【数学】江西省上高二中2021届高三上学期第一次月考试题（文）

【数学】江西省上高二中2021届高三上学期第一次月考试题（文）

江西省上高二中2021届高三上学期第一次月考数学试题（文）‎ 一、单选题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A B. C． D．‎ ‎2．已知命题“关于的方程无实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．给出以下几个结论：‎ ‎①命题，，则，‎ ‎②命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”‎ ‎③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件 ‎④若，则的最小值为4‎ 其中正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎4．函数（且）的大致图像是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．已知点P为不等式所表示的可行域内任意一点，点，O为坐标原点，则的最大值为（ ）A． B．1 C．2 D．‎ ‎6．已知，，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知双曲线C：（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎8．若直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知区间是关于x的一元二次不等式的解集，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．3‎ ‎10．已知实数a，b满足不等式，则点与点在直线的两侧的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．已知，若实数、满足，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．边长为的两个等边所在的平面互相垂直，则四面体的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知函数的图像经过点，则的最小值为 .‎ ‎14．观察下列等式:‎ ‎…‎ 照此规律, 第n个等式可为 .‎ ‎15．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，则边b的最小值为______.‎ ‎16．关于的方程恰好有3个实数根，则实数的取值范围是__________.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．（本小题10分）已知集合，.‎ ‎（1）若集合，求此时实数的值；‎ ‎（2）已知命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎18．（本小题12分）已知某班的50名学生进行不记名问卷调查，内容为本周使用手机的时间长，如表：‎ 时间长（小时）‎ 女生人数 ‎4‎ ‎11‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎0‎ 男生人数 ‎3‎ ‎17‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎（1）求这50名学生本周使用手机的平均时间长；‎ ‎（2）时间长为的7名同学中，从中抽取两名，求其中恰有一个女生的概率；‎ ‎（3）若时间长为被认定“不依赖手机”，被认定“依赖手机”，根据以上数据完成列联表：‎ 不依赖手机 依赖手机 总计 女生 男生 总计 能否在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系？‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，）‎ ‎19．（本大题12分）在四棱锥中，底面是正方形，与交于点底面分别为中点，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎20．（本小题12分）在平面直角坐标系中，已知曲线(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程 ‎，点在直线上，直线与曲线交于两点．‎ ‎（1）求曲线的普通方程及直线的参数方程；（2）求的面积．‎ ‎21．（本小题12分）已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若函数的值域为，求的最小值.‎ ‎22．（本小题12分）已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，函数在上的最小值为，若不等式有解，求实数的取值范围。‎ 参考答案 ‎1-5．ABBDB 6-10．ACBCA 11-12．CD ‎13． 14．，‎ ‎15．1 16．‎ ‎17．（1），‎ 所以，方程的两根分别为和，‎ 由韦达定理得，解得；‎ ‎（2），由于是的充分条件，则.‎ 当时，，此时不成立；‎ 当时，，‎ ‎，则有，解得；‎ 当时，，‎ ‎，则有，解得.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎18．（1），‎ 所以，这50名学生本周使用手机的平均时间长为9小时．　‎ ‎（2）时间长为的有7人，记为、、、、、、，其中女生记为、、、，从这7名学生中随机抽取两名的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个．‎ 设事件表示恰有一位女生符合要求的事件有：，，，，‎ ‎，，，，，，，共12个．‎ 所以恰有一个女生的概率为．‎ ‎（3）‎ 不依赖手机 依赖手机 总计 女生 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 男生 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 总计 ‎35‎ ‎15‎ ‎50‎ ‎，‎ 不能在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系．‎ ‎19．(1)∵底面，平面，∴，‎ ‎∵，且，∴平面，‎ ‎∵平面，∴， ‎ 在正方形中，与交于点，且，∴，‎ 在中，是中点，∴，‎ ‎∵，∴平面 ； ‎ ‎（2）∵，∴，∵是中点，且底面，‎ ‎∴.‎ ‎20.（1）将曲线，消去参数得，曲线的普通方程为，‎ ‎∵点在直线上，∴，‎ ‎∴，展开得，‎ 又，，∴直线的直角坐标方程为，‎ 显然过点，倾斜角为，∴直线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（2）由（1），将直线的参数方程代入曲线的普通方程得：‎ ‎，整理得，显然，‎ 设对应的参数为，，则由韦达定理得，，‎ 由参数的几何意义得，‎ 又原点到直线的距离为，‎ 因此，的面积为．‎ ‎21，（1）根据题意得原不等式为.‎ 当时，则有，解得，此时；‎ 当时，则有，解得，此时；‎ 当时，则有，解得，此时.‎ 综上所述，不等式的解集为或；‎ ‎（2），当且仅当时等号成立，‎ ‎，，函数的值域为，即.‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号，因此，的最小值为.‎ ‎22．（1）由，‎ 得，‎ ‎①当时，‎ 令，得，‎ 所以，或，即或，‎ 解得或．‎ 令，得，‎ 解得．‎ 所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．‎ ‎②当时，‎ 令，得，由①可知；‎ 令，得，由①可知或．‎ 所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为，．‎ 综上可得，‎ 当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为．‎ 当时，的单调递增区间为；单调递减区间为，．‎ ‎（2）由（1）可知若，则当时，函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，‎ 所以不等式有解等价于有解，‎ 即有解，‎ 设，则，‎ 所以当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 所以的极小值也是最小值，且最小值为，‎ 从而，‎ 所以实数的取值范围为．‎