【数学】2018届一轮复习北师大版直接证明与间接证明、数学归纳法学案

【数学】2018届一轮复习北师大版直接证明与间接证明、数学归纳法学案

第4讲　直接证明与间接证明、数学归纳法 ‎)‎ ‎1．直接证明 直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法．‎ ‎(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．‎ 综合法又称为：由因导果法(顺推证法)．‎ ‎(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．‎ 分析法又称为：执果索因法(逆推证法)．‎ ‎2．间接证明 反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．‎ ‎3．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：‎ ‎(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；‎ ‎(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．‎ ‎1．辨明三个易误点 ‎(1)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论．‎ ‎(2)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．‎ ‎(3)数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：‎ ‎①必须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从n＝k到n＝k＋1增加了哪些项或减少了哪些项．‎ ‎2．证题的三种思路 ‎(1)综合法证题的一般思路 用综合法证明命题时，必须首先找到正 确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论．‎ ‎(2)分析法证题的一般思路 分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．‎ ‎(3)反证法证题的一般思路 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A，即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现．‎ ‎3．明确数学归纳法的两步证明 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．‎ ‎1. 下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有(　　)‎ A．2个　　　　　　　　 B．3个 C．4个 D．5个 ‎　D　 由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确．‎ ‎2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是(　　)‎ A．2k＋2　　 B．2k＋3‎ C．2k＋1 D．(2k＋2)＋(2k＋3)‎ ‎ D/华-资*源%库 ‎3. 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(　　)‎ A．三角形三个内角都不大于60°‎ B．三角形三个内角都大于60°‎ C．三角形三个内角至多有一个大于60°‎ D．三角形三个内角至多有两个大于60°‎ ‎ B ‎4．用数学归纳法证明2n＞2n＋1，n的第一个取值应是______．中·华.资*源%库 ziyuanku.com ‎ 因为n＝1时，21＝2，2×1＋1＝3，2n＞2n＋1不成立；‎ n＝2时，22＝4，2×2＋1＝5，2n＞2n＋1不成立；‎ n＝3时，23＝8，2×3＋1＝7，2n＞2n＋1成立．‎ 所以n的第一个取值应是3.‎ ‎ 3‎ ‎5．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到边a的对角A为钝角的结论，三边a，b，c应满足________．‎ ‎ 由余弦定理cos A＝<0，所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.‎ ‎ a2>b2＋c2中·华.资*源%库 ziyuanku.com ‎　综合法 ‎　已知数列{an}满足a1＝且an＋1＝an－a(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：1<中/华-资*源%库≤2(n∈N*)；‎ ‎(2)设数列{a}的前n项和为Sn，证明：<≤(n∈N*)．‎ ‎【证明】　(1)由Ziyuanku.com题意得an＋1－an＝－a<0，即an＋10.‎ 由00，b>0，且a＋b＝＋.证明：‎ ‎(1)a＋b≥2；‎ ‎(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．‎ ‎【证明】　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.‎ ‎(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.‎ ‎(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得00　　　　　　 B．a2＋b2≥2(a－b－1)‎ C．a2＋3ab>2b2 D．< ‎　B　 在B中，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，‎ 所以a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．‎ ‎4．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　　)‎ A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2‎ B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2‎ C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2中/华-资*源%库 D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2‎ ‎　A　 f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.‎ ‎5．在△ABC中，sin Asin C＜cos Acos C，则△ABC一定是(　　)‎ A．锐角三角形　　 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 ‎　C　 由sin Asin C＜cos Acos C得 cos Acos C－sin Asin C＞0，‎ 即cos(A＋C)＞0，所以A＋C是锐角，‎ 从而B＞，故△ABC必是钝角三角形．‎ ‎6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)‎ A．恒为负值　　 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 ‎　A　 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)－1)．‎ h′(x)＝－x2＋x－1＝.‎ h(x)在(－1，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．‎ h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x)．‎ ‎13．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n)＝________(用n表示)．‎ ‎ f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3，f(5)＝f(4)＋4＝2＋3＋4，f(6)＝f(5)＋5＝2＋3＋4＋5，‎ 猜想f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝(n＞4)．‎ ‎ 5　(n＋1)(n－2)‎ ‎14．设a，b是两个实数，给出下列条件：‎ ‎①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；‎ ‎④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.‎ 其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)‎ ‎ 若a＝，b＝，则a＋b＞1，‎ 但a＜1，b＜1，故①推不出；‎ 若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；‎ 若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故④推不出；‎ 若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故⑤推不出；‎ 对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1，‎ 反证法：假设a≤1且b≤1，‎ 则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，‎ 因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.‎ ‎ ③‎ ‎15．若f(x)的定义域为，值域为(a＜b)，则称函数f(x)是上的“四维光军”函数．‎ ‎(1)设g(x)＝x2－x＋是上的“四维光军”函数，求常数b的值；‎ ‎(2)是否存在常数a，b(a＞－2)，使函数h(x)＝是区间上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ (1)由已知得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，‎ 所以函数在区间上单调递增，由“四维光军”函数的定义可知 ，g(1)＝1，g(b)＝b，‎ 即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.‎ 因为b＞1，所以b＝3.‎ ‎(2)假设函数h(x)＝在区间(a＞－2)上是“四维光军”函数，‎ 因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，‎ 所以有 即 解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．‎ ‎16．设等差数列{an}的公差d＞0，且a1＞0.记Tn＝＋＋…＋.‎ ‎(1)用a1，d分别表示T1、T2、T3，并猜想Tn；‎ ‎(2)用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎ (1)T1＝＝；‎ T2＝＋＝× ‎＝×＝；‎ T3＝＋＋ ‎＝× ‎＝×＝.‎ 由此可猜想Tn＝.‎ ‎(2)证明：①当n＝1时，T1＝，结论成立．‎ ‎②假设当n＝k时(k∈N*)时结论成立，‎ 即Tk＝.‎ 则当n＝k＋1时，Tk＋1＝Tk＋＝＋＝＝.‎ 即n＝k＋1时，结论成立．‎ 由①②可知，Tn＝对于一切n∈N*恒成立．‎