的成绩进行统计，并按 、 、 、 ABC∆∴ 6AB AC= = 4BC = 4 2 2 2sin 6 3 ADACB AC ∠ = = = ABC∆ 6 9 2 2sin 42 22 3 ABr ACB = = =∠ × O R ABC h ( ) ( )2 2 22 29 2 4 2 4 24 h h r R   + = − + − =    65 2R = O 24 65Rπ π= 65π ( 2,2)A − 1 2 2 0x y+ − = 2 +2 0x y+ = 1x y a b + = ,a b ,a b 1x y a b + = 1 12 2 2 1 ab a b  =− + = 2 1 a b =  = 1 2 a b = −  = − 2 2 0x y+ − = 2 +2 0x y+ = [ )40,50 [ )50,60 [ )60,70 、 、 分组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中实数 的值； （2）估计参加这次知识竞赛的学生的平均成绩及成绩的中位数（平均成绩用每组中点值做 代表，结果均保留一位小数）. 【答案】（1） ；（2）平均成绩为 分，成绩的中位数为 分. 【解析】 【分析】 （1）利用频率分布直方图的所有矩形的面积之和为 可求得实数 的值； （2）将每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将所得结果相加即可得出样本数据的平 均数，利用中位数左边的矩形面积之和为 可求得中位数的值. 【详解】（1） ， ； （2）平均数 ， 所以，估计参赛学生的平均成绩为 分. 设样本数据的中位数为 ，由 知 ， ，解得 ， 所以，估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数约为 分. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，考查频率直方图中所有矩形面积和的问题以 及利用频率分布直方图求平均数和中位数，考查运算求解能力，属于基础题. 19.某种产品的销售价格 元与销售量 件之间有如下的对应数据： [ )70,80 [ )80,90 [ ]90,100 a 0.010a = 72.5 73.3 1 a 0.5 ( )0.005 0.015 0.020 0.030 0.020 10 1a+ + + + + × = 0.010a∴ = 45 0.05 55 0.15 65 0.2 75 0.3 85 0.2 95 0.1 72.5x = × + × + × + × + × + × = 72.5 b 0.05 0.15 0.2 0.3 0.5+ + + > ( )70,80b∈ ( )0.05 0.15 0.2 70 0.03 0.5b∴ + + + − × = 220 73.33b = ≈ 73.3 x y x 2 4 5 6 8 y 60 55 40 30 15 （1）根据上表提供的数据，求出 关于 的线性回归方程； （2）试根据（1）所得回归方程估计销售价格 为多少时，销售总额最大？（参考公式： ， ） 【答案】（1） ；（2）当销售价格 元时，销售总额最大为 元. 【解析】 【分析】 （1）计算出 和 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求得 和 ，由此可得出 关于 的线性回归方程； （2）销售总额为 ，可求得函数 的解析式，利用二次函数的基本性质即可求 得该函数的最大值及其对应的 的值，即可得解. 【详解】（1）由表知： ， . ∴ ，即 ， 所以线性回归方程是： ； （2）设销售总额为 ，则 ， 因此，当销售价格 元时，销售总额最大为 元. 【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了利用回归直线方程对总体 数据进行估计，考查计算能力，属于基础题. 20.已知直线 经过两条直线 和 的交点，且与直线 垂直. （1）求直线 的方程； y x x y bx a= +   ( )( ) ( ) 1 1 2 22 1 1 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx = = = = − − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑   8 80y x= − + 5x = 200 x y b a y x ( )g x ( )y g x= x ( )1 2 4 5 6 8 55x = × + + + + = ( )1 60 55 40 30 15 405y = × + + + + = 5 1 5 22 1 5 160 8205 i i i i i x y xy b x x = = − = = − = − − ∑ ∑   ( )40 5 8 80a = − × − =  8 80y x= − + ( )g x ( ) ( ) ( )228 80 8 80 8 5 200g x x x x x x= − + = − + = − − + 5x = 200 l 2 3 0x y− − = 4 3 5 0x y− − = 2 0x y+ − = l （2）若圆 的圆心为点 ，直线 被该圆所截得的弦长为 ，求圆 的标准方程. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 试题分析：（1）求出两直线交点，直线 的斜率，即可求直线 的方程；（2）利用待定系 数法求圆 的标准方程. 试题解析：（1）由已知得: , 解得两直线交点为 ， 设直线 的斜率为 ∵ 与 垂直 ∴ ∵ 过点 ∴ 的方程为 ，即 （2）设圆的半径为 ，依题意，圆心到直线的距离为 ，则由垂径定理得 ∴ ∴圆的标准方程为 . 21.