江苏省苏锡常镇2018届高三5月调研（二模）数学（理）试题（含附加题）

江苏省苏锡常镇2018届高三5月调研（二模）数学（理）试题（含附加题）

注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1．本试卷共4页，包含填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间为120分钟．‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置．‎ ‎3．答题时，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其他位置作答一律无效．‎ ‎4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．‎ ‎5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．‎ ‎2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）‎ ‎ 数 学 Ⅰ 试 题 2018.5‎ 方差公式：，其中．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．‎ ‎1． 若复数满足是虚数单位，则的虚部为 ▲ ．‎ ‎2． 设集合，其中，若，则实数 ▲ ．‎ ‎7 8‎ ‎8 2 4 4‎ ‎9 2‎ ‎（第4题图）‎ ‎3． 在平面直角坐标系中，点到抛物线的准线的 距离为 ▲ ．‎ ‎4． 一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶 ‎（第5题图）‎ S¬2x−x2‎ S¬1‎ 输出S 结束 开始 输入x x＜1‎ Y N 图如右图所示，则这五人成绩的方差为 ▲ ．‎ ‎5． 右图是一个算法流程图，若输入值，则输出值的 取值范围是 ▲ ．‎ ‎6． 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以 ‎（第6题图）‎ 钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，‎ 而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若 铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的 正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油 滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的 概率是 ▲ ．‎ ‎7． 已知函数在时取得最大值，则 ▲ ．‎ ‎8． 已知公差为的等差数列的前项和为，若，则 ▲ ．‎ ‎9． 在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为 ▲ ．‎ ‎10． 设△的内角，，的对边分别是，且满足，则 ▲ ．‎ ‎11． 在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则点的纵坐标的取值范围是 ▲ ．‎ Q P O B A ‎（第12题图）‎ ‎12． 如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为 ▲ ．‎ ‎13． 已知函数若存在实数，‎ 满足，则的最大值 是 ▲ ．‎ ‎14． 已知为正实数，且，则的最小值为 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，，‎ A B C D P E ‎（第15题图）‎ ‎，点为棱的中点．‎ ‎（1）若，求证：；‎ ‎（2）求证：//平面．‎ ‎ ▲ ▲ ▲‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）设向量，，求的取值范围．‎ ‎ ▲ ▲ ▲‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔，与桥面均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面上一点到索塔，距离之比为，且对两塔顶的视角为．‎ ‎（1）求两索塔之间桥面的长度；‎ ‎（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．‎ ‎（第17题图（Ⅰ））‎ ‎（第17题图（Ⅱ））‎ P D C B A ‎ ▲ ▲ ▲‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ N D M C B A y x O ‎（第18题图）‎ 如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点，，分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点，直线与直线交于点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若，求直线的方程；‎ ‎（3）求证：为定值． ▲ ▲ ▲‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知函数R．‎ ‎（1）若，‎ ‎ ① 当时，求函数的极值（用表示）；‎ ‎ ② 若有三个相异零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）函数图象上点处的切线与的图象相交于另一点，在点处的切线为，直线的斜率分别为，且，求满足的关系式．‎ ‎ ▲ ▲ ▲‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知等差数列的首项为1，公差为，数列的前项和为，且对任意的，恒成立．‎ ‎（1）如果数列是等差数列，证明数列也是等差数列；‎ ‎（2）如果数列为等比数列，求的值；‎ ‎（3）如果，数列的首项为1，，证明数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和．‎ ‎▲ ▲ ▲‎ ‎2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）‎ 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A，B，C，D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22，23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回.‎ ‎2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．‎ ‎3．答题时，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其他位置作答一律无效．‎ ‎4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．‎ ‎5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．‎ ‎ 数学Ⅱ（附加题） 2018．5‎ ‎21．【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—1：几何证明选讲 如图所示，为⊙的直径，平分交⊙于 点，过作⊙的切线交于点，求证．‎ ‎▲ ▲ ▲‎ B．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵的一个特征值为3，求．‎ ‎▲ ▲ ▲‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数．‎ 以原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为 ‎，已知圆心到直线的距离等于，求的值．‎ ‎▲ ▲ ▲‎ D．选修4—5：不等式选讲 已知实数满足，，求证：．‎ ‎▲ ▲ ▲‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，‎ 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙 做对该题的概率分别为，且三位学生能否做对相互独立，设为这三 位学生中做对该题的人数，其分布列为：‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的数学期望．