2018-2019学年山西大学附属中学高二下学期5月模块诊断 数学（文） word版
山西大学附中
2018～2019 学年高二第二学期 5 月（总第四次）模块诊断
数学试题（文科）
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一． 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的.）
1.复数 的虚部为( )
A. B. C.2 D.-2
2.下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．某校高二 8 个班，1 班有 51 人，2 班有 53 人，3 班有 52 人，由此推测各班人数都超过 50
人
B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分
D．在数列 中， ， ，由此归纳出 的通项公式
3．点 的直角坐标为 ，则点푃的极坐标可以为（ ）
A． B． C．
D．
4.在建立两个变量 与 的回归模型中，分别选择了 4 个不同的模型，结合它们的相关指
数 判断，其中拟合效果最好的为（ ）
A. 模型 1 的相关指数 为 0.85 B. 模型 2 的相关指数 为 0.25
C. 模型 3 的相关指数 为 0.7 D. 模型 4 的相关指数 为 0.3
5.已知函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是
( )
A． B． C． D.
6.在极坐标系中，点 到直线 的距离是( )
A． B． C． D．
7．已知 的值如下表所示：如果 与 呈线性相关且回归直线方程为 ，
则 （ ）
2 3 4 5
5 4 7
A． B． C． D．
iz 21−=
i2 i2−
}{ na 11 =a
+=
−
−
1
1
1
2
1
n
nn aaa }{ na
P ( )3,3−
3
2,32
π
6
5,32
π
−
6
5,32
π
−
3
2,32
π
( ) 136 23 +−+= xxaxxf ( )2,1 a
( )3,−∞− ( ]3,−∞−
−∞−
4
7,
−−
4
7,3
6,2
π
16sin =
− πθρ
5 3 1 2
yx, y x 2
7
7
4 += xy
=m
x
y m
14
81 6 7 5
8.若函数 满足 ，则 的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．－1
9.已知 ， 为 的导函数，则 的图像是 （ ）
A. B.
C. D.
10．设 是奇函数 的导函数，且 ，当 时，有
，则使得 成立的 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数 恰有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数 ，若函数 的图象上存在点
，使得 在点 处的切线与 的图象也相切，则푎的取
值范围是( )
A. B. C. D.
二.填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.）
13.设复数 满足 ，则 ________.
14．圆 被直线 截得的弦长为__________．
15. 观察下列等式
照此规律，第 个等式为_______________________________．
16.已知函数 （ 为自然对数的底数），若 ，使得
成立，则 的取值范围为__________________.
( )xf ( ) ( ) xxfxxf −′−= 23 13
1 ( )2f ′
( ) xxxf cos2
1 2 −= ( )xf ′ ( )xf ( )xf ′
( )xf ′ ( )( )Rxxf ∈ ( ) 02 =f 0>x
( ) ( ) 02 >−′ xfxfx ( ) 0
a
三.解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（本小题 10 分）已知 为实数，设复数 .
（1）当复数 为纯虚数时，求 的值；
（2）当复数 对应的点在直线 的下方，求 的取值范围。
18. （本小题 12 分） 为了解人们对“延迟退休年
龄政策”的态度，某部门从年龄在 15 岁到 65 岁的
人群中随机调查了 100 人，并得到如图所示的频率
分布直方图，在这 100 人中不支持“延迟退休年龄
政策”的人数与年龄的统计结果如表所示：
年龄 不支持“延迟退休年龄政策”的人数
15
5
15
23
17
（1）由频率分布直方图，估计这 100 人年龄的平均数；（写出必要的表达式）
（2）根据以上统计数据补全下面的 列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过
的前提下，认为以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差
异？
45 岁以下 45 岁以上 总计
不支持
支持
总计
附：临界值表、公式:
0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
，其中
m ( ) ( )immmmz 15265 22 −−+++=
z m
z 07 =+− yx m
[ )25,15
[ )35,25
[ )45,35
[ )55,45
[ )65,55
22×
05.0
( )kKP ≥2
k
( )
( )( )( )( )dbcadcba
bcadnK ++++
−=
2
2 dcban +++=
19 ．（ 本 小 题 12 分 ） 在 直 角 坐 标 系 中 ， 直 线 的 参 数 方 程 为
.以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已
知曲线 的极坐标方程为 .
（1）求直线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 两点， ，求 .
20.(本题满分 12 分)已知在平面直角坐标系 中，直线푙的参数方程为
，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为 ，点 的极坐标是 .
（1）求直线 的极坐标方程及点 到直线푙的距离；
（2）若直线 与曲线 交于 两点，求 的面积.
21．（本小题 12 分）
已知函数 ，其中 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若不等式 在定义域内恒成立，求实数 的取值范围．
22．（本小题 12 分）
已知函数 ，
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，证明：对任意的 ， ．
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xoy l
( )为参数t
ty
tx
+=
−−=
2
22
2
21
x
C θθρ sincos2 =
l C
l C BA, ( )2,1−P PBPA ⋅
xoy
( )为参数t
ty
tx
=
=
2
3
2
1
x C
02cos22 =−− θρρ P
3
2,3
152 π
l P
l C NM , PMN∆
( ) 2xf x e mx= + 0m ≤
1m = − ( )y f x= ( )( )0, 0f
( ) 0f x > m
( )
xe
mxxxf 12 ++= Rm∈
( )xf
( )0,1−∈m [ ]mxx −∈ 1,1, 21
( ) 54 21 <+ xxf
2018～2019 学年高二第二学期 5 月（总第四次）模块诊断
数学试题（文科）
考试时间：110 分钟 满分：150 分
二． 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的.）
DCBAB CBAAC AB
二.填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.）
2
三.解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.解：（1）由题意得：{█(푚^2 + 5푚 + 6 = 0@푚^2 ― 2푚 ― 15 ≠ 0) ，解之得{█(
푥 = ―2" " 或" " 푥 = ―3@푥 ≠ ―5" " 且" " 푥 ≠ ―3) ，所以푚 = ―2。
（2）复数푧对应的点的坐标为(푚2 + 5푚 + 6, 푚2 ― 2푚 ― 15)，
直线푥 ― 푦 + 7 = 0的下方的点的坐标(푥,푦)应满足푥 ― 푦 + 7 > 0，
即：(푚2 + 5푚 + 6) ― (푚2 ― 2푚 ― 15) +7 > 0，
解之得푚 > ―4，所以푚的取值范围为( ―4, + ∞)。
18.解：（1）估计这 100 人年龄的平均数为
푥 = 20 × 0.2 + 30 × 0.1 + 40 × 0.2 + 50 × 0.3 + 60 × 0.3 = 42.