已知圆 M 过 C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心 M 在 x+y﹣2=0 上. （1）求圆 M 的方程； （2）设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点，PA，PB 是圆 M 的两条切线，A，B 为切点，求四 边形 PAMB 面积的最小值. 【答案】（1） ;（2） 【解析】 【分析】 （1）假设圆的标准方程，并使用圆的定义，列出式子，简单计算，可得结果. （2）采用数形结合，根据（1）的结论，可得四边形 的面积 ，利用勾股 C (3,0) l 2 2 C 1 0x y− − = ( )2 23 4.x y− + = l l C 2 3 0{4 3 5 0 x y x y − − = − − = (2,1) l 1k l 2 0x y+ − = 1 1k = l (2,1) l 1 2y x− = − 1 0x y− − = r 3 1 2 2 − = 2 2 2( 2) ( 2) 4r = + = 2r = 2 2( 3) 4x y− + = ( ) ( )2 21 1 4x y− + − = 2 5 PAMB 2S PA= 定理，可得 ，然后使用点到直线距离，可得结果. 【详解】（1）设圆 的方程为： ， 根据题意得 ， 故所求圆 M 的方程为： （2）如图 四边形 的面积为 即 又 ，所以 ， 而 ，即 . 因此要求 的最小值，只需求 的最小值即可， 的最小值即为点 到直线 的距离 所以 ， 四边形 面积的最小值为 . 【点睛】本题考查圆的方程以及直线与圆的几何关系，掌握使用待定系数法求解圆的方程， 同时学会使用等价转化的思想，化繁为简，属中档题. 22.如图：在三棱锥 中， 面 ， 是直角三角形， ， 2 4PA PM= − M ( ) ( ) ( )2 2 2 0x a y b r r− + − = > 2 2 2 2 2 2 (1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) (1 ) 1 2 0 2 a b r a a b r b a b r  − + − − = =  − − + − = ⇒ =   + − = = ( ) ( )2 21 1 4x y− + − = PAMB PAM PBMS S S∆ ∆= + ( )1 2S AM PA BM PB= + 2,AM BM PA PB= = = 2S PA= 2 4PA PM= − 22 | | 4S PM= − S PM PM M 3 4 8 0x y+ + = min 3 4 8 35PM + += = PAMB 22 | | 4 2 5PM − = P ABC− PB ⊥ ABC ABC∆ 90B = ∠ ， ，点 、 、 分别为 、 、 的中点. （1）求证： ； （2）求直线 与平面 所成的角的正弦值； （3）求二面角 的正切值. 【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） . 【解析】 【分析】 （1）连接 ，证明出 平面 ，即可证得 ； （2）连接 交 于点 ，由（1）知 平面 ，可得直线 与平面 所成 的角为 ，通过解 ，可计算出 ，进而得出结果； （3）过点 作 于点 ，连接 ，证明出 平面 ，可得出二面角 的平面角为 ，然后解 ，即可计算出 ，进而得出结果. 【详解】（1）连接 ，在 中， . ，点 为 的中点， . 又 平面 ， 平面 ， ， ， 平面 ， 、 分别为 、 的中点， ， 平面 ， 平面 ， ； （2）连接 交 于点 ，由（1）知 平面 ， 为直线 与平面 所成的角，且 平面 ， . 平面 ， 、 平面 ， ， ， 2AB BC= = 45PAB∠ =  D E F AC AB BC EF PD⊥ PF PBD E PF B− − 10 10 5 2 BD EF ⊥ PBD EF PD⊥ BD EF O EF ⊥ PBD PF PBD FPO∠ PFO∆ sin FPO∠ B BM PF⊥ M EM PF ⊥ BEM E PF B− − BME∠ BME∆ tan BME∠ BD ABC∆ 90B = ∠ AB BC= D AC BD AC∴ ⊥ PB ⊥ ABC AC ⊂ ABC AC PB∴ ⊥ BD PB B=  AC∴ ⊥ PBD E F AB BC //EF AC∴ EF∴ ⊥ PBD PD ⊂ PBD EF PD∴ ⊥ BD EF O EF ⊥ PBD FPO∴∠ PF PBD PO ⊂ PBD EF PO∴ ⊥ PB ⊥ ABC BC AB Ì ABC PB AB∴ ⊥ PB BC⊥ 又 ， ， ， ， 在 中， ， 因此，直线 与平面 所成的角的正弦值为 ； （3）过点 作 于点 ，连接 ， ， ， , 平面 ，即 平面 ， 平面 ， ， 又 ， ， 平面 ， 平面 ， ， 所以， 为二面角 的平面角. 在 中， ，所以， . 因此，二面角 的正切值为 . 【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了线面角和二面角的计算，考查 推理能力与计算能力，属于中等题. 45PAB∠ =  2PB AB∴ = = 1 2 4 2OF AC= = 2 2 5PF PB BF∴ = + = Rt FPO∆ 10sin 10 OFFPO PF ∠ = = PF PBD 10 10 B BM PF⊥ M EM AB PB⊥ AB BC⊥ PB BC B∩ = AB∴ ⊥ PBC BE⊥ PBC PF ⊂ PBC PF BE∴ ⊥ PF BM⊥ BE BM B∩ = PF∴ ⊥ BME EM ⊂ BME PF EM∴ ⊥ BME∠ E PF B− − Rt PBF∆ 2 5 BF PBBM PF ⋅= = 1 5tan 2 2 5 BEBME BM ∠ = = = E PF B− − 5 2