江苏省南京市江宁高级中学2013届高三上学期期中考试数学试题

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南京市江宁高级中学2013届高三上学期期中考试 数学 2012.11.22‎ 班级 学号 姓名 ‎ 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1. 已知是虚数单位，复数，则等于 ．‎ ‎2.“”是“成等比数列”的__必要不充分 _条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”之一） 。‎ ‎3. 已知的方差是3，则的标准差为 ．‎ ‎ a←1‎ ‎ b←1‎ ‎ i←4‎ ‎ WHILE i≤6‎ ‎ a←a+b ‎ b←a+b ‎ i←i+1‎ ‎ END WHILE ‎ PRINT b ‎ 程序运行结果是 ‎ ‎4. 从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为 ．‎ ‎5. 右图程序运行结果是 21 ．‎ ‎6. 等差数列的公差，且依次成等比数列，则=___2____.‎ ‎7. 已知与，若两直线平行，则的值为 ‎8.在中，内角所对的边分别是，若，边上的中线的长为，则=__9_____. ‎ ‎9.已知数列是等差数列，O为坐标原点，平面内三点共线，且，则数列的前2012项的和=__1006_____. ‎ ‎10. 一块边长为‎10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x=‎6cm时，该容器的容积为__48___.‎ ‎11. 外接圆的半径为，圆心为，且，，则 3 ．‎ ‎12. 设点分别为椭圆的左，右两焦点，直线为右准线．若在椭圆上存在点，使，，点到直线的距离成等比数列，则此椭圆离心率的取值范围是_____ _． ‎ ‎13.设曲线在点处的切线为,曲线在点 处的切线为.若存在,使得,则实数的取值范围为 ．‎ ‎14. 若实数成等差数列，点在动直线上的射影为，点，‎ 则线段长度的最大值是 ．‎ 二.解答题（本大题共6小题，共90分）‎ A B C C1‎ B1‎ A1‎ F D E ‎（第16题）‎ O M ‎15. （本小题满分14分）如图，直三棱柱中，、分别是棱、的中点，点在棱上，已知，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）设点在棱上，当为何值时，平面平面？‎ 解：（1）连接交于，连接．‎ 因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，．‎ 从而OF//C1E．OF面ADF，平面，所以平面．‎ ‎（2）当BM=1时，平面平面．‎ 在直三棱柱中，由于平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面ABC．由于AB=AC，是中点，所以．又平面B1BCC1∩平面ABC=BC， 所以AD平面B1BCC1．而CM平面B1BCC1，于是ADCM．因为BM =CD=1，BC= CF=2，所以≌，所以CMDF． DF与AD相交，所以CM平面．CM平面CAM，所以平面平面．当BM=1时，平面平面．‎ ‎16. （本小题满分14分） 在中，角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）设求的面积．‎ ‎（1）；（2）．‎ ‎17. （本小题满分14分）已知{}是等差数列,其前项和为,{}是等比数列,且=,,.‎ ‎(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记,,证明.‎ ‎(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由,得,由条件得方程组,故 ‎ ‎（2）‎ ‎18. (本小题满分16分)已知三条直线，和，且与的距离是；（1）求：的值；（2）能否找到一点P同时满足下列三个条件：① P是第一象限的点；②点P到的距离是点P到的距离的；③点P到的距离与点P到的距离之比是？若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由。‎ 解：；‎ ‎19. (本小题满分16分)已知函数.‎ ‎ （1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎ （2) 当a >0时，求函数在上最小值.‎ ‎19、解： (Ⅰ) (), …………………2分 ‎①由，得 …………………4分 ‎②由，得 ……………………………6分 故函数的单调递增区间为,单调减区间是. ……………… 8分 ‎(Ⅱ)①当,即时,函数在区间[1,2]上是减函数,‎ ‎∴的最小值是. ………………10分 ‎ ‎②当，即时，函数在区间[1,2]上是增函数，‎ ‎∴的最小值是. 　　　　　　　　 ………………12分 ‎③当，即时，函数在上是增函数，在是减函数．‎ 又，‎ ‎∴当时,最小值是；‎ 当时,最小值为.　 ………………15分　　　　　　‎ 综上可知,当时, 函数的最小值是；当时，函数的最小值是.　　　　　　　　　　　　　 　 ………………16分 ‎20. (本小题满分16分).已知数列和满足： =λ, =其中λ为实数，n为正整数.为数列的前项和.‎ ‎（1）对任意实数λ，证明:数列不是等比数列；‎ ‎（2）对于给定的实数λ，试求数列的通项公式，并求；‎ ‎（3）设（为给定的实常数）,是否存在实数λ，使得对任意正整数，都有?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.‎ 解：（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有, ‎ 即（）2=矛盾.‎ 所以不是等比数列. ----------------------- 4分 ‎（2）因为 ‎ ‎ 当时，,由上可知，‎ ‎∴. ‎ 故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列 。，‎ 当时，， ------------------------------ 8分 ‎（3）由（2）知，当时，，,不满足题目要求. ‎ ‎∴ ‎ 要使对任意正整数成立，‎ 即 ‎ ‎ ‎ 当为正奇数时，‎ ‎∴的最大值为, 的最小值为, ‎ 于是，由①式得<-< ‎ 当时，由，不存在实数满足题目要求； ‎ ‎ 当存在实数λ，使得对任意正整数,都有,且λ的取值范围是. ----------------------------- 16分