【数学】2018届一轮复习北师大版专题二数学传统文化的创新应用问题教案

【数学】2018届一轮复习北师大版专题二数学传统文化的创新应用问题教案

专题二 数学传统文化的创新应用问题 高考命题动向，重视数学文化 教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用．比如，在数学中增加数学文化的内容．”因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读．‎ ‎[考情分析]‎ 年份 题型 考查角度 考情分析 ‎2017年高考全国卷Ⅰ 选择题第4题 几何概型 数学文化题是近几年课标全国卷中出现的新题型．预计在高考中，数学文化题仍会以选择题或填空题的形式考查，也不排除以解答题的形式考查，难度适中或容易．‎ ‎2016年高考全国卷Ⅱ 选择题第9题 秦九韶算法 ‎2015年高考全国卷Ⅰ 选择题第4题 勾股数、古典概型 选择题第6题 九章算术、圆锥体积 ‎015年高考全国卷Ⅱ 选择题第8题 更相减损术 预测1：古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题目．‎ 预测2：与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数．‎ 预测3：以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术、阿氏圆等．‎ 预测4：以中外一些经典的数学问题为背景的题目．如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题．‎ 立体几何中的数学文化题 ‎[例1]《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为(　　)‎ A．1丈3尺 B．5丈4尺 C．9丈2尺 D．48丈6尺 ‎[思路分析]　根据圆柱的体积公式，结合题中圆柱的体积和高以及有关单位的数据计算出圆柱的底面半径，再根据圆的周长公式，计算出圆柱底面圆周长．‎ 解析：设圆柱底面圆半径为r尺，高为h尺，依题意，圆柱体积为V＝πr2h＝2 000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即r≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr≈‎ ‎54,54尺＝5丈4尺，则圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B.‎ 答案：B ‎[体会领悟]　本题属于生活中谷物储存问题， 于《九章算术》第五章“商功”，结合立体几何中的基础知识进行设问，强化了数学文化的传承和数学应用意识的培养．我国古代数学强调“经世济用”，涉及的研究大多与实际生活、生产联系紧密，体现出明显的问题式、综合性的特征．立体几何中几何体体积公式是常考内容，例如2014年湖北卷第10题和2015年高考全国卷Ⅰ第6题考查圆锥的体积公式．‎ ‎[例2]　“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是(　　)‎ A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d ‎[思路分析]　观察题目所给直观图，理解题干中有关“牟合方盖”的特征叙述，结合“当其正视图和侧视图完全相同时”这个关键条件作答．‎ 解析：当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.‎ 答案：A ‎[体会领悟]　“牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一．本题取材于“牟合方盖”，通过加工改造，添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度．解题从识“图”到想“图”再到构“图”，考生要经历分析、判断的逻辑过程．另外，我国古代数学中的其他著名几何体，如“阳马”“鳖臑”和“堑堵”等的三视图问题都有可能在高考中考查．‎ ‎[例3]　我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”‎ 是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为(　　)‎ A．4－ B．8－ C．8－π D．8－2π ‎[思路分析]　根据题设所给的三视图，想象出图中所对应几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，再根据祖暅原理和有关数据计算即可．‎ 解析：由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为×(π×12)×2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π，故选C.‎ 答案：C ‎[体会领悟]　祖暅原理是我国古代数学家祖暅提出的一个有关几何求积的著名定理，祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年．人民教育出版社《数学必修2》(A版)第30页“探究与发现”中专门介绍了祖暅原理．本题取材于祖暅原理，考查几何体的三视图和体积计算，既检测了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华民族的优秀传统文化．‎ 数列中的数学文化题 ‎[例4]　《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为(　　)‎ A.钱 B.钱 C.钱 D.钱 ‎[思路分析]　读懂题意，将古代实际问题转化为现代数学问题，本题相当于已知等差数列{an}中，前5项和为5，a1＋a2＝a3＋a4＋a5，求a1.‎ 解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意有解得故选D.‎ 答案：D ‎[体会领悟]　我国古代数学强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为等差数列问题．‎ ‎[例5]　中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　)‎ A．192里 B．96里 C．48里 D．24里 ‎[思路分析]　读懂题意，将古代实际问题转化为现代数学问题，本题相当于：已知等比数列{an}中，公比q＝，前6项和S6＝378，求a2.‎ 解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q＝，依题意有＝ 378，解得a1＝192，‎ 则a2＝192×＝ 96，即第二天走了96里，故选B.‎ 答案：B ‎[体会领悟]　与等差数列一样，我国古代数学涉及等比数列问题也有很多，因此，涉及等比数列的数学文化题也频繁出现在各级各类考试试卷中．解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比数列的概念、通项公式和前n项和公式．‎ ‎[例6]　意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则是斐波那契数列中的第________项．‎ ‎[思路分析]　本题先根据题意明确该数列的递推公式，再依据所给式子中项的特点把递推公式恰当变形得出结论．‎ 解析：依题意得a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，an＋1·an＋2＝a＋anan＋1，则a2 015a2 016＝a＋a2 014a2 015，‎ a2 014·a2 015＝a＋a2 013a2 014，a2 013a2 014＝a＋a2 012a2 013，…，a2a3＝a＋a1a2，‎ 又a＝a1a2，因此a2 015a2 016＝a＋a＋a＋…＋a＋a，即＝a2 016，‎ 即是斐波那契数列中的第2 016项．‎ 答案：2 016‎ ‎[体会领悟]　该题的命制以人民教育出版社《数学必修5》(A版)第32页“阅读与思考”中的“斐波那契数列”为背景，考查考生灵活处理递推数列问题的能力和转化与化归能力．