2018-2019学年山西省朔州市怀仁一中高一下学期第四次月考数学（理）试题（解析版）
2018-2019学年山西省朔州市怀仁一中高一下学期第四次月考数学（理）试题
一、单选题
1．1和4的等差中项和等比中项分别是（ ）
A．5，2 B．5，－2 C．，4 D．，
【答案】D
【解析】利用等差中项与等比中项的定义分别进行求解即可
【详解】
解：根据等差中项的定义可知，1与4的等差中项为：
根据等比中项的定义可得，1与4的等比中项满足，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了等差数列与等比数列的性质：等差中项与等比中项的定义的应用，解题的关键是要熟练应用定义，还要注意在等比中项的求解中容易漏掉，属于基础题．
2．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，…中，x的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【解析】从已知数列观察出特点：从第三项开始每一项是前两项的和即可求解
【详解】
解：数列1，1，2，3，5，8，，21，34，55 设数列为
故选：．
【点睛】
本题考查了数列的概念及简单表示法，是斐波那契数列，属于基础题．
3．已知点则与同方向的单位向量为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A.
【考点】向量运算及相关概念.
4．已知等差数列的前项和为，若且三点共线（该直线不过原点），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】试题分析：因为三点共线，所以，故，选A.
【考点】1.向量中，三点共线性质；2.等差数列的前项和公式.
5．若,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】试题分析：，故选A.
【考点】两角和与差的正切公式．
6．在中，已知成等差数列，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】根据等差中项的性质列出方程，结合内角和定理求出，由正弦定理和分式的性质求出式子的值．
【详解】
解：，，成等差数列，，
由得，
，由正弦定理得，，
，
故选：．
【点睛】
本题考查正弦定理，等差中项的性质，以及分式的性质综合应用，属于中档题．
7．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可得：，所以.
.
则，
故选B.
8．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4等于( )
A．7 B．8
C．9 D．17
【答案】A
【解析】利用可得的值.
【详解】
，故选A.
【点睛】
数列的通项与前其项和的关系是，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.
9．为等差数列，公差为d，为其前n项和，
,则下列结论中不正确的是（ ）
A．d<0 B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：由已知条件得到，进而利用数列的求和公式，即可作出判定．
详解：由已知条件，
可得，且，
所以，所以A是正确的；
又，所以B是正确的；
，所以C是不正确的；
，所以D是正确的，故选C．
点睛：本题考查了等差数列的前项和公式及其应用，其中灵活应用等差数列的通项公式和前项和公式、性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
10． 在等差数列{an}中，7a5＋5a9＝0，且a5
0，且，
∴，
∵，
∴当n＝6时，Sn取到最小值．选B．
点睛：求等差数列前n项和最值的常用的方法：
①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；
②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；
③将等差数列的前n项和 (A、B
为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值．
11．求值：4cos 50°－tan 40°＝( )
A． B． C． D．2－1
【答案】C
【解析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．
【详解】
4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=
==
===．
故选：C．
【点睛】
本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．
12．在中，角A、B、C的对边分别是、、，且，，则的外接圆直径为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【解析】 ,,
, ,
，选C.
二、填空题
13．________．
【答案】
【解析】根据二倍角公式求解得结果.
【详解】
本题正确结果：
【点睛】
本题考查二倍角公式求值问题，属于基础题.
14．如果数列满足…，，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么________.
【答案】
【解析】由，即是以首项为，公比为2的等比数列前项和，利用等比数列的前项公式可得．
【详解】
解：由题意可得，，且…，，…，是首项为1，公比为2的等比数列，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等比数列的前项和公式，考查了学生的灵活变形能力，属于基础题．
15．在数列{an}中，an＋1=can(c为非零常数)，且前n项和为Sn=3n＋k，则实数k的值为________.
【答案】－
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝3＋k，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)＝3n－3n－1＝2·3n－1.
由题意知{an}为等比数列，
∴a1＝3＋k＝2，
∴k＝－1.
16．已知在中，，，，若有两解，则的取值范围是____．
【答案】
【解析】因为 中，，所以由正弦定理得：，要使三角形有两解，得到 ，且，即，解得，
故的取值范围是， 故答案为.
【方法点睛】本题主要考查正弦定理、利用三角函数有界性求范围，属于难题.求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求范围，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的取值范围即可.
三、解答题
17．设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和，求。
【答案】.
【解析】分析：设出等差数列的首项和公差，利用等差数列的前项和得到关于的方程组，再利用等差数列的前项公式求出的通项，再进行求和．
详解：设等差数列的公差为，首项为，
则
∵，，
∴
即
解得，.
∴
∵，
∴数列是等差数列，其首项为，公差为，
∴.
点睛:本题考查等差数列的通项公式、前项和公式等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.
18．已知，.
（1）当为何值时，与垂直？
（2）当为何值时，与平行？
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由向量垂直的坐标公式得的方程，求解即可；
（2）由向量平行的坐标公式得的方程，求解即可；
【详解】
（1），,
故
（2）因为，
若与平行，则
【点睛】
本题考查向量垂直与平行的坐标运算，是基础题
19．已知数列中的前n项和为，又.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）根据数列的关系即可求数列的通项公式；
（2）先求出数列通项公式，结合等比数列的前项和公式进行求解即可．
【详解】
解：（1）当时，
当时，，也适合上式
数列的通项公式为.
（2）由，得
则数列是首项为2，公比为2的等比数列，
则数列的前项和为：
【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求解以及前项和的计算，根据的关系求出数列的通项公式是解决本题的关键．
20．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角B的大小；
（2）若，试确定的形状.
【答案】（1）（2）为正三角形
【解析】（1）利用正弦定理把所给的式子转化为含有角的式子，再由两角和的正弦公式和内角和定理进行化简，求出角的余弦值，进而求出；
（2）由（1）的结果和余弦定理，求出边之间的关系，进而判断出三角形的形状．
【详解】
解：（1）由已知及正弦定理，有，
即.
所以.
因为，
所以，
即，所以.
（2）由题设及余弦定理得，
，
即.
所以.从而.
由（1）知，
所以.所以为正三角形.
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，实现角边相互转化，是判断三角形的形状常采用的一种方法．
21． 设数列的前项和为，已知
（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并写出关于的表达式；
（Ⅱ）若数列前项和为，问满足的最小正整数是多少?
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）满足的最小正整数为12.
【解析】(I)由当时，，
得.可知数列是以为首项，2为公差的等差数列.
(II),显然裂项求和的方法求和．
解：（Ⅰ）当时，，
得.
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列. ……5分
所以……………………6分
（Ⅱ）
……………10分
由，得，
满足的最小正整数为12. …………………12分
22．已知函数，.
（1）当时，求函数的单调增区间；
（2）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，,若向量与向量共线，求的面积.
【答案】（1）函数的单调增区间为.（2）
【解析】（1）利用辅助角公式将函数进行化简，即可求出函数的单调增区间；
（2）根据向量关系求出结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：（1）
.
由，
得.
，
函数的单调增区间为.
（2）.
又，
，
.
与共线，
，即.
由正弦定理得.
由余弦定理得，
化简得，，.
.
【点睛】
题主要考查三角函数的图象和性质，以及正弦定理余弦定理以及三角形面积公式的应用，综合考查学生运算能力．