‎ ‎▲ ▲ ▲‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，若，求实数的值；‎ ‎（2）若，求证：．‎ ‎▲ ▲ ▲‎ ‎2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）‎ 参考答案 一、填空题：‎ ‎1． 2． 3． 4． 5．‎ ‎6． 7． 8． 9． 10．‎ ‎11． 12． 13． 14．‎ 二、解答题 ‎15． 证明：（1）取的中点，连结，‎ 因为，所以△为等腰三角形，所以．……………………2 分 因为，所以△为等腰三角形，所以．……………………4 分 又，所以平面． ……………………6 分 因为平面，所以． ……………………7 分 ‎（2）由为中点，连，则，‎ 又平面，所以平面． ……………………9 分 由，以及，所以，‎ 又平面，所以平面． ……………………11 分 又，所以平面平面， ……………………13分 而平面，所以平面． ……………………14 分 ‎16．解（1）由题意，有， …………………………2 分 ‎ 则，所以． ………………………………4 分 ‎ 因为，所以，‎ ‎ 所以．‎ ‎ 又，所以． …………………………………………………6 分 ‎ （2）由向量，，得 ‎．………8 分 由（1）知，所以，所以．‎ 所以． ……………………………………………………10 分 所以． ……………………………………………12 分 所以．即取值范围是． ……………………14 分 ‎17．解（1）设，，记，则 ‎ ， ………………………………………2 分 ‎ 由， …………………4 分 化简得 ，解得或（舍去）， ‎ 所以，． …………………………………6分 答：两索塔之间的距离AC=500米．‎ ‎（2）设AP=x，点P处的承重强度之和为.‎ 则，且， ‎ 即 ……………………………9 分 ‎（注：不写定义域扣1分）‎ 记，则， …………11 分 令，解得，‎ 当，，单调递减；‎ 当，，单调递增；‎ 所以时，取到最小值，也取到最小值. ……………13 分 答：两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为. …14 分 ‎18. 解（1）由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1.‎ 得 解得 ………………………………………………2 分 所以，椭圆的标准方程为. …………………………………4分 ‎（2）由（1）知，设，‎ 因为，得，所以， ……………………………6 分 代入椭圆方程得或，所以或，‎ 所以的方程为：或. …………………………9 分 ‎（3）设D坐标为(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直线的方程， ‎ 联立椭圆方程得：解得,. …………12 分 由，得直线BD的方程：， ①‎ 直线AC方程为， ②‎ 联立①②得， …………………………………………………………15 分 从而=2为定值. …………………………………………………………16 分 解法2：设D坐标为(x3，y3），‎ 由C,M,D三点共线得，所以， ① ………………10 分 由B,D,N三点共线得，将 代入可得 ‎， ② …………………………………………………12 分 ‎ ①和②相乘得，‎ ‎. ……………………………………………16 分 ‎19. 解：（1）①由及，‎ 得， ……………………………………………………1 分 令，解得或.‎ 由知，，单调递增，‎ ‎，单调递减，，单调递增，‎ ‎……………………………………………………3 分 因此，的极大值为，的极小值为.‎ ‎……………………………………………………4 分 ‎② 当时，，此时不存在三个相异零点；‎ 当时，与①同理可得的极小值为，的极大值为.‎ 要使有三个不同零点，则必须有，‎ 即. …………………………………………………………6 分 不妨设的三个零点为，且，‎ 则，‎ ‎， ①‎ ‎， ②‎ ‎， ③‎ ‎②-①得，‎ 因为，所以， ④‎ ‎…………………………………………………………8 分 同理， ⑤‎ ‎⑤-④得，‎ 因为，所以， ……………………………………9 分 又，所以. ………………………………………10 分 所以，即，即，‎ 因此，存在这样实数满足条件. ………………………………12 分 ‎（2）设A（m，f(m)）,B(n，f(n))，则，，‎ 又，‎ ‎…………………………………………13 分 由此可得，化简得，‎ 因此，， ……………15分 所以，，‎ 所以. …………………………………………………………………16分 ‎20. 解：（1）设数列的公差为，由， ①‎ ‎， ②‎ ‎①-②得， ③ …………………………2 分 即，所以为常数，‎ 所以为等差数列． …………………………………………………………3 分 ‎（2）由③得，即， …………………………4 分 所以是与n无关的常数，‎ 所以或为常数． ………………………………6 分 ‎①当时，，符合题意； …………………………………………7 分 ‎②当为常数时，‎ 在中令，则，又，解得，…8分 所以，‎ 此时，解得．‎ 综上，或． ………………………………………………………10分 ‎（3）当时，， ………………………………………………11分 由（2）得数列是以为首项，公比为3的等比数列，所以，即． …………………………………………………12 分 当时，，‎ 当时，也满足上式，‎ 所以． …………………………………………………13分 设，则，即，‎ 如果，因为为3的倍数，为3的倍数，‎ 所以2也为3的倍数，矛盾． …………………………………………………15 分 所以，则，即．‎ 所以数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和． ……………16 分 ‎2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）‎ 附加题参考答案 ‎21.A 解　连接OE，因为ED是⊙O切线，所以OE⊥ED. ………………3 分 ‎ ‎ 因为OA＝OE，所以∠1＝∠OEA. …………6 分 又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA， …………8 分 所以OE∥AC，∴AC⊥DE． …………………10 分 ‎21.B 解 由，‎ 得的一个解为3，……………3分 代入得， ………………………5分 因为，所以. ………………………………10 分 ‎21.C解 消去参数t，得到圆的普通方程为, ………………3 分 由，得,‎ 所以直线的直角坐标方程为. …………………………………6分 依题意，圆心C到直线的距离等于，即解得.‎ ‎……………………………………………………………10 分 ‎21.D 证明：因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，‎ 所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2. ……………………………………3 分 由柯西不等式：(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2， ………………………………6 分 ‎5(1－c2)≥(1－c)2，‎ 整理得，3c2－c－2≤0，解得－≤c≤1. ……………………………………9 分 所以－≤c≤1. ……………………………………10 分 ‎22. 解（1）由题意，得 …………………………………3 分 又，解得， ………………………………………………………5 分 ‎（2）由题意， ………………………7 分 ‎ ……………………9 分 ‎…………………………………………10 分 ‎23. 解（1）当时，‎ ‎， ‎ ‎……………………………………………………………………1 分 所以 ‎，‎ 所以. ……………………………………………………………………3 分 ‎（2）因为 ‎，‎ 所以，‎ 由题意，‎ 首先证明对于固定的，满足条件的是唯一的.‎ 假设 ‎，‎ 则，而，，矛盾.‎ 所以满足条件的是唯一的. ………………………………………………5分 下面我们求及的值：‎ 因为 ，‎ 显然. ………………………………………………………7 分 又因为，故，‎ 即. …………………………………8分 所以令，‎ ‎，‎ ‎ 则，又， …………………………9 分 所以. ……10分