上海市华师大二附中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

上海市华师大二附中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 华东师大二附中高一数学期中卷 一：填空题(共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分)‎ ‎1.函数的对称中心是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正切函数的性质即可得到答案.‎ ‎【详解】由正切函数的图象可知，的对称中心是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查正切函数的对称中心，考查学生对正切函数性质的理解与掌握，是一道基础题.‎ ‎2.函数上的值域是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，，结合的性质即可得到答案.‎ ‎【详解】当时，，则，函数 上的值域是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查余弦型函数的值域问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎3.函数在的递减区间是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 22 -‎ ‎【分析】‎ 利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数的性质得出结论．‎ ‎【详解】，‎ 由得，，‎ 时，．即所求减区间为．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的单调性，解题时需把函数化为一个角一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调性求解．‎ ‎4.已知函数的图象的一条对称轴是，若表示一个简谐运动，则其初相是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对称性先求出，再利用辅助角公式即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，，所以，解得，‎ 所以，‎ 所以初相为.‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题考查求三角型函数的初相，涉及到三角型函数的对称性、辅助角公式等，是一道容易题.‎ ‎5.已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是________.‎ - 22 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知，可得在上为奇函数且单调递增，将改写为，利用单调性可得，解不等式组即可.‎ ‎【详解】由已知，，所以在上是奇函数，又 时，均为增函数，所以在上为增函数，故在上为增函 数，又，所以，‎ 所以，解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.‎ ‎6.设函数，，若函数恰有三个零点，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数，，求解的值域，函数恰有三个零点，转化为函数图象与有3个交点，结合三角函数的图象即可得结果．‎ - 22 -‎ ‎【详解】由，可得，‎ 设，函数的图象与有3个交点，‎ 如图：‎ 三个零点，，，‎ 从图可知，即，，即，‎ 可得取值范围是，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象及性质的应用，对称问题和转化思想的应用，属于中档题．‎ ‎7.函数在区间上的最小值是，则的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎,令,,其图像开口向下,对称轴为,故在区间上为增函数.令,解得.故的范围须在.而,根据函数图像的对称性可知.‎ - 22 -‎ ‎8.已知将函数的图象向右平移个单位长度得到画的图象，若和的图象都关于对称，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 和的图象都关于对称，所以①，②，由①②结合即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，，因为和的图象都关于对 称，所以①，②，由①②，得 ‎，又，所以，将代入①，得 ‎，注意到，所以，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到函数图象的平移、函数的对称性，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.‎ ‎9.已知函数在区间上是单调函数，则实数的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的单调性求解即可.‎ ‎【详解】的单调增区间为 ‎ - 22 -‎ 当时，的单调增区间为 由于 ‎ 则要使函数在区间上是单调函数 必须 ‎ 即实数的最大值为 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查了正弦型函数的单调性以及利用单调区间求参数的取值，关键是将正弦型函数化归为正弦函数来处理问题，属于中等题.‎ ‎10.已知函数,下列说法正确的是__________．‎ ‎ ①图像关于对称；‎ ‎ ②的最小正周期为；‎ ‎ ③在区间上单调递减；‎ ‎ ④图像关于中心对称;‎ ‎ ⑤的最小正周期为.‎ ‎【答案】②③⑤‎ ‎【解析】‎ 分析：①根据可判断；②由、可判断；③时，，进而可得结论；④是奇函数图象关于对称，结合周期性可判断；⑤由 - 22 -‎ ‎，利用周期公式可得结论.