四川省资阳市2013届高三第二次高考模拟考试数学（理）试题 （2013资阳二模）

四川省资阳市2013届高三第二次高考模拟考试数学（理）试题 （2013资阳二模）

资阳市2012—2013学年度高中三年级第二次高考模拟考试 数 学（理工农医类）‎ 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．全卷共150分，考试时间为120分钟．‎ ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．‎ ‎2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． ‎ ‎3．考试结束时，监考人将第Ⅰ卷的机读答题卡和第Ⅱ卷的答题卡一并收回．‎ 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式 ‎ ‎ 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 ‎ 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 ‎ n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．‎ ‎1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={3，5}，则 ‎（A）{3} （B）{4，5} （C）{3，4，5} （D）{1，4，5}‎ ‎2．函数的图象大致是 ‎ ‎3．下列命题是真命题的是 ‎（A）是的充要条件 （B），是的充分条件 ‎（C）， （D），‎ ‎4．已知直线l，m和平面α， 则下列命题正确的是 ‎（A）若l∥m，mα，则l∥α （B）若l∥α，mα，则l∥m ‎（C）若l⊥α，mα，则l⊥m （D）若l⊥m，l⊥α，则m∥α ‎5．若双曲线的渐近线与圆（）相切，则 ‎（A）5 （B） （C）2 （D）‎ ‎6．下列不等式成立的是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎7. 执行右图所示的程序框图（其中表示不超过x的最大整数），则输出的S值为 ‎（A）7‎ ‎（B）6 ‎ ‎（C）5 ‎ ‎（D）4‎ ‎8．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料l千克、B原料‎2千克；生产乙产品l桶需耗A原料‎2千克，B原料‎1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 ‎ （A）2200元 （B）2400元 ‎ ‎ （C）2600元 （D）2800元 ‎9．由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是 ‎（A）36 （B）48 （C）60 （D）72‎ ‎10．已知定义在上的函数则 ‎（A）函数的值域为 ‎（B）关于x的方程（）有2n＋4个不相等的实数根 ‎（C）当（）时，函数的图象与x轴围成的面积为2‎ ‎（D）存在实数，使得不等式成立 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)‎ 注意事项：‎ ‎1．第Ⅱ卷共2页，请用‎0.5mm的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，不能直接答在此试题卷上．‎ ‎2．答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚．‎ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案直接填在题目中的横线上．‎ ‎11．已知i是虚数单位，x，y∈R，若，则___________．‎ ‎12．若二项式的展开式中含项的系数为，则实数 ．‎ ‎13．已知右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 . ‎ ‎14．椭圆C：（）的右焦点为F，直线与椭圆C交于A、B两点，且，则椭圆C的离心率为 ． ‎ ‎15．如图，在平面斜坐标系xOy中，，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是x轴，y轴同方向的单位向量），则P点的斜坐标为(x，y)，向量的斜坐标为(x，y)．给出以下结论：‎ ‎①若，P(2,－1)，则；‎ ‎②若，，则；‎ ‎③若，，则；‎ ‎④若，以O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为．‎ 其中所有正确的结论的序号是______________．‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．‎ ‎（Ⅰ）求角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求a＋b的最大值.‎ ‎17．（本小题满分12分）某部门对当地城乡居民进行了主题为“你幸福吗?”的幸福指数问卷调査，并在已被问卷调查的居民中随机抽选部分居民参加“幸福职业”或“幸福愿景”的座谈会，被邀请的居民只能选择其中一场座谈会参加．已知A小区有1人，B小区有3人收到邀请并将参加一场座谈会，若A小区已经收到邀请的人选择参加“幸福愿景”座谈会的概率是， B小区已经收到邀请的人选择参加“幸福愿景”座谈会的概率是．‎ ‎（Ⅰ）求A、B两个小区已收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等的概率；‎ ‎（Ⅱ）在参加“幸福愿景”座谈会的人中，记A、B两个小区参会人数的和为，试求的分布列和数学期望．