斐波那契数列有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛应用．在高考中，也曾经很多次考查斐波那契数列问题．‎ 算法中的数学文化题 ‎[例7]　如图所示程序框图的算法思路 于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为8,12，则输出的a＝(　　)‎ A．4 B．2‎ C．0 D．14‎ ‎[思路分析]读懂程序框图，按程序框图依次执行即可．‎ 解析：由程序框图输入的a＝8，b＝12，按程序框图所示依次执行，可得b＝12－8＝4，a＝8；a＝8－4＝4，b＝4，a＝b，所以输出a＝4.故选A.‎ 答案：A ‎[体会领悟]《九章算术》系统总结了我国古代人民的优秀数学思想，开创了构造算法以解决各类问题的东方数学发展的光辉道路，这与当今计算机 学的飞速发展对数学提出的要求不谋而合．本题程序框图的算法思路 于《九章算术》中计算两个正整数的最大公约数的“更相减损术”算法，2015年高考全国卷Ⅱ第8题也是此类问题．‎ ‎[例8]　秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州安岳(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4,3，则输出v的值为(　　)‎ A．20 B．61‎ C．183 D．548‎ ‎[思路分析]读懂程序框图，按程序框图依次执行即可．‎ 解析：初始值n，x的值分别为4,3，程序运行过程如下：‎ v＝1，i＝3≥0，v＝1×3＋3＝6，i＝2≥0；‎ v＝6×3＋2＝20，i＝1≥0；‎ v＝20×3＋1＝61，i＝0≥0；‎ v＝61×3＋0＝183，i＝－1＜0，结束循环，此时输出v的值为183.故选C.‎ 答案：C ‎[体会领悟]　秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的求值问题的算法．其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．本题程序框图的算法思路 于《数书九章》中多项式求值的“秦九韶算法”．‎ ‎[例9]　公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为________．(参考数据：sin15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)‎ ‎[思路分析]　读懂程序框图，按程序框图依次执行即可．‎ 解析：n＝6，S＝×6×sin 60°＝≈2.598＜3.1，不满足条件，进入循环；n＝12，S＝×12×sin 30°＝3＜3.1，不满足条件，继续循环；n＝24，S＝×24×sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6＞3.1，满足条件，退出循环，输出n的值为24.‎ 答案：24‎ ‎[体会领悟]　更相减损术、秦九韶算法和割圆术分别在人民教育出版社《数学必修3》(A版)第36页，第37页，第45页“算法案例”中出现．其中更相减损术和秦九韶算法分别在2015年和2016年高考全国卷Ⅱ中考过，因此以后全国卷考查割圆术的可能性较大．‎ 概率统计中的数学文化题 ‎[例10]欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________．‎ ‎[思路分析]将实际问题转化为数学中的几何概型问题，关键是要求出铜钱的面积和中间正方形孔的面积，然后代入几何概型计算公式进行求解．‎ 解析：依题意，所求概率为P＝＝.‎ 答案： ‎[体会领悟]　从中国古代文学作品中选取素材考查数学问题，丰富了数学文化题的取材途径．试题插图的创新是本题的一个亮点，其一，增强了数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果；其三，探索了数学试题插图的新形式，给出了如何将抽象的数学问题直观化的范例．‎ 三角函数中的数学文化题 ‎[例11]　‎ 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan (θ＋)＝________.‎ ‎[思路分析]　本题先根据题意确定大、小正方形的边长，再由直角三角形中锐角的三角函数值确定角θ满足的条件，由此依据相关的三角函数公式进行计算即可．‎ 解析：依题意得大、小正方形的边长分别是5,1，于是有5sin θ－5cos θ＝1(0＜θ＜)，即有sin θ－cos θ＝.从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝，则sin θ＋cos θ＝，因此sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝，‎ 故tan(θ＋)＝＝－7.‎ 答案：－7‎ ‎[体会领悟] 1700多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补”原理使得勾股定理的证明不证自明．该题取材于第24届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，流露出丰富的文化内涵．既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如正方形四边相等寓言各国及 宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，表明各国数学家要密切合作交流，等等．‎ 不等式中的数学文化题 ‎[例12]　设a＞0，b＞0，则为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，AC＝a，CB＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数，线段________的长度是a，b的调和平均数．‎ ‎[思路分析]将线段OD，CD融入相关直角三角形中，利用三角形相似进行计算，再结合调和平均数的定义即可得到正确结果．‎ 解析：因为Rt△DEC∽Rt△DCO，所以＝，从而DE＝.依题意可得OD＝，CD＝ ‎，所以DE＝，即线段DE的长度是a，b的调和平均数．‎ 答案：DE ‎[体会领悟]　早在4世纪，古希腊数学家帕波斯在其代表作《数学汇编》第3卷第2部分就给出了算术平均、几何平均、调和平均三种平均数的理论．嵌入几何意义考查不等式，凸显经典数学名题的深邃内涵和命题专家的过人之处．‎ 解析几何中的数学文化题 ‎[例13]　2016年1月14日，国防 工局宣布，“嫦娥四号”任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式 实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：‎ ‎①a1＋c1＝a2＋c2； ②a1－c1＝a2－c2；‎ ‎③＜； ④c1a2＞a1c2.‎ 其中正确式子的序号是(　　)‎ A．①③ B．①④‎ C．②③ D．②④‎ ‎[思路分析]　注意到椭圆Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P和一个焦点F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，因此可以从椭圆的焦距入手求解．‎ 解析：观察图形可知a1＋c1＞a2＋c2，即①式不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；由a1－c1＝a2－c2＞0，c1＞c2＞0，知＜，即＜，从而c1a2＞a1c2，＞，即④式正确，③式不正确．故选D.‎ 答案：D ‎[体会领悟]　命题者抓住“嫦娥奔月”‎ 这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运．本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于应用之中的好题．‎