‎ 详解：①,‎ ‎,‎ ‎,‎ 不是对称轴，①错误；‎ ‎②，，‎ ‎，是的最小正周期，②正确；‎ ‎③时，，‎ ‎，在单调递减，③正确；‎ ‎④是奇函数图象关于对称，‎ 不是对称中心，④错误；‎ ‎⑤‎ ‎，‎ ‎，⑤正确，故答案为②③⑤.‎ - 22 -‎ 点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查三角函数的单调性、函数的奇偶性、三角函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ ‎11.在中，角，，的对边分别为，设的面积为，若，则的最大值为_____．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 由题得 由题得 所以,当且仅当时取等号.‎ 所以的最大值为,故填 点睛:本题的难在解题思路,第一个难点就是把中的分母化简成,第二个难点 是得到后，如何求tanA的最大值. 转化成利用基本不等式求cosA的最大值.‎ ‎12.函数的图象与其对称轴在轴右侧的交点从左到右依次记为在点列，中存在三个不同的点使得是等腰直角三角形，将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为，则________.‎ ‎【答案】‎ - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设是以为顶点的等腰直角三角型，由的最值可得斜边，结合的周期性及对称性可知，进一步得到的表达式即可得到答案.‎ ‎【详解】不妨设是以为顶点的等腰直角三角型，由题意，①，作出两个简单的示意图，‎ 由的周期性及对称性可知②，‎ 由①②可得，即，所以，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数的图象及性质的应用，考查学生的逻辑推理能力、数形结合思想，是一道中档题.‎ 二．选择题(共4小题，每题5分)‎ ‎13.函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 22 -‎ ‎【分析】‎ 首先求得的单调减区间，根据在上是减函数，求得，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】的递减区间是，又，，所以，所以，所以.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数单调性，属于基础题.‎ ‎14.《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）‎ ‎（参考数据：）‎ A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 ‎【答案】B - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长.‎ ‎【详解】由题：“弓”所在弧长，其所对圆心角，‎ 两手之间距离.‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息.‎ ‎15.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦的和角公式以及辅助角公式化简至标准型正弦函数，解得，即可容易求得结果.‎ ‎【详解】因为 - 22 -‎ ‎∴，周期，‎ 又存在实数，对任意实数总有成立，‎ ‎∴，，‎ 的最小值为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角恒等变换求函数解析式，正弦型三角函数的周期和最值，属综合基础题.‎ ‎16.已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，求出在的对称轴，由三角函数的对称性可得，将式子相加并整理即可求得的值.‎ ‎【详解】令，得，即对称轴为.‎ 函数周期，令，可得.则函数在上有8条对称轴.‎ 根据正弦函数的性质可知，‎ 将以上各式相加得：‎ - 22 -‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为的形式.‎ 三．解答题(共5小题)‎ ‎17.已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为．‎ ‎（1）求的值;‎ ‎（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用倍角公式、辅助角公式将化为，由两条相邻对称轴之间的距离为可得周期为，再利用周期的计算公式计算即可；‎ ‎（2）由函数的平移、伸缩变换可得，函数在区间上存在零点，则在上有解，即的取值范围即为在上的值域.‎ ‎【详解】（1），‎ - 22 -‎ 因为两条相邻对称轴之间的距离为，所以，‎ 即，所以 ‎（2）由（1）可得，将函数的图象向左平移个单位，得到函数 ‎，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，‎ 纵坐标不变，得到函数，因为，所以，‎ 因为函数在区间上存在零点，所以，‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质的应用，涉及到倍角公式、辅助角公式、函数图象的变换、函数零点等知识，是一道容易题.‎ ‎18.已知满足，若其图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）在锐角中，角的对边分别为，且满足，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据周期求出,利用图象变换求出,即可求的解析式；(2) 由正弦定理得： ，∵，∴，∴，∴,用表示出,代入已知的等式,利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,根据 - 22 -‎ 的范围求出这个角的范围,由正弦函数的值域即可得到所求式子的取值范围.