‎ ‎18．（本小题满分12分）在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，侧棱AA1⊥面ABC，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；‎ ‎（Ⅱ）求二面角E－BC1－D的余弦值．‎ ‎19．（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，（），（其中）．‎ ‎（Ⅰ）当t为何值时，数列是等比数列？‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设，若在数列中，有，，…，，…成立，求实数λ的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分13分）若抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于x轴对称，且经过点．‎ ‎（Ⅰ）若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在该抛物线上，求该等边三角形的边长；‎ ‎（Ⅱ）过点M作抛物线C的两条弦，设所在直线的斜率分别为, 当变化且满足时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．‎ ‎21．（本小题满分14分）已知函数，（其中）．‎ ‎（Ⅰ）求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间内有两个零点，求正实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）求证：当时，．（说明：e是自然对数的底数，e=2.71828…）‎ 资阳市2012—2013学年度高中三年级第二次高考模拟考试 数学（理工农医类）参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．‎ ‎1－5. CABCB；6－10.DADCC.‎ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．3； 12．； 13．；14．；15．①②④．‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．解析 （Ⅰ）由及正弦定理，‎ 得（），‎ ‎∴，∵△ABC是锐角三角形，‎ ‎∴． 6分 ‎（Ⅱ）∵，，由余弦定理，，即．‎ ‎ 8分 ‎∴，即，‎ ‎∴，当且仅当取“=”，故的最大值是4． 12分 ‎17．解析 （Ⅰ）记“A、B两小区已经收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等”为事件A，则． 4分 ‎（Ⅱ）随机变量的可能值为0，1，2，3，4．‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎．（每对一个给1分） 9分 的分布列如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ 10分 ‎∴的数学期望． 12分 ‎18．（Ⅰ）证明：取的中点M，，‎ 为的中点，又为的中点，∴， ‎ 在三棱柱中，分别为的中点，‎ ‎，且，‎ 则四边形A1DBM为平行四边形，，‎ ‎，又平面，平面，‎ 平面． 6分 ‎（Ⅱ）连接DM，分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，‎ ‎∴，，． ‎ 设面BC1D的一个法向量为，面BC1E的一个法向量为，‎ 则由得取，‎ 又由得取，‎ 则，‎ 故二面角E－BC1－D的余弦值为． 12分 ‎19．解析 （Ⅰ）由，得（），‎ 两式相减得，即， 2分 ‎∴，‎ 则（）， 4分 由，又，则，‎ 又∵数列是等比数列，∴只需要，∴．‎ 此时，数列是以为首项，为公比的等比数列． 6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴， 8分 ‎，‎ 由题意得，则有，‎ 即，‎ ‎∴， 10分 而对于时单调递减，则的最大值为，‎ 故． 12分 ‎20．解析 （Ⅰ）根据题意，设抛物线C的方程为，点的坐标代入该方程，得，故抛物线C的方程为． 2分 设这个等边三角形OEF的顶点E，F在抛物线上，且坐标为，．‎ 则，，又，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，因，，‎ ‎∴，即线段EF关于x轴对称．‎ 则，所以，‎ 即，代入得，‎ 故等边三角形的边长为． 6分 ‎（Ⅱ）设、，则直线MA方程，MB方程，‎ 联立直线MA方程与抛物线方程，得消去x，‎ 得，‎ ‎∴， ①‎ 同理， ②‎ 而AB直线方程为，消去x1，x2，得，‎ 化简得即 ③‎ 由①、②，得y1+y2＝，，‎ 代入③，整理得．‎ 由得故直线AB经过定点(5，－6). 13分 ‎21．解析 （Ⅰ），‎ ‎∴（，），‎ 由，得，由，得，‎ 故函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以函数的极小值为，无极大值． 4分 ‎（Ⅱ）函数，‎ 则，‎ 令，∵，解得，或（舍去），‎ 当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增．‎ 函数在区间内有两个零点，‎ 只需即∴‎ 故实数a的取值范围是． 9分 ‎（Ⅲ）问题等价于．由（Ⅰ）知的最小值为．‎ 设，得在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎∴，‎ ‎∵=，‎ ‎∴，∴，故当时，． 14分