(2)由频率分布直方图可知，得年龄在[25,35)，[35,45)，[45,55)这三组内的频率和为0.5，
所以 45 岁以下共有 50 人，45 岁以上共有 50 人.
列联表如下：
45 岁以下 45 岁以上 总计
不支持 35 45 80
支持 15 5 20
总计 50 50 100
所以푘 = 100(35 × 5 ― 45 × 15)2
50 × 50 × 80 × 20 = 25
4 = 6.25 > 3.841，
所以能在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退
休年龄政策”的不支持态度存在差异.
19.（1）直线的普通方程为 .
由 ，得 ，
则 ，故曲线 的直角坐标方程为 .
（2）将 ,代人 ，得 ，
则 ，
故 .
20．解：（1）由{ 푥 = 1
2푡
푦 = 3
2 푡 消去푡，
(1, )+∞
得到푦 = 3푥，
则휌sin휃 = 3휌cos휃，
∴휃 = 휋
3，
所以直线푙的极坐标方程为휃 = 휋
3(휌 ∈ 푅).
点푃(2 15
3 ,2휋
3 )到直线푙的距离为푑 = 2 15
3 × sin(2휋
3 ― 휋
3) = 2 15
3 × 3
2 = 5.
（2）由{휌2 ― 2휌푐표푠휃 ― 2 = 0
휃 = 휋
3 ，
得휌2 ―휌 ― 2 = 0，
所以휌1 + 휌2 = 1，휌1휌2 = ―2，
所以|푀푁| = |휌1 ― 휌2| = (휌1 + 휌2)2 ― 4휌1휌2 = 3，
则훥푃푀푁的面积为푆훥푃푀푁 = 1
2|푀푁| × 푑 = 1
2 × 3 × 5 = 3 5
2 .
21.解：（1）当 时， ，
∴ ，则 .
又 ，∴曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）函数 的定义域为 ，且 ．
①当 时， 恒成立，满足条件；
②当 时，由 ，得 ，所以函数 在
上单调递增；
同理函数 在 上单调递减．
因此 在 处取得最小值 .
∴ ，解得 .
综上所述，当 时，不等式 在定义域 内恒成立．
22.解：（1）푓/(푥) = ― 푥2 + (2 ― 푚)푥 + 푚 ― 1
푒푥 = ― (푥 ― 1)[푥 ― (1 ― 푚)]
푒푥
①当 1＞1-m，即 m＞0 时，（-∞，1-m）和（1，+∞）上 f′（x）＜0，f（x）单调减；
（1-m，1）上 f′（x）＞0，f（x）单调增
②当 1=1-m，即 m=0 时，（-∞，+∞）上 f′（x）＜0，f（x）单调减
③当 1＜1-m，即 m＜0 时，（-∞，1）和（1-m，+∞）上 f′（x）＜0，f（x）单调减；
（1，1-m）上 f′（x）＞0，f（x）单调增
（2）对任意的 x1，x2∈[1，1-m]，4f（x1）+x2＜5 可转化为푓(푥1)＜ ― 1
4푥2 + 5
4，
设 g（x）=-1
4x+5
4，则问题等价于 x1，x2∈[1，1-m]，f（x）max＜g（x）min
由（1）知，当 m∈（-1，0）时，f（x）在[1，1-m]上单调递增，푓(푥)푚푎푥 = 푓(1 ― 푚) =
1m = − ( ) 2xf x e x= −
( ) 22 1xf x e′ = − ( )0 1f ′ =
( )0 1f = ( )y f x= ( )( )0, 0f 1y x= +
( )f x ( , )−∞ +∞ ( ) 2 )0(2 xf x e m m′ = + ≤
0m = ( ) 2 0xf x e= >
0m < ( ) 0f x′ > 1 ln2 2
mx > −
( )f x 1 ln ,2 2
m − +∞
( )f x 1, ln2 2
m −∞ −
( )f x 1 ln2 2
mx = − ln 12 2
m m − −
ln 1 02 2
m m − − > 2 0e m− < <
( ]2 ,0m e∈ − ( ) 0f x > ( , )−∞ +∞
2 ― 푚
푒1―푚 ，
g（x）在[1，1-m]上单调递减，푔(푥)푚푖푛 = 푔(1 ― 푚) = 1
4푚 + 1，
即证2 ― 푚
푒1―푚 ＜1
4푚 + 1，化简得 4（2-m）＜e1-m[5-（1-m）]
令 1-m=t，t∈（1，2）
设 h（t）=et（5-t）-4（t+1），t∈（1，2），
h′（t）=et（4-t）-4＞2et-4＞0，故 h（t）在（1，2）上单调递增．
∴h（t）＞h（1）=4e-8＞0，即 4（2-m）＜e1-m[5-（1-m）]
故2 ― 푚
푒1―푚 ＜1
4푚 + 1，得证．