‎ 试题解析：（1）∵，∴，‎ ‎∴，∴，则的图象向左平移个单位后得到的函数为，而为奇函数，则有， ，而，‎ 则有，从而.‎ ‎（2），‎ 由正弦定理得： ，∵，∴，‎ ‎∴，∴∵是锐角三角形， ，‎ ‎∴，∴，∴，∴.‎ ‎19.钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点A、B、C分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点C在点A的北偏东47°方向，点B在点C的南偏西36°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为3海里.‎ ‎（1）求A、C两点间的距离；（精确到0.01）‎ ‎（2）某一时刻，我国一渔船在A点处因故障抛锚发出求救信号.一艘R国舰艇正从点C正东10海里的点P处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为PC - 22 -‎ A（直线行进），而我东海某渔政船正位于点A南偏西60°方向20海里的点Q处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点M处，再折向点A直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于R国舰艇赶到进行救助？说明理由．‎ ‎【答案】(1)14.25海里；（2）渔政船能先于R国舰艇赶到进行救助．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）这是解三角形问题，图形中，已知，要求，因此由正弦定理知应该知道它们所对的两角，由题中已知的三个方位角，可求出，，，故易求得结论；（2）只要求出两船到达点的时间即可，国舰艇路程为，我渔政船路程为，这里要在中求出，已知，因此应用余弦定理可求出，从而得出结论．‎ 试题解析：（1）求得， ‎ 由海里. ‎ ‎（2）R国舰艇的到达时间为：小时. ‎ 在中，‎ 得海里， ‎ 所以渔政船的到达时间为：小时. ‎ 因为，所以渔政船先到. ‎ 答：渔政船能先于R国舰艇赶到进行救助. ‎ 考点：(1)正弦定理；（2）余弦定理．‎ ‎20.对于定义域为R的函数，部分与的对应关系如表：‎ ‎（1）求：‎ - 22 -‎ ‎（2）数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，求 ‎（3）若，其中，求此函数的解析式，并求．‎ ‎【答案】（1）2；（2）；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由内往外计算即可；‎ ‎（2）由已知，通过计算易得数列是以4为周期的周期数列，先计算的值，利用即可得到答案；‎ ‎（3）代入表中数据即可得到的解析式，再分n为奇数、偶数讨论求和即可.‎ ‎【详解】（1）由表中数据可得.‎ ‎（2），由于，则，，‎ ‎，，所以，依次递推可得数列 的周期为4，又，所以.‎ ‎（3）由题意得，由，得，即 ‎，又，则，从而，而，所以 ‎，故，消，得 所以，解得，又，‎ 所以，所以，‎ 此函数有最小正周期6，且，，‎ - 22 -‎ 当时，‎ ‎；‎ 当时，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数与数列的综合应用，涉及到求三角函数的解析式、周期数列的和，是一道中档题.‎ ‎21.已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，若角满足，求的取值范围；‎ ‎（3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有个零点，求常数与的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数的周期公式可求出的值，求出函数的对称轴方程，结合直线为一条对称轴结合的范围可得出的值，于此得出函数的解析式；‎ ‎（2）由得出，再由结合锐角三角函数得出，利用正弦定理以及内角和定理得出，由条件得出，于此可计算出的取值范围；‎ ‎（3）令，得，换元得出，得出方程 - 22 -‎ ‎，设该方程的两根为、，由韦达定理得出，分（ii）、；（ii），；（iii），三种情况讨论，计算出关于的方程在一个周期区间上的实根个数，结合已知条件得出与的值.‎ ‎【详解】（1）由三角函数的周期公式可得，，‎ 令，得，‎ 由于直线为函数的一条对称轴，所以，，‎ 得，由于，，则，‎ 因此，；‎ ‎（2），由三角形的内角和定理得，.‎ ‎，且，，.‎ ‎，‎ 由，得，由锐角三角函数的定义得，，‎ 由正弦定理得，，‎ ‎，‎ ‎，且，，，.‎ ‎，因此，的取值范围是；‎ ‎（3）将函数的图象向右平移个单位，‎ - 22 -‎ 得到函数，‎ 再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数为，‎ ‎，‎ 令，可得，‎ 令，得，，‎ 则关于的二次方程必有两不等实根、，则，则、异号，‎ ‎（i）当且时，则方程和在区间均有偶数个根，‎ 从而方程在也有偶数个根，不合乎题意；‎ ‎（ii）当，则，当时，只有一根，有两根，‎ 所以，关于的方程在上有三个根，‎ 由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，不合乎题意；‎ ‎（iii）当时，则，当时，只有一根，有两根，‎ 所以，关于的方程在上有三个根，‎ 由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，‎ - 22 -‎ 方程区间上有两个实数解，在区间上无实数解，‎ 因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，此时，，得.‎ 综上所述：，.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以及三角函数零点个数问题，同时也涉及了复合函数方程解的个数问题，考查分类讨论思想的应用，综合性较强，属于难题.‎ ‎ ‎ - 22 -‎ - 22 -‎