数学理卷·2018届四川省广安、眉山毕业班第一次诊断性考试

数学理卷·2018届四川省广安、眉山毕业班第一次诊断性考试

高中2018届毕业班第一次诊断性考试 数学（理工类）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，函数的定义域为，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2.若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎4. 的展开式中，的系数为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：‎ 根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ）‎ A．样本中的男生数量多于女生数量 B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量 ‎ C. 样本中多数男生喜欢手机支付 D．样本中多数女生喜欢现金支付 ‎6.已知是边长为的等边三角形，点在边上，且，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎8.从这个数字中选个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被整除的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知定义在上的函数满足，当时，；当时，，则函数的零点个数是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 已知椭圆的左焦点为轴上的点在椭圆外，且线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知是球的直径，是球球面上的两点，且，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为 A． B．或 C. 或 D．或或 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知，则 ．‎ ‎14.已知直线与圆相交于两点，若，则实数的值为 ．‎ ‎15. 如图，已知是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形（其中为直角顶点），则点的横坐标为 ．‎ ‎16. 如图，已知是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形（其中为直角顶点），则点的横坐标为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求满足不等式的最小正整数.‎ ‎18. 在中，内角所对的边分别为，已知的面积为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎19. 全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平.某部门在该市年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与”的评分值（满分分）进行了统计，制成如图所示的散点图：‎ ‎（1）根据散点图，建立关于的回归方程；‎ ‎（2）从该市的市民中随机抽取了容量为的样本，其中经常参加体育锻炼的人数为，以频率为概率，若从这名市民中随机抽取人，记其中“经常参加体育锻炼”的人数为，求的分布列和数学期望.‎ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.‎ ‎20. 如图，是棱形，与相交于点，平面平面，且是直角梯形，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）若函数有两个零点，求的取值范围，并证明.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），其中.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线与交于两点，记点相应的参数分别为，当时，求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知不等式的解集.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求证：.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BBDBD 6-10:BADCC 11、12：DA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）由，‎ 有，又，‎ 所以时，‎ ‎.‎ 当时，也满足，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以 令，解得，‎ 所以满足不等式的最小正整数为.‎ ‎18. 解：（1）由的面积为，得.‎ 因，所以，‎ 所以，得，‎ 又，‎ 由余弦定理得：，‎ 所以.‎ ‎（2）法一：由（1）中.‎ 解得，‎ 由正弦定理得：，‎ 所以，‎ 法二：由（1）有，‎ 所以.‎ 由正弦定理得，‎ 所以.‎ ‎19. 解：（1）由题，，‎ 则 ‎.‎ ‎.‎ 则.‎ 所以运动参与关于的回归方程是.‎ ‎（2）以频率为概率，从这名市民中随机抽取人，经常参加体育锻炼的概率为，由题，的可能取值为.‎ 则 .‎ 分布列如下：‎ 数学期望或.‎ ‎20.（1）证明：在棱形中，可得，‎ 因为平面平面，且交线为，‎ 所以平面，‎ 因为平面，所以.‎ ‎（2）直角梯形中，由，得平面.‎ 取的中点，以为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则.‎ 所以.‎ 设平面的法向量，‎ 由，可取 由.‎ 设平面的法向量为，‎ 同上得，可取.‎ 则，‎ 即二面角的余弦值为.‎ ‎21.解：（1）由得，‎ 当时，，若；若，‎ 故当时，在处取得的极大值；函数无极小值.‎ ‎（2）当时，由（1）知在处取得极大值，且当趋向于时，趋向于负无穷大，又有两个零点，则，解得.‎ 当时，若；若；若，则在处取得极大值，在处取得极小值，由于，则仅有一个零点.‎ 当时，，则仅有一个零点.‎ 当时，若；若；若，则在处取得极小值，在处取得极大值，由于，则仅有一个零点.‎ 综上，有两个零点时，的取值范围是.‎ 两零点分别在区间和内，不妨设.‎ 欲证，需证明，‎ 又由（1）知在单调递减，故只需证明即可.‎ ‎，‎ 又，‎ 所以，‎ 令，则，‎ 则在上单调递减，所以，即，‎ 所以.‎ ‎22.解：（1）的普通方程：，其中；‎ 的直角坐标方程：.‎ ‎（2）由题知直线恒过定点，又，‎ 由参数方程的几何意义知是线段的中点，曲线是以为圆心，半径的圆，且.‎ 由垂径定理知：.‎ ‎23.解：（1）当时，不等式即为，解得；‎ 当时，不等式即为，解得；‎ 当时，不等式即为，此时无解，‎ 综上可知，不等式解集.‎ ‎（2），‎ 欲证，‎ 需证，‎ 即证，即，‎ 即证，‎ 因为，‎ 所以显然成立.‎ 所以成立